图1 转子偏心二维模型
Fig.1 2D model of rotor eccentricity
摘要 精确计算气隙磁场是设计和分析永磁电机的关键。Halbach阵列永磁电机具有良好的转矩输出特性。转子偏心会对永磁电机产生不良影响，准确获得其偏心气隙磁场分布具有重要意义。采用双曲余切变换解析计算Halbach阵列表贴式永磁电机转子偏心气隙磁场。该文建立了Halbach阵列定子开槽、转子偏心永磁电机二维模型。将同心解析模型分为三类子区域，利用各区域边界条件求解拉普拉斯方程和泊松方程，通过矢量磁位求得同心气隙磁场，利用相对磁导函数对其进行修正，从而获得偏心空载气隙磁场，对其进行研究，并利用回归评价指标进行评估。不同偏心率下气隙磁通密度、不平衡磁拉力、齿槽转矩的解析结果同有限元结果吻合，验证了该文解析模型的有效性和正确性。
关键词：Halbach阵列永磁电机 双曲余切变换 转子偏心 矢量磁位 空载气隙磁场
永磁电机具有结构简单、可靠性高、平均效率高、体积小、质量轻等优势，在风力发电系统、电动汽车、航空航天等领域应用广泛[1-5]。传统永磁电机磁极多为平行或径向充磁，该充磁方式简单但气隙磁场正弦度差，含有大量高次谐波，造成电机损耗增大。在20世纪80年代，美国学者K. Halbach提出了Halbach永磁体阵列[6]，此阵列在永磁体一侧有着良好的聚磁效果，另一侧磁通较小，产生的气隙磁场有较好的正弦度。因此，Halbach阵列永磁电机具有输出转矩平稳、电机效率高等优点。在制造、装配及运行过程中永磁电机会出现轴承公差及气隙不均匀等故障，这通常是由转子偏心造成的[7]。这种故障会引起噪声、转子损耗和转矩脉动[8]，对电动机性能产生影响，因此对Halbach阵列偏心永磁电机进行气隙磁场求解和分析具有重要意义。
对电机的二维模型进行气隙磁场分析时，主要采用有限元法和解析法。有限元法有较强的适应性、精度高，但建模较复杂、仿真速度缓慢、时间成本较高[9-10]，在计算电磁转矩时转子转动需重新将网格剖分，不适用于电机设计初期的大量方案优化筛选。解析法模型简单、仿真速度快、计算量小、参数更改方便[11-14]，且转子转动无需网格剖分。因此，解析法更适合电机的优化设计。
永磁电机定转子同心气隙磁场研究中，对于永磁体径向充磁模型，直接解析法[15]、卡特因子[16]、划分精确子域[17]等方法对永磁电机气隙磁场进行求解。文献[18-19]采用全局解析法将模型划分3个解析区域，采用矢量磁位计算同心式磁力齿轮气隙磁场。对于Halbach阵列充磁模型，文献[20]采用矢量磁位计算Halbach磁力变速永磁无刷电机，将电机分部件构建了解析模型。文献[21]提出两种用于永磁无刷电机的双层分段Halbach阵列，分别求得内外层Halbach永磁体在气隙中的磁场，并进行叠加。文献[22]通过二维全局解析法，采用矢量磁位获取了Halbach阵列半闭口槽外转子永磁电机气隙磁场。文献[23]采用标量磁位推导出带有调磁环时的复磁导函数，对一种内转子不均匀的Halbach阵列磁性齿轮气隙磁场进行解析计算。
永磁电机转子偏心气隙磁场的研究中，对于永磁体径向充磁，文献[24-25]利用边界摄动理论来计算永磁电机转子偏心对气隙磁场带来的影响，然而该方法在建立数学模型及推导计算气隙磁通密度表达式的过程中忽略高阶无穷小量，若偏心率大则有明显的截断误差。文献[26]通过引入气隙磁导函数，应用矢量磁位解析计算电机偏心状态下开槽的气隙磁场。文献[27]利用改进的保角变换法，采用标量磁位，利用复磁导函数对有槽物理域气隙磁场进行调制，但非线性复磁导率推导求解计算较为复杂。文献[28]采用改进的等效面电流法对永磁体进行等效处理，结合子域模型以及矢量磁位叠加的方法对永磁电机气隙磁场进行解析计算，但其研究模型为磁极偏心。对于Halbach阵列充磁模型，文献[29]提出了一种线性分析模型，求解和优化Halbach表贴式偏心永磁电机气隙磁场，将偏心磁极进行上下分段处理，最后进行叠加计算，但其偏心模型为磁极偏心。目前，基于双曲余切变换求解Halbach阵列永磁电机转子偏心气隙磁场的研究较少。
本文基于双曲余切变换，构建了Halbach阵列定子开槽、转子偏心表贴式永磁电机二维模型。首先，应用双曲余切变换，将z平面转子偏心区域变换到w平面，得到代表等位线和磁力线的两组正交偏心圆簇，推导出转子偏心气隙相对磁导函数。然后，将同心解析模型分为Halbach永磁体、气隙和槽三类子区域，利用各区域边界条件，求解拉普拉斯方程和泊松方程，通过矢量磁位求得定转子同心时的气隙磁场。最后，利用相对磁导函数修正同心气隙磁场，从而获得偏心空载气隙磁场。对偏心空载气隙磁场进行研究，利用回归评估指标对气隙磁场进行评估。应用麦克斯韦张量法计算不平衡磁拉力及齿槽转矩。将气隙磁通密度、不平衡磁拉力、齿槽转矩解析结果与有限元结果进行对比，验证了本文解析模型的准确性与有效性。
Halbach阵列表贴式永磁电机转子偏心二维模型如图1所示。它由开槽定子、偏心转子及Halbach阵列永磁体组成。
图1中，Os、Or分别为定子圆心与转子圆心，e 为偏心距离，Rr1、Rr2分别为转子铁心内径和外径，Rm为永磁体外径，Rsy为槽底面半径，Rs1、Rs2分别为定子铁心内径和外径。永磁体上箭头方向表示每块永磁体的充磁方向。
图1 转子偏心二维模型
Fig.1 2D model of rotor eccentricity
Halbach永磁体由一组大小相同、磁化方向按一定顺序排列的永磁体组成。以8模块结构为例，其等效二维模型如图2所示。永磁体高度为h，宽度为wd。
图2 8模块Halbach永磁体阵列
Fig.2 8-module Halbach permanent magnet arrays
Halbach阵列每极由q块永磁体构成，假设极对数为p，则每块所占的角度为
（1）
若起始块中心线位于x轴并且极化方向为水平方向，则永磁体磁化方向表达式为
（2）
式中，l为q块中的第l块。
平面坐标系下，永磁体磁化强度M为
（3）
其中
（4）
（5）
式中，n为气隙磁场与永磁体磁场的计算谐波次数；q0为磁钢与最初设定角度间的偏移度数。
Halbach永磁体磁化强度傅里叶展开式为
（6）
（7）
式中，mr为相对磁导率；m0为真空磁导率。
在xy坐标系下的z平面和在uv坐标系下的w平面进行的变换，有
（8）
式（8）可变换为
（9）
式中，l 为与电机转子、定子半径和定转子中心相对偏移距离有关的一个大于零的常数。这种变换被称为双曲余切变换。
将式（8）代入式（9）中整理得出z另一种表达形式，并写成实部、虚部分别为
（10）
（11）
将式（10）和式（11）联立，并对v进行消元可得
（12）
可以看出，式（12）为以（lcothu, 0）为圆心、半径为
的一簇偏心圆方程，当u的取值发生变化时，其圆心和半径也随之改变。
z平面中曲线坐标u和v如图3所示，两簇相互正交的圆可分别代表电磁场中无旋场等位线和磁力线。通过合适的u值，找到两个半径为us与ur的圆，分别对应转子外径Rr2和定子内径Rs1，其圆心分别为（xs, 0）、（xr, 0）。因此，可以得出
图3 z平面中曲线坐标u和v
Fig.3 Curves coordinates u and v in the z plane
（13）
（14）
转子圆心与定子圆心间的距离为
（15）
联立式（13）～式（15）得
（16）
在2.1节建立的新坐标系下，定义气隙磁位Wecc(u,v)，设转子边界磁位为1，定子边界磁位为0，则Wecc(u,v)可由定转子边界条件求得。因此，Wecc(u,v)可以表示为
（17）
气隙区域中点的极坐标如图4所示，极坐标下z平面中的气隙区域任一点P可表示为
（18）
式中，r为转子圆心（xs, 0）到点P的距离。
图4 气隙区域中点的极坐标
Fig.4 Polar coordinates of midpoint in the air-gap region
将式（8）、式（17）和式（18）联立得到极坐标下的磁位表达式为
（19）
径向磁通密度为
（20）
在转子不偏心时，根据气隙区域内拉普拉斯方程及边界条件，可得气隙磁位表达式[30]为
（21）
其径向磁通密度表达式为
（22）
由式（20）和式（22）可求得径向相对磁导函数fr为
（23）
Halbach阵列同心永磁电机解析区域划分如图5所示。图中，以圆心O为原点建立二维极坐标系，i为第i个槽，b 为槽口角度，qi为第i个槽的初始角度。求解区域划分为Halbach永磁体区域Ⅰ、气隙区域Ⅱ以及槽区域Si，设模型开槽总数为Q。
图5 Halbach阵列同心永磁电机解析区域分布
Fig.5 Analysis area distribution map of Halbach arrays surface-mounted permanent magnet motor
为了便于分析作如下假设：①计算区域为二维极坐标系区域，忽略端部效应；②定、转子铁心磁导率无穷大；③永磁体Halbach充磁且相对磁导率mr=1；④定子槽为扇形直口槽，槽中无电流。
二维极坐标下，定子开槽情况下Halbach永磁体区域Ⅰ及气隙区域Ⅱ所满足的矢量磁位方程为
（24）
（25）
式中，
、
分别为Halbach区域及气隙区域的矢量磁位。
根据分离变量法可得到式（25）通解为
（26）
式中，m为极对数p和槽数Q的最大公约数；
～
为气隙区域待定系数。
式（25）为泊松方程，其解需要在通解的基础上加上一个由形式一致原则得到的特解，因此永磁体区域Ⅰ矢量表达式为
（27）
式中，
～
为Halbach永磁体区域待定系数。
根据电磁场理论，有
（28）
式中，B和H分别为磁通密度和磁场强度，下标r和q 分别表示其径向和切向分量；
为矢量磁位的z向分量。
因此，根据式（26）～式（28）可解得电机定转子同心时Halbach永磁体区域及气隙区域的磁通密度表达式为
（29）
（30）
（31）
（32）
第i个槽区域矢量磁位Asi在空载下的拉普拉斯方程为
（33）
由分离变量法解得
（34）
式中，
和
为定子槽区域系数；k为槽内磁场计算谐波次数；qi为第i个槽的槽口所在位置角度，由图5可知，
。
在式（34）中有
（35）
（36）
因此，根据式（33）得同心时槽区域切向磁通密度分量为
（37）
其中
（38）
Halbach永磁体区域Ⅰ及气隙区域Ⅱ交界面边界条件为
（39）
气隙区域Ⅱ与槽区域Si交界面边界条件为
（40）
根据式（28）～式（32）、式（34）～式（36）以及边界条件式（39）、式（40），利用Matlab符号计算求解出气隙区域待定系数
，求解表达式及矩阵见附录。在求解系数得到
的基础上，将代入式（35）和式（36）可以求得定子槽区域的矢量系数
和
，进而反推出。由此便可求得槽区域的矢量磁位。
利用相对磁导函数fr，修正Halbach阵列永磁电机同心气隙磁场，得到偏心气隙磁场为
（41）
式中，
为永磁电机转子偏心时径向磁通密度；
为永磁电机定转子同心时径向磁通密度。
转子偏心气隙磁场关系如图6所示。根据图6中的几何关系及式（31）和式（32），Halbach表贴式永磁电机转子偏心时，其气隙磁场径向磁通密度Br和切向磁通密度Bq 可分别表示为
图6 转子偏心气隙磁场关系
Fig.6 The relationship between rotor eccentric air-gap magnetic field
（42）
（43）
（44）
应用麦克斯韦张量法，经过坐标变换，气隙内径向和切向电磁力表达式分别为
（45）
（46）
式中，Lef为电机的轴向长度；rg为积分半径。
由此可得到x和y方向上转子所受到的不平衡磁拉力为
（47）
（48）
由麦克斯韦应力张量法，电磁转矩在气隙内沿圆周积分即可，所得结果与积分路径无关。在空载状态下，所计算的电磁转矩便为电机齿槽转矩，其计算式为
（49）
为了评估双曲余切法计算求得磁场的精度，本文采用回归评估指标，选取3个指标来评判[31]，分别是方均根误差（Root Mean Square Error, RMSE）、平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）和决定系数R2。RMSE和MAE用于计算解析解与有限元解的整体偏差程度，当被评估值在0附近时对评估指标影响较小，而R2受0附近被评估值影响大，因此应用R2作为辅助评估指标，三种指标公式分别为
（50）
（51）
（52）
式中，
和
分别为有限元解和解析解；t为计算样本数。当式（50）和式（51）中结果越接近0时计算精度越高，式（52）中结果越接近1时计算精度越高。
为了验证解析方法的合理性，本文以一台8极12槽的Halbach阵列转子偏心永磁电机为模型，利用Ansoft有限元软件搭建了仿真模型。将第3、4节中各场量的表达式用Matlab语言编程，得到其解析解，并与有限元解进行比较，分别对比了气隙磁通密度、不平衡磁拉力和齿槽转矩。模型参数见表1。
表1 模型参数
Tab.1 Prototype parameters
参 数数 值 转子铁心内径Rr1/mm60 转子铁心外径Rr2/mm150 永磁体外径Rm/mm154 定子铁心内径Rs1/mm164 槽底面半径Rsy/mm215 定子铁心外径Rs2/mm270 铁心轴向长度Lef/mm60 槽口宽度b/(°)9 永磁体剩余磁感应强度Br/T1.1 永磁体相对磁导率mr1.0 空气磁导率m0/(10-7N/A2)4p 定子槽数Q12 永磁体极对数p4 Halbach阵列每极永磁体分块数q4 气隙区域傅里叶最大展开次数nmax360 槽区域傅里叶最大展开次数kmax60
永磁电机的偏心率e为0.8时，磁力线分布如图7所示。图8为偏心率为0.2时，空载气隙磁通密度波形比较。以定子原点为圆心，选取气隙内计算半径rg=163.5 mm，磁钢偏移角度q0=0°，根据式（42）和式（43）求解出空载气隙磁场解析解并与对应的有限元解比较。有限元解和解析解吻合较好，证明本文所用方法的准确性。
图7 e=0.8，磁力线分布
Fig.7 Distribution map of magnetic field lines, e=0.8
图8 e=0.2空载气隙磁通密度波形比较
Fig.8 Comparison of no-load air-gap magnetic flux density waveforms, e=0.2
永磁电机转子不偏心的情况下，由式（31）和式（32）可知，气隙磁场存在的空间谐波次数v=nm，本模型中m=4。当转子发生偏心时，气隙中会产生np±1次的谐波[32]，其中n=1, 2, 3,…。
对图8中空载气隙磁场进行傅里叶分析，得到结果如图9所示。可以看出，转子偏心时产生的空间谐波次数为v=3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13,…。各阶次空间谐波分量解析解与有限元解基本吻合，同样验证了本文所用方法的准确性。
以定子原点为圆心，气隙内计算半径rg= 163.5 mm，磁钢偏移角度q0=0°，将偏心率分别为0.2、0.4、0.6、0.8时的空载气隙磁场解析解与对应的有限元解比较，不同偏心率下空载气隙磁场波形如图10所示。可以看出，随着偏心率的增加，空载气隙磁场畸变率也越大。不同偏心率下，有限元解和解析解吻合较好。
图9 e=0.2空载气隙磁场傅里叶分析结果
Fig.9 Fourier analysis results of no-load air-gap magnetic field, e=0.2
图10 不同偏心率下空载气隙磁场波形
Fig.10 No-load air-gap magnetic field waveforms under different eccentricity
表2为图10中的空载气隙磁场计算精度评估，可以看出，RMSE、MAE的值接近0，决定系数R2接近1，由此评估了本文解析方法的准确性。不同偏心率下评估值基本一致，本文解析模型适用于大偏心率下的偏心气隙磁场。
表2 计算精度评估指标
Tab.2 Computational accuracy evaluation metrics
磁场类型RMSEMAER2 e=0.2，解析法Br0.020 50.014 90.996 0 e=0.2，解析法Bq0.008 80.004 40.991 8 e=0.4，解析法Br0.025 00.018 30.994 2 e=0.4，解析法Bq0.014 70.006 80.973 1 e=0.6，解析法Br0.032 90.023 80.991 1 e=0.6，解析法Bq0.022 50.010 00.940 4 e=0.8，解析法Br0.045 40.031 80.986 8 e=0.8，解析法Bq0.032 10.013 20.892 8
图11为在偏心率e=0.9情况下，选取气隙内计算半径rg=163.5 mm处，边界摄动法与双曲余切法计算出的气隙径向磁通密度同有限元法的比较。
表3为两种方法评估指标的比较。可以看出，双曲余切法的MAE、RMSE的值更加接近0；决定系数R2达到0.983 3相比于边界摄动法的0.971 1更加接近1，因此，在大偏心率情况下，双曲余切法相比边界摄动法具有更高的精度。
在一个机械周期内，当偏心率e分别为0.2、0.4、0.6、0.8时，不平衡磁拉力在x和y方向上大小相等，相位相差90 °。在此只绘制y方向上的不平衡磁拉力Fy，其解析解与有限元解对比如图12所示。可以看出，随着偏心率的增加即偏心距离的增大，不平衡磁拉力也随之增大。因为偏心率增大时气隙中磁场的畸变程度增加，转子所受到的磁拉力越不平衡。两种计算值波形吻合较好。
图11 径向磁通密度比较
Fig.11 Comparison of radial magnetic flux densities
表3 评估指标比较
Tab.3 Comparison of evaluation indicators
计算方法RMSEMAER2 双曲余切法0.056 30.037 60.983 3 边界摄动法0.099 60.066 30.971 1
图12 不平衡磁拉力比较
Fig.12 Comparison of unbalanced magnetic forces
图13为偏心率e为0.2、0.4、0.6、0.8时，齿槽转矩解析解和有限元解的比较。齿槽转矩呈周期性变换，取一个周期进行分析。可以看出，空载时齿槽转矩很小，随着偏心率增加，齿槽转矩幅值不断增大。
图13 齿槽转矩比较
Fig.13 Comparison of cogging torque
本文采用双曲余切变换方法，利用相对磁导函数，通过矢量磁位解析计算Halbach阵列表贴式定子开槽、转子偏心永磁电机的空载气隙磁场。对偏心空载气隙磁场进行研究，利用回归评估指标对不同偏心率下的气隙磁场进行评估。将气隙磁通密度、不平衡磁拉力、齿槽转矩的解析解和有限元解比较，得到以下结论：
1）在不同偏心率下，空载气隙磁通密度评估结果较好，验证了本文方法的正确性和有效性。解析模型适用于大偏心率下的偏心气隙磁场。偏心时空载气隙磁场存在nm次和np±1次谐波。随着偏心率的增加，气隙磁场的畸变程度增大。
2）Halbach阵列永磁体采用分块设计，分块数可调整，便于快速建模分析，对于其他Halbach阵列永磁电机模型有一定的普适性。
3）采用矢量磁位计算气隙磁场，为后续求解电枢电流、电枢反应磁场等提供了基础。不同偏心率下不平衡磁拉力和齿槽转矩解析解近似有限元解，随着偏心距离增加，不平衡磁拉力及齿槽转矩也随之增大。
重要积分表达式如下。
t 为槽口磁通密度傅里叶分解周期，t =2p。求解系数时需要分两种情况讨论。
（1）当
时
（A1）
（A2）
（2）当
时
（A3）
（A4）
求解系数矩阵
（A5）
（A6）
其中
（A7）
（A8）
因此，解方程矩阵得气隙区域待定系数
分别为
（A9）
其中
（A10）
（A11）
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Abstract Accurate calculation of air-gap magnetic field is the key to design and analyse the permanent magnet (PM) motors. The Halbach arrays PM motor has outstanding torque output performance. Rotor eccentricity will cause the noise, rotor loss and torque ripple, which will have adverse effects on the PM motors. Therefore, it is of great significance to solve and analyse the air-gap magnetic field of the Halbach arrays surface-mounted (HASM) PM motor with rotor eccentricity.
This paper combines the hyperbolic cotangent transformation and the relative permeance function, the air-gap magnetic field of the HASM PM motor with rotor eccentricity is analytically calculated.A two-dimensional model of the HASM PM motor with rotor eccentricity is established. As shown in Fig.A1, two groups of orthogonal circles representing the equipotential and magnetic force lines in the w plane are obtained by using the above transformation for the rotor eccentricity region in the z plane.
The hyperbolic cotangent transformation can be expressed as follows:
（1）
where l is a constant related to the rotor radius, the stator radius and the relative deviation distance between the stator and the rotor center.
The radial magnetic flux density of the eccentric magnetic field when the magnetic potential difference is 1 is calculated in the w plane, and the radial air-gap relative permeance function can be obtained. The radial air-gap relative permeance function fr can be expressed as
（2）
where 
is the radial magnetic flux density when the rotor is eccentric, and 
is the radial magnetic flux density when the stator and the rotor are concentric.
The concentric analytical model is divided into three sub-regions: Halbach PMs, air-gap and slots. The Laplace equations and the Poisson equations are solved by using the boundary conditions of each region, and the air-gap magnetic field when the stator and the rotor are concentric is obtained by the vector magnetic potential.
By modifying the concentric air-gap magnetic field with the relative permeance function, the eccentric no-load air-gap magnetic field of the HASM PM motor is obtained.
Fig.A1 Curves coordinates u and v in the z plane
When the ratio of the eccentricity is 0.2, the comparison between the analytical solutions and the finite element (FE) solutions of no-load air-gap magnetic field is shown in Fig.A2. Br and Bq represent the radial and the tangential components of air-gap magnetic flux densities, respectively.
Fig.A2 Comparison of no-load air-gap magnetic flux density waveforms, e=0.2
It can be seen that the analytical solutions are consistent with the FE solutions, which proves the effectiveness and the correctness of the proposed analytical model.
In addition, the air-gap magnetic flux densities, unbalanced magnetic forces and cogging torque at different eccentricities are calculated and compared with the FE solutions, and the regression evaluation indicators are used for evaluation. The analytical method is compared with the boundary perturbation method, which is verified that the analytical model is suitable for the eccentric air-gap magnetic field with large eccentricity. The proposed method can be used for the design and the optimization of the HASM PM motor with rotor eccentricity.
keywords：Halbach arrays permanent magnet motor, hyperbolic cotangent transformation, rotor eccentricity, magnetic vector potential, no-load air-gap magnetic field
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.221813
中图分类号：TM351
收稿日期 2022-09-25
改稿日期 2022-10-25
刘蓉晖 女，1975年生，博士，副教授，研究方向为电机设计与电机电磁场解析计算。E-mail: liuronghuiyzy@126.com（通信作者）
刘锦坤 男，1999年生，硕士研究生，研究方向为电机电磁场解析计算。E-mail: a1229805586@qq.com
（编辑 崔文静）