0 引言
近年来，光伏发电系统以及直流配电网被广泛应用，因导线绝缘劣化和触头接触不良等而引发直流电弧故障，并具有故障点随机、分布范围广、难以自然熄弧、易造成设备损毁和火灾等特点。因此，直流电弧故障的检测、识别与保护技术已受到密切关注与研究。
目前，国内外学者对于电弧的研究对象多针对交流、高压、大电流的（六氟化硫、氮气、真空）断路器等。电弧的宏观特性是构成电弧的微观粒子集体行为的外在表现。获得电弧等离子体的微观特性是加深对电弧等离子体形成与发展机理理解的重要手段，也是深入分析电弧宏观特性的理论基础和前提[1]。西安交通大学的吴翊、荣命哲等利用磁流体动力学理论和动态网格技术研究了低压开关电器中100 A大电流直动式触头在打开过程中空气电弧的温度、流场分布和电压变化过程，将电弧等离子体描述为流场、电场和磁场之间相互作用的复杂过程，建立了简化的直动式触头打开时低压空气电弧的动态模型以研究开关电器电弧的物理特性[2]。同时，在计算氮气的粒子组分基础上，用 Chapman-Enskog法求出氮气等离子体的热力学参数和微观输运参数，包括黏性系数、热导率、电导率等，并与其他文献的计算结果或实验结果对比，验证计算的正确性[3]。
林莘、王飞鸣等结合 Eindhoven 电弧模型，建立 SF6气体电弧等离子体非平衡态双温度电弧数学模型，通过对气流场、温度场和电场的耦合计算，分析不同物理过程对电弧运动特性和介质恢复特性的影响[4]。Y.Cressault等也用该方法求出空气和金属蒸气介质混合的电弧等离子体输运参数，用于为计及接触烧蚀和等离子体中混有金属蒸气的低压断路器建模[5]。上述文献为大电流直流电弧的数值仿真研究提供了理论指导和参数数据。
不过，光伏系统的输出电压通常在 1 000V以下，单个汇流箱的电流在20A以内，直流配电网的运行电压和功率也不高，上述文献的研究成果能否直接推广应用于光伏系统和直流配电网[6-8]的电弧研究值得探讨。因此，有必要开展小电流空气直流电弧的特性研究。
本文基于平衡态等离子体理论，建立小电流直流空气电弧MHD(Magneto-hydro-dynamic)模型，仿真分析电弧发生时的温度场分布和电弧电阻-电极间距特性，并进行实验对比分析。
1 小电流直流电弧的建模
主要包括电弧的几何模型、多物理场耦合含铜蒸气的空气输运参数与模型的边界条件设置。
1.1 几何模型
为研究因导线触头接触不良而引发的直流电弧故障，建立在较大空气域中、彼此有一定间距d的两根带绝缘皮的铜导线的几何模型。本文仅研究电弧稳定燃烧的温度场与电气特性，因此设置为恒定电流通过两导线以及彼此之间的空气。
考虑到导线的几何结构具有对称性，将三维模型简化建立为如图1所示的二维轴对称模型。图中计算区域为100mm×100mm的正方形，原点在二维轴对称的轴上。两导线的间距在100mm内可调，导线铜芯截面面积为25mm2，绝缘皮厚度1.2mm，铜芯裸露绝缘皮厚度5mm，其余部分采用较大的空气域。
图1 有间距双导线的几何模型
Fig.1 Geometric model of two conductors within a certain distance
1.2 多物理场的耦合
从宏观上看，电弧是一种由电场、磁场、温度场、流体场等多物理场相互耦合而成的复杂磁流体；从微观上看，电弧又是一种由大量带电粒子相互碰撞、反应、并整体呈现电中性的等离子体[9-10]。为了减小仿真的复杂性，引入以下仿真假设条件：不考虑电弧的起始过程；不考虑等离子体鞘层的影响；电极间距小，气流运动快，等离子体流假定为层流；等离子体处于局部热力学平衡（Local Thermodynamic Equilibrium,LTE）状态。基于以上假设，Navier-Stokes方程和Maxwell方程可联立求解[11-13]。
质量守恒方程
能量守恒方程
动量守恒方程
电流守恒方程
欧姆定律
泊松方程
磁场
式中，ρ为密度；V为速度矢量；cp为常压比热容；T为热力学温度，K；t为时间；k为热传导率；Q为等离子体热源；kB为玻耳兹曼常数；e为电子电荷；E为电场强度；J为电流密度；Qr为总体积辐射系数；p为压强；I为单位矩阵；μ为动态黏度；g为重力加速度；F为洛仑兹力；B为自感应磁场的磁通密度；σ为电导率；φ为电势；A为磁矢势；QJ=E·J，为焦耳热。
本文联立电场-电流、磁场、温度场、流场本构方程，通过COMSOL中的电场Electric Currents (EC)模块求解出电势φ的分布和电流密度分布J；通过磁场Magnetic Field (MF)求解出磁场B的分布；通过流体传热Heat Transfer in Fluids (HT)模块仿真温度场分布；而流场 Laminar Flow (SPF)模块则仿真流场V的分布。四种物理场的耦合关系如图2所示。
图2 多物理场的耦合关系
Fig.2 Coupling relationship among multiple physical fields
温度通过对不同温度下空气的电导率来影响电场，求解电流密度 J；在电场中求解出的电流密度通过安培定理耦合影响空间磁场B的分布；在磁场分布和空间电流二者共同作用下形成洛仑兹力作用于流场，导致流场收缩，流速V进一步影响空间温度变化。最终形成电场、磁场、流体传热以及流场等多物理场耦合，获得准确的电弧温度场分布与电气特性。
1.3 含铜蒸气的空气输运参数
COMSOL软件材料库中自带 100%空气的电导率-温度数据。使用此数据得到的仿真结果与实验结果相比误差较大。考虑到铜导线产生的电弧燃烧时发出绿光（经焰色反应初步判断含有铜蒸气），利用光谱仪测得电弧的波长在315～415 nm之间的谱线如图3所示，证明了电弧介质中铜元素的存在。因此，本文研究了多条含不同比例金属蒸气的空气电导率-温度曲线，作为电弧等离子体材料的数据补充。
图3 电弧光谱图
Fig.3 Arc spectrogram
使用文献[5]中的数据，基于LTE状态的等离子体，通过Guldberg-Waage（解离）方程和Saha（电离）方程求解粒子组分，利用Chapman-Enskog方法求解玻耳兹曼方程，得到混合气体的输运参数（如电导率、黏滞系数、热导率等），进而获得空气-铜蒸气混合气体电弧等离子体的电导率-温度特性曲线，如图4所示。可见，仿真的100%Air电导率-温度曲线与COMSOL软件自带的曲线（引自经典文献[14]）基本一致，证明了此方法的有效性和准确性。同时，新增加了1%Cu蒸气-99%Air以及100%Cu蒸气介质的电导率-温度曲线，发现在较低温度区段（约15 000K以下），后者的电导率均高于100%Air。其余等离子体的相关参数采用经典文献[14]中测得的空气等离子体比热容、热导率、密度等随温度变化的函数。宏观上电弧电阻与微观的等离子体电导率联系密切，据此进一步仿真电弧电阻的影响因素与变化规律。
图4 不同电弧介质的电导率-温度曲线
Fig.4 Electrical conductivity-temperature curves at different arc medium
1.4 边界条件
图2几何模型中，电极铜材料和绝缘皮数据来自Engineering ToolBox。在电场边界条件的设置中采用电流源并加以参数调整：利用斜坡函数在100ns内在高压侧电极上持续通入2.5A或3A直流电流，最大时间步长设置为1μs，最长仿真时间16s。低压侧电极接地，作电势参考点。在流场边界设置中，外部设置为压力边界，压强为一个大气压，电极和绝缘皮设置为非滑移边界。在热场边界设置中，初始环境温度设置为293K，常温时气体基本不导电，在仿真中设置电导率下限为 0.1S/m，便于起弧。将新增的多种介质电导率-温度数据代入COMSOL的等离子体材料库，仿真分析直流电弧的电阻以及温度场分布[15]。
2 仿真结果与分析
电弧从通入直流电流时刻开始经历了初步击穿、弧链形成、稳定燃烧等过程。
2.1 温度场分布
分别采用图4中1%Cu蒸气-99%Air、100%Cu蒸气和100%Air等离子体电导率数据仿真分析温度场分布，从上部阳极持续通入 3A电流，下部阴极设为零电势参考点。电弧和电极的最高温度值、电极的最低温度值见表1。可见，纯空气电弧介质的电弧和电极温度都明显高于引入铜蒸气的情况，而1%Cu蒸气和 100%Cu蒸气电弧介质时铜电极温度更接近，即电弧介质不同对于电极和电弧的温度值都有影响。
表1 不同电弧介质的温度分布最值
Tab.1 Extreme value of temperature field distribution at different arc medium（单位：K）
1%Cu 100%Cu 100%Air电弧最高温度 6 840 7 170 7 320电极最高温度 687 694 967电极最低温度 305 306 316
图5a给出了电弧稳定燃烧时 1%Cu蒸气电弧模型的温度场分布情况，最高温度达到 7 000K附近，并且可见电弧的弧柱形状，以电弧中心为起点，沿横轴每隔10mm取点，各点温度如图6a所示。可见，温度衰减是非线性的，电弧温度一开始随距离下降极快，在10mm处温度已降至596K；之后，电极不同位置的温度分布情况变化不明显；电弧中心取样点温度为6 393K，到80mm处基本下降到室温293K，这两点间温差达6 100K。图5b给出了电弧稳定燃烧一段时间后两电极的温度场分布，可见：导线温度最高点在分断的电极端部，导线外部绝缘皮的温度由于热传导作用温度也明显高于初始温度。在中轴线上，从上、下电极靠近电弧处端部开始每隔15mm取点，电极上各点温度随时间变化如图6b和图6c所示，阳极温度明显高于阴极温度，t=0时刻电弧刚发生，电极温度持续上升；在最后时刻靠近电弧处阳极温度为687K，阴极温度为638K；在45mm处，阳极温度下降为439K，阴极温度下降为423K，也呈非线性衰减。
图5 模型的局部与整体温度场分布
Fig.5 Arc temperature field distribution of the arc model
图6 对模型等间距取点的温度分布
Fig.6 Temperature distribution of points equally spaced from the model
分析电弧的发展过程可知：①在电弧稳定燃烧后，电弧最高温度基本维持在6 000K以上不变，分析其原因是电弧稳定燃烧后，空气充分击穿，弧中心的物理场基本保持不变，而电弧外围空气温度在传热作用下按照一定梯度下降；②电极温度随着时间的延长而不断升高，这也与介质传热有关，热源电弧的热能随着时间的推移不断地向电极传递，在电极内部也形成了一定的温度梯度，即与电弧接触的位置温度比远离电弧的位置温度上升快；③阳极温度总是高于阴极温度。
2.2 电弧电阻
本文以2.5A和3A电流为例，仿真计算不同比例铜蒸气与空气均匀混合以及纯空气的等离子体在不同间距下稳定燃烧时的电弧电阻，2.5 A条件下数据见表2。由表2可见：引入铜蒸气等离子体介质的仿真电弧电阻相对于纯空气等离子体介质的仿真电弧电阻要小，原因是金属粒子的电离势较低，金属蒸气的混入能显著提升电弧的电导率[16]。1%Cu蒸气-99%Air和 100%Cu蒸气仿真所得电阻数据非常接近，由此解释了表1的仿真数据，即电弧最高温度均介于6 000～7 500K。同时，数据表明，在介于1%～100%比例的金属蒸气与空气均匀混合的情况下，计算电弧电阻值的差异不大，最大相对误差6.77%。同时，电弧电阻值随着导线间距增加而增加，原因是：电弧在稳定燃烧时可视为时变电阻，随着电极间距增加，介质的电流阻碍作用增强，因此，电弧阻值也随之增大。
表2 不同电弧介质下仿真电阻与实验电阻对比
Tab.2 Simulation resistance and experimental resistance at different arc medium
间距/mm 实验电阻/Ω1%Cu-99%Air 100%Cu 100%Air（COMSOL自带）仿真电阻/Ω 误差(%) 仿真电阻/Ω 误差(%) 仿真电阻/Ω 误差(%)2 11.920 10.502 11.90 10.925 8.35 18.967 59.12 3 12.800 12.128 5.25 12.652 1.16 21.691 69.46 4 15.20 13.668 10.08 14.264 6.16 24.130 58.75 5 17.160 14.943 12.92 15.774 8.08 26.327 53.42 6 18.480 16.465 10.90 17.343 6.15 28.579 54.65 7 20.880 17.884 14.35 18.843 9.76 30.926 48.11 8 23.520 19.137 18.64 20.261 13.86 32.874 39.77 9 24.800 20.407 17.71% 21.890 11.73 35.361 42.58 10 27.600 22.197 19.58% 23.770 13.88 39.881 44.50
3 实验研究
根据UL1699B标准中对电弧实验平台的制作要求，搭建了一个串联型电弧实验平台，进行电极温度和电弧电阻的测试，以此验证仿真模型的准确性。
3.1 模拟实验平台
图7 直流电弧模拟实验平台
Fig.7 Test platform for DC arc fault in series
图7a～图7c为电弧模拟实验平台的结构和实物图。电弧发生装置主要由静止电极、活动电极、绝缘夹具、侧面调节器、滑动块和固定底座等构成。直流电源额定值为1 000V/3A，可通过参数设置工作在恒压源或恒流源模式。FLUKE红外测温仪型号为 Ti450，测温范围从 253～1 473K，误差在±2%以内，用于检测电极温度。R&S（罗德与施瓦茨）RTB2004数字示波器采集电弧发生时两电极间的电压和流过电弧的电流。光谱仪型号为 Avaspec-ULS2048，分辨率0.07nm。
采用电极分断式起弧法，将两个电极从接触良好到分开，以模拟实际直流系统中的导线连接点松动或者触头接触不良的情况，人为产生串联型直流电弧。
3.2 温度检测与分析
等离子体是独立于固体、液体、气体之外的物质的第四态[17]。电弧柱由等离子体构成，由于红外热成像仪难以测量等离子体的温度，本文采用光谱仪拍摄数据和 Lifbase光谱仿真软件获取等离子体气体温度[18-19]，如图8所示，将3A电流6mm间距条件下获取的381～391nm的CN分子光谱数据导入Lifbase，设置仿真温度为7 230K，与实验数据峰值相关度99.05%，方差为8.22，证明此拟合效果较好。同时，考虑到Lifbase在一定范围内拟合效果相近，取峰值相关度98%以上，方差小于10，气体温度在5 800～7 400K范围内。实验数据表明在其余电流和间距下，气体温度也基本在此范围内。
图8 气体温度Lifbase拟合图
Fig.8 Gas temperature by using the Lifbase
以阳极为例，在 3A电流作用下，将电极拉开约 2mm，由 Fluke热成像仪测量，经 Fluke Smart View处理得到电极的最高温度曲线和温度场分布，如图9a和图9b所示。可见，实验与仿真数据（见图5）的最高温度和温度场分布规律基本一致，即由于传热作用，随着时间的推移，电极温度单调增加。在阳极导线的最高温度达到233.5℃（506.5K）时，阴极导线的温度最高为151℃（424K）。有限元仿真结果为：阳极最高温519K，阴极最高温488K，与实验结果的规律性一致，但存在一定偏差。原因可能来自于实验环境和仿真条件的偏差，如仿真中设置铜电极的导热系数与实验材料的有差异。阳极温度要高于阴极温度的原因估计是带负电的电子质量轻，以高速与阳极碰撞动能转换成热能，而向阴级运动的阳离子质量偏高，运动速度较慢。图9a中实验数据出现了温度跳变的情况，是由热成像仪自动地调整量程引起的，无法避免。
图9 电极温度实验测试结果
Fig.9 Test results of electrode temperature
3.3 电弧电阻
在2.5A电流作用下，通过实验测得的不同间距下的电弧电阻见表2。可见，实验电阻随着电极间距的增加而增大，与仿真结果分析的变化规律相同。总结不同电流、不同介质和不同间距下稳定燃烧时的电弧电阻-电极间距的仿真和实测数据如图10所示。2.5A条件下实测的电弧电阻与不同比例金属蒸气与空气均匀混合仿真建模所得电阻（见表2）最大偏差是5.403Ω，最大相对误差为19.58%；与纯空气69.46%的误差相比，实验数据与引入铜蒸气仿真计算的数据更接近，由此证明了铜蒸气作为电弧介质的存在。同时，铜蒸气降低了电弧电阻，促进了电弧的发展。分析该误差可能来自于碰撞积分的准确度和实验中其他粒子的影响，或是由于仅考虑温度电导率曲线，也可能来自于实验过程中的测量偏差，总之需进一步完善仿真模型以及测试精度来减小误差。3A电流作用条件下，实测的电弧电阻与不同比例金属蒸气和空气均匀混合仿真建模所得电阻最大偏差是 2.283Ω，最大相对误差为 13.45%；与2.5A数据结合，可见随着间距增加，电弧电阻增大；在相同间距下，电流越大，电弧电阻越小，仿真与实验的相对误差也越小。原因是电流越大，相同时间内电弧中能量越多，温度越高，空气击穿越彻底，电阻越小。
图10 不同介质下电弧电阻-电极间距的仿真与实验数据
Fig.10 Arc resistance-electrode distance at different arc medium
4 结论
本文建立了直流电弧的多物理场耦合仿真模型，基于平衡态等离子体理论，增加了含铜蒸气介质的电导率-温度特性曲线，作为电弧等离子体材料的数据补充。计及铜蒸气介质的电弧稳定燃烧时电极的温度分布规律与实验数据具有良好的一致性，而且电弧电阻与温度场分布的仿真结果与实验数据也更接近。由此表明，采用计及铜蒸气的电弧模型能较好地反映电弧稳定燃烧时的电气特性和温度特性，为小电流直流电弧故障的电气特性和温度特性研究提供了理论基础。
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