图1 螺栓预紧型发射装置三维模型
Fig.1 Three-dimensional model of electromagnetic rail luancher
摘要 电磁轨道发射器动态发射过程数值模拟是研究内弹道的重要理论基础，该文以简化的电磁轨道发射器为研究对象，建立电磁轨道发射器瞬态电磁场数值求解模型，得到电磁轨道发射器动态发射过程中电枢和轨道三维瞬态电磁力；基于传统电磁轨道发射器动力学响应模型，提出两端无约束模型优化方案和轨道弹性支撑体结构刚度各向异性概念，建立弹性支撑各向异性约束模型；在此基础上，建立考虑弹性支撑刚度各向异性的电磁、结构耦合的内弹道仿真模型；研究弹性支撑刚度各向异性对轨道动力学响应影响规律，正向刚度越小，轨道正向变形越大，提出电磁轨道发射器正向约束临界刚度，建立临界刚度计算模型，为电磁轨道发射器设计提供理论依据。
关键词：电磁轨道发射器 电磁场 瞬态动力学 弹性支撑刚度 电磁结构耦合
电磁轨道发射器内弹道是涉及电磁、结构、温度、相变等多物理场、多相态强耦合的复杂问题，但目前研究学者还没有直接的手段可以对该问题开展研究[1-2]。由于电磁轨道发射器动态发射过程可以将电枢在数十毫秒的时间加速至9km/h，这就造成其动态发射过程中瞬态多物理场耦合机理、响应机理异常复杂[3-4]。因此研究电磁轨道发射器动态发射过程多物理场耦合机理和分析方法，对掌握电磁轨道发射器内弹道特性、优化全弹道设计至关重要。
为了保证电枢在动态发射过程中稳定运行，采用枢轨无间隙过盈配合方式，这引起的高速滑动电接触问题，一直以来制约着电磁轨道发射器三维瞬态电磁力计算。德克萨斯大学Kuo-Ta Hsieh等开发了EMAP3D软件，先后采用基于Lagrangian格式的有限元方法、混合有限元和边界元数值模方法，成功克服了电磁轨道发射器动态发射过程中高速滑动电接触问题，开展了电枢动态发射过程电枢和轨道电磁力数值计算、温度分布特性数值计算，得到了电枢的内弹道性能参数[5-7]。另外，一些学者针对固体电枢，采用有限差分法，成功地模拟了高速滑动电接触条件下的速度趋肤效应[8-10]。在此基础上，建立了可以考虑速度趋肤效应的电磁、温度耦合数值分析模型，研究了非理性接触条件下的枢轨接触热效应问题，采用非线性差分方程得到了电枢动态发射过程中的内弹道性能参数。俄罗斯科学院的Shetsov等对导体采用加权残值的有限元方法，对导体外部区域采用边界元方法，编写了可以进行电磁轨道炮动态发射过程电磁-热瞬态耦合仿真的程序，比较了二维程序和三维计算程序结果的差异，重点讨论了不同形状电枢的瞬态焦耳热问题[11-13]。海军工程大学谭赛等，基于矢量磁位和标量电位分别采用棱边元法和节点元法，通过移动自由度实现电枢运动，先后建立了考虑电枢运动工况下二维和三维工况的瞬态电磁场问题、瞬态电磁-温度耦合问题，通过与EMAP3D等软件的对比，验证了建立该模型的正确性[14-17]。
综上，针对电磁轨道发射器动态发射过程电磁场、结构场和温度场耦合特性，国内外学者已经开展了大量研究工作，但是还存在以下问题：①包含封装结构的计算模型最大/最小尺寸比在104量级，计算效率低、误差大；②内弹道关注的轨道、电枢和弹丸的动力学响应问题，上述方法还不能实现。
为了解决电磁轨道发射器动力学响应问题，Tzeng Jerome等率先建立了电磁轨道发射器动力学响应问题的解析模型，并给出了两端简支撑和悬臂结构动态发射过程中电磁轨道发射器动力学响应的理论和解析解[18-19]。本文在前期研究的基础上[20]，进一步开展了考虑枢轨接触力工况下电磁轨道发射器动力学响应数值计算、解析计算，理论和数值计算结果展现了较好的一致性。
本文拟在前期研究工作基础上，进一步开展电磁轨道发射器电磁结构耦合内弹道特性研究，提出了电磁轨道发射器结构刚度各向异性模型，通过对软件的二次开发，建立了考虑结构刚度各向异性的电磁、结构耦合内弹道仿真模型，研究了电磁轨道发射器动态发射过程内弹道特性。
本文以简化的螺栓预紧型电磁轨道发射器为研究对象，螺栓预紧型发射装置三维模型如图1所示，主要由预紧螺栓、绝缘板、封装结构、电枢和轨道组成。电磁轨道发射器通过绝缘板与封装结构绝缘；封装结构可以增强发射装置的电感梯度，从而提高电磁轨道发射器系统效率；通过40个10.9级预紧螺栓连接各个组件，抵抗电磁轨道发射器动态发射过程中的电磁排斥力，螺栓对称均匀布置；电枢和轨道过盈装配，提供初始接触压力，保证电枢可以稳定起动；电枢宽度小于轨道宽度设计，保证电枢在膛内可以安全正常运行。具体模型参数见表1。
图1 螺栓预紧型发射装置三维模型
Fig.1 Three-dimensional model of electromagnetic rail luancher
表1 模型参数
Tab.1 Model parameters
参 数数 值 轨道长度l/m8.0 轨道厚度hr/m0.085 轨道宽度br/m0.147 轨道截面惯性矩Ir/m41×10-5 轨道密度rr/(kg/m3)8 900 轨道弹性模量Er/GPa120 轨道电导sr/(S/m)4.5×107 轨道相对磁导率mr1 电枢宽度ba/m0.1 电枢尾翼高度ha/m0.124 电枢尾翼过盈量Dx/m0.002 枢轨接触面长度Dl/m0.1 电枢密度ra/(kg/m3)2 800 电枢质量ma/kg2.8 电枢弹性模量Ea/GPa70 电枢电导率sa/(S/m)3.5×107 电枢相对磁导率ma1 预紧螺栓直径d/mm0.052
在求解电磁时，不考虑模型中的螺栓、螺帽和绝缘板，并去除实际装配模型中的圆角和倒角。为了提高数值计算精度，采用Hypermesh软件划分工具，对电枢、封装结构和轨道进行全六面体网格划分，所有组件六面体网格Jacobian质量达0.7以上，空气域采用物理场控制的四面体网格，前期通过大量无关性数值试验，最终划分组件计算域网格如图2所示。
电磁轨道发射器三维瞬态电磁场的控制方程为
（1）式中，
为矢量磁位；
为标量电位；m 为相对磁导率；s 为电导率；t为时间；Js为源电流密度；v为电枢运动速度。
图2 计算域网格
Fig.2 Computational grid
求解域的外部边界条件为
（2）枢轨接触面的边界条件为
（3）
式中，n为边界法向量；A1、A2分别为导体1、2的矢量磁位；f1、f2分别为导体1、2的标量电位；nra为枢轨接触面法向量。
瞬态电磁力可以表示为
（4）式中，J为电流密度；B为磁感应强度。
为了研究时序放电工况下轨道受力分布特性，这里采用试验测得的电流作为电磁力计算输入。基于前期试验，选取了具有代表性的两种运动工况开展研究，初速度分别为v1=1 340m/s、v2=1 873m/s，两种工况动态发射过程中轨道尾部电流如图3所示，两种工况下峰值电流分别为0.456MA和0.755MA，电枢出膛电流分别为0.192MA和0.220MA。
首先开展了两种速度峰值电流工况下，电枢和轨道电磁力数值计算，图4为两种初速度峰值电流工况下磁通密度分布，峰值电流0.755MA时，最大磁通密度模达5.64T；峰值电流0.456MA时，最大磁通密度模达3.41T。图5为两种初速度工况下，轨道表面受到电磁排斥力。从图5可以发现，在远离电枢区域时，轨道受到电磁排斥力趋于稳定，对于初速度1 873m/s工况，接触压力稳定在0.231MPa，峰值接触压力达到0.412MPa；对于初速度1 340m/s工况，接触压力稳定在0.135MPa，峰值接触压力达到0.249MPa。
图3 初速度v1=1 340m/s、v2=1 873m/s两种工况动态发射过程中轨道尾部电流
Fig.3 When the initial velocity are 1 340m/s, 1 873m/s, the current of rail tail during the dynamic launching procress
图4 峰值电流条件下磁通密度分布
Fig.4 The magnetic flux density distribution under peak current conditions
这里基于轨道炮作用定律[21]，可以得到峰值时刻电磁力和任意时刻电磁力的关系为
（5）
图5 轨道受到电磁排斥力
Fig.5 The electromagnetic repulsive force of rail
式中，
为电感梯度；I为输入电流；Fmax为峰值电流时刻电磁力；Imax为峰值输入电流。
通过计算峰值时刻电枢受到电磁推力、电枢尾翼受到电磁排斥力、轨道受到电磁排斥力及式（5），可以得到任意时刻电枢推力、电枢尾翼排斥力和轨道电磁排斥力。
图6为初速度分别为v1=1 340m/s、v2=1 873m/s两种工况下，动态发射过程中电枢受到的电磁推力，最大推力分别为0.77MN、0.46MN，推力大小与电流的二次方成正比。
图6 电枢受到电磁推力
Fig.6 The electromagnetic thrust force of arrmatrue
为了研究电磁轨道发射器导轨动力学响应问题，本文已在文献[20]中建立了恒速移动载荷作用下电磁轨道发射器动力学响应模型，该模型将封装结构等效为弹性支撑体，轨道和封装结构相互作用通过弹性刚度系数k模拟，电枢尾翼电磁排斥力和轨道电磁排斥力通过移动载荷模拟，轨道通过梁模型模拟，模型如图7所示。
图7 在文献[11]建立的电磁轨道发射器动力学响应模型
Fig.7 The dynamic response model of electromagnetic rail launcher established in Ref.[11]
但是该模型轨道两端采用简支撑，实际没有进行约束，本文在上述工作基础上，克服该缺陷，先后建立了考虑该问题的电磁轨道发射器动力学响应模型，对轨道两端自由度进行释放，模型如图8a所示。
图8 动力学响应模型的改进
Fig.8 Improved dynamic response model of electromagnetic rail launcher
目前为止，电磁轨道发射器动力系响应对弹性支撑模型描述，均采用
（6）式（6）中，轨道正向和反向变形作用刚度一致，轨道向外扩张会受到封装结构和预紧螺栓的约束，但是向内仅有轨道支撑结构的约束，因此本文提出了电磁轨道发射器弹性支撑刚度各向异性模型，如图8b所示。轨道变形域弹性支撑体的反作用力通过分段函数描述，即
（7）
式中，u0为施加弹性支撑面的初始位移，通常取0；kA1、kA2分别为弹性支撑体正向、反向刚度系数；kR1、kR2为弹性支撑体正向、反向扭转刚度系数；dA为弹性支撑体单位长度黏滞阻尼系数；FA为弹性支撑体反作用力；MA为弹性支撑体反作用弯矩；u为轨道变形；j 为旋转角；j0为初始转角；dR为弹性支撑体旋转黏滞阻尼系数。
至此，完成了电磁轨道发射器动力学响应模型的优化和改进，即内弹道结构动力学理论建模基础。
对于瞬态动力学问题，系统有限元控制方程为
（8）式中，M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；K为刚度矩阵；F为外加载荷；u为位移。控制方程中，各个系数表达式为
（9）
式中，Mi为单元质量矩阵；Ci为单元阻尼矩阵；Ki为单元刚度矩阵；Fi为单元外加载荷；ui为单元位移。
为了能精确描述电磁轨道发射器动态发射过程随时间变化的动力学特性，这里采用直接数值积分的显示算法。本文重点采用中心差分格式来描述动态发射过程的速度、加速度，即
（10）对于显示算法可以不对刚度矩阵求逆，直接得到下一个时刻的动力学参量，大大提高了计算效 率，即
（11）
电磁轨道发射器动态发射过程包含电枢装填和电枢发射两个阶段，分别为电磁轨道发射器起始弹道和内弹道。目前相关文献在进行电磁轨道发射器电磁场计算时，通常忽略电枢过盈的影响，为了解决该问题，这里采用顺序结构、电磁耦合方法，先开展电枢挤进的静力学有限元计算，在结构场计算完成后，把结构场计算解作为电磁场的输入，来考虑电枢过盈对电磁场计算结果的影响，图9为电磁轨道发射器内弹道电磁、结构耦合内弹道仿真流程。
图9 内弹道仿真模型建立流程
Fig.9 The establishment process of interior ballistic simulation model
为了更加真实地加载电枢电磁力，通过将峰值时刻电枢电磁力直接耦合到结构场，其幅值通过式（5）进行控制。由于轨道电磁力随时间、电枢位置变化而发生幅值变化，这里则采用对软件二次开发，进行轨道排斥力加载，即
（12）对于式（7）中的各向异性弹性支撑体控制方程，可以将弹性支撑体弹性刚度系数写成
（13）
式（13）表明，对于任意时刻，弹性支撑面任意位置处的弹性支撑刚度系数、旋转刚度系数均需要对该位置、该时刻轨道的变形量、选装量进行分析才能确定，因此每个计算步骤都需要循环搜索。首先确定kA和kR，然后才能开展下一步的数值计算；这里通过自编三重迭代循环程序，修改弹性支撑体控制方程，实现对式（13）的加载。最终建立的内弹道仿真模型如图10所示。
图10 内弹道仿真模型
Fig.10 Interior ballistic simulation model
当不考虑发射装置结构刚度非线性时，任意截面轨道临界速度[18]为
（14）这里近似地认为式（14）计算得到的速度为模型的临界速度，代入模型参数，得到vcr=1 660m/s。
为研究刚度系数各向异性对动力学响应的影响，开展了非临界速度工况、临界速度工况、过临界速度工况以及不同各向异性刚度系数工况，共计35个数值计算案例，具体计算工况见表2。前期已经完成了网格划分、时间步长、数值计算方法对计算结果的影响分析，这里以连续两次计算误差在3%以内为评判依据，选取了最终的计算方案，其中时间步长选取为10-5s。
表2 计算工况
Tab.2 The calculation conditions
参 数数 值 速度/(m/s)500, 800, 1 200, 1 660, 2 500 k1/(N/m3)5×109 k2/(N/m3)0, 5×105, 5×106, 5×107, 5×109
图11为速度v1=500m/s时刚度系数分别为0N/m3、5×105N/m3、5×106N/m3、5×107N/m3、5×109N/m3 5种各向异性刚度系数工况下的轨道变形计算结果。对于k2=k1=5×109N/m3工况，与传统电磁轨道发射器动力学响应模型一致，满足轨道正反向同刚度幅值约束，因此该工况下的结果作为基准与其他工况进行比较。从计算结果可以发现，当发射速度为500m/s、k2=0N/m3时，轨道正向变形达到了6.19mm，而轨道沿载荷方向的变形只有1.04mm，两者相差595%。这主要是由于在移动载荷的作用下，轨道内部的横波使轨道发生垂向变形，由于轨道在载荷反向不受约束，因此正向位移逐渐累积，越来越大，并且远大于载荷方向轨道变形；随着载荷反向刚度系数逐渐增大，轨道正向变形逐渐减小，当k2＜5×104N/m3时，轨道正向最大变形基本上没有变化，随着刚度系数的数量级逐渐增加，轨道正向差异逐渐减小。
图11 当电枢速度500m/s时，不同k2工况下轨道变形幅值变化规律
Fig.11 When the armature speed is 500m/s, the rail deformation amplitude under different k2
图12为速度vcr=1 660m/s时刚度系数分别为0N/m3、5×105N/m3、5×106N/m3、5×107N/m3、5× 109N/m3 5种各向异性刚度系数工况下的轨道变形计算结果。其他工况计算结果从这里可以得到相同的规律，轨道正向变形幅值随刚度系数增大程度逐渐减小，越接近载荷方向刚度系数与传统模型计算结果越一致；随着发射速度的增加，轨道正向变形幅值逐渐减小。进一步分析发现，随着发射速度的增加，刚度系数各向异性对轨道动力学响应影响越来越小，当超过临界速度后，几乎没有影响；并且当速度增加后，轨道变形在较低的正向刚度系数下，变化越来越小。
图12 速度1 660m/s，不同k2下轨道变形幅值变化规律
Fig.12 When the armature speed is 1 660m/s, the rail deformation amplitude under different k2
从图11和图12可以发现，非临界速度工况和临界速度工况，在某一速度下正向刚度在一定范围内，不会影响轨道正向变形幅值，为了进一步得到该影响规律，以不影响某一速度下刚度系数最大值为临界点（这里称为临界刚度值kcr），通过数值拟合的方法，建立了速度与该临界刚度的数学关系，如式（15）所示，临界刚度与速度拟合曲线如图13所示，这里拟合得到的和方差SSE=1.2×10-12，证明该拟合关系非常好，可以进行数值预测，确定系数R-square=0.999 8，表明可以通过该函数关系精确描述自变量和变量之间的关系，即
图13 临界刚度与速度拟合曲线
Fig.13 Critical stiffness versus velocity
（15）通过以上研究，主要得到以下结论：
1）建立电磁轨道发射器动态发射过程，三维瞬态电磁力求解模型，得到了电枢、轨道三维瞬态电磁力分布规律。
2）基于传统电磁轨道发射器动力学响应模型，针对电磁轨道发射器特点，提出了两端无约束支撑模型优化，在此基础上，提出了弹性支撑体对导轨支撑刚度各向异性概念，并建立了弹性支撑体各向异性模型。
3）通过对软件的二次开发，建立了考虑弹性支撑刚度各向异性的电磁结构耦合的内弹道仿真模型，研究了弹性支撑刚度各向异性对轨道内弹道特性影响规律，提出了轨道正向约束临界刚度计算方法，为电磁轨道发射器轨道正向约束刚度提供了理论基础。
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Numerical Simulation of Dynamic Launching Process of Electromagnetic Rail Launcher with Electromagnetic and Structural Coupling
Abstract Numerical simulation of dynamic launch process of electromagnetic rail launcher is an important theoretical basis for studying interior ballistics. In this paper, taking the simplified electromagnetic rail launcher as the research object, the numerical solution model of transient electromagnetic field is established. The three-dimensional transient electromagnetic force of armature and rail in the dynamic launching process is then obtained. Based on the traditional dynamic response model of electromagnetic rail launcher, the optimization scheme of unconstrained model at both ends and the concept of stiffness anisotropy of elastic support structure are proposed, and the anisotropic constraint model of elastic support is established. On this basis, the electromagnetic and structural coupling interior ballistic simulation model considering the anisotropy of elastic support stiffness is established. The influence of anisotropy of elastic support stiffness on rail dynamic response is studied. The smaller the forward stiffness is, the larger the forward deformation of rail is, and the greater the influence on armature motion is. The forward restraint critical stiffness of the electromagnetic rail launcher is proposed, and the calculation model of the critical stiffness is established, which provides a theoretical basis for the design of the electromagnetic rail launcher.
keywords：Electromagnetic rail launcher, electromagnetic field, transient dynamic, elastic support stiffness, electromagnetic structure coupling
中图分类号：TM359.4
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.191029
国家自然科学基金（51522706、51877214、51607187）和海军工程大学博士创新基金资助项目。
收稿日期 2019-08-14
改稿日期 2019-11-07
杜佩佩 男，1991年生，博士研究生，研究方向为电磁发射内弹道多物理场耦合数值仿真等。E-mail: dp911120@163.com
鲁军勇 男，1978年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁发射混合储能技术、直线电机设计等。E-mail: jylu@xinhuanet.com（通信作者）
（编辑 陈 诚）