图1 双三相SP-PMLSM的结构及绕组形式
Fig.1 Structure of the dual-three phase SP-PMLSM
摘要 为减少电机输入端电压和驱动变流器容量，长定子永磁同步直线电机常采用定子分段方式供电，但是定子分段永磁同步直线电机会产生定子电感不平衡并导致电流耦合、动子过分段造成反电动势扰动和推力波动等问题。首先，推导了分段供电双三相直线电机电流控制环中电感不平衡导致的电流耦合和反电动势扰动的表达式，设计了一种反馈解耦补偿器对电流进行解耦，采用动态相对增益矩阵（DRGA）对参数失配下的解耦程度进行分析。在此基础上，设计一种二阶滑模扰动观测器，对由过分段导致的反电动势扰动与电机参数失配进行补偿，增强了电流环的抗扰特性，实现了精确的电流跟踪，有效降低了电机的推力波动。实验结果验证了电流解耦与扰动抑制有效性。
关键词：电流控制 扰动 解耦 分段供电 双三相永磁体同步直线电机
双三相分段供电永磁同步直线电机（Section PowerSupply Permanent Magnet Linear Synchronous Machine, SP-PMLSM）采用永磁体励磁，具有推力密度高、响应速度快、控制品质好等优点[1-5]，同时单相容量低，容错性能好[6-10]，适用于需要大功率、长行程、高加速的场合。
然而，由于直线电机初级绕组分段，存在明显的电感不平衡现象[11-14]，导致dq坐标系下的电流耦合项除了直流成分还存在交流分量，动子在穿过定子供电分段过程中产生的永磁体反电动势也会随着耦合面积变化。以上问题导致电机的dq轴电流难以准确跟踪给定值，造成推力波动。
国内外学者对永磁同步电机的电流控制方法进行了深入的研究[15-24]。电流控制的方法主要分为基于模型预测的方法[16-18, 22]和基于PI控制器的改进方法[19-24]。文献[16]采用预测电流控制在ab 坐标系下对直线电机进行控制，有效降低了模型预测时的计算复杂度。文献[17]将多步连续电流预测控制方法中的优化转换成二次规划问题以处理电流电压超限，该方法需离线计算一定速度范围内的模型更新参数，没有考虑在线运行参数失配的问题。文献[18]通过增加扰动观测器对电流预测控制器中的扰动进行补偿，对直线电机的低频扰动抑制效果较好。文献[19]设计了基于内模扰动观测器的无差拍电流预测控制器，可以应对参数摄动及反电动势扰动的问题，适用于电机恒速运行的情况。文献[20]采用准比例谐振控制器对空心线圈PMLSM的电流进行控制，消除了电流中的特定次谐波。同时，设计自抗扰控制器以解决参数失配问题。但是，PR控制器的设计仅能消除特定次谐波，对速度变化较大的电机，其带宽有限。文献[21]对电流环设计自抗扰控制器，对永磁同步直线电机的耦合项与反电动势项统一视作扰动，采用线性扩张状态观测器（Extended State Observer, ESO）进行补偿，取得了较好效果。文献[22]对永磁同步直线电机采用模型预测电流控制，将反电动势与耦合项的统一视为扰动补偿到预测模型中，再通过误差矫正的方式保证电流控制的鲁棒性。
以上研究多集中在短初级直线电机中，而在分段供电长初级电机中存在过分段效应引起反电动势的迅速变化、电流波动，进而导致推力波动。文献[23-24]对定子分段式永磁同步直线电机由过分段导致的速度波动问题进行研究。电流控制器采用了PI调节器，且将动子穿过分段时的反电动势视作线性变化，前馈到电流环中。该方法是一种近似方法，不能完全反映反电动势在过分段时的非线性特征，影响了电流控制的性能。
本文采用矢量空间解耦理论推导了双三相SP- PMLSM在dq坐标系下的数学模型，分析了电感不平衡和过分段效应在电流环中产生的耦合项与反电动势扰动的特性。采用电流反馈解耦[25-26]，对电流环中的耦合项设计反馈解耦器（Feedback Decoupling, FBD），采用动态相对增益（Dynamic Relative Gain Array, DRGA）评估在参数失配时的解耦性能。在FBD的基础上提出了基于二阶滑模[27-28]的扩张状态观测器（Second-Order Sliding Mode Extended State Observer, SOSM-ESO），将观测电流环中的扰动补偿到电流环中，可有效抑制电流波动和推力波动。
双三相SP-PMLSM的结构及绕组形式如图1a所示。电机动子由永磁体组成，电机定子被分为N个分段，每个定子分段的双三相绕组均采用双中性点连接，如图1b所示。其中奇数号定子段由双三相逆变器A供电，偶数号定子段由双三相逆变器B供电。各分段由双边定子铁心组成，单分段内绕组串联连接，如图1a所示。各个定子分段通过轨旁开关与相应的逆变器相连，逆变器仅对与动子耦合的定子分段供电。定子的分段引入了由静态边端效应导致的电感不平衡，动子在穿过定子分段时，与定子电枢绕组交链的永磁磁链幅值不再是常量，而是随着动子与相应定子分段的耦合程度而改变[29]，电感不平衡与过分段效应均会影响电机的电流控制。
图1 双三相SP-PMLSM的结构及绕组形式
Fig.1 Structure of the dual-three phase SP-PMLSM
考虑电感不平衡和过分段效应的相空间数学模型[29]为
（1）
式中，us、is、yfs分别为双三相定子电压、电流和永磁体磁链向量，us=[uAuBuCuDuEuF]T, is=[iAiBiCiDiEiF]T,yfs=[yfAyfByfCyfDyfEyfF]T；R为相电阻；Ls为电感矩阵；v、x、Fem分别为动子速度、位移与推力；tp为电机极距。双三相SP-PMLSM的主要参数见表1。
表1 双三相SP-PMLSM的主要参数
Tab.1 The key parameters of dual-three phase SP-PMLSM
参 数数 值 相数m6相Y30° 极对数p3 每极每相槽数q2 极距tp/mm170.4 槽距Ws/mm14.2 铁心叠厚Lsw/mm160 两侧定子间距gs/mm39 永磁体厚度Hpm/mm24 永磁体宽度Wpm/mm12 铁心高度Hc/mm48.2
采用双三相Park变换（空间矢量解耦）将电机中的电压、电流、磁链等相物理量分别映射到与机电能量转换有关的由d轴与q轴张成的基波子平面，和与机电能量转换无关的其他子平面，即5次谐波子平面（z1轴与z2轴张成z1-z2子平面）与0序子平面（o1轴与o2轴张成o1-o2子平面）[30]。本文将此三个子平面合称为dq坐标系。由于电机采用双中性点连接，因此系统中不存在0序分量的电流，因而在以下分析中均不考虑电流的0序分量。
在相空间电压方程中，电感矩阵Ls为6阶方阵，按照电枢绕组空间相位差，Ls中的各个元素可分为五类，即相自感、120°互感、30°互感、90°互感和150°互感。对于旋转双三相电机这五类电感各自内部相等。对于SP-PMLSM，静态边端效应导致电机中的120°互感、90°互感和150°互感不再满足内部相等，因此电感矩阵不平衡。SP-PMSLM各类电感间的关系见表2，其中Lpq表示p相与q相之间的互感，p, q∈{A, B, C, D, F}，A～F为相序。
表2 双三相SP-PMLSM各类电感的关系
Tab.2 The relationships between the inductances of dual-three phase SP-PMLSM
电感类别相互关系 自感 (第1类)LAA=LBB=LCC=LDD=LEE=LFF 120°互感 (第2类)LAB=LDE, LBC=LAC=LEF=LDF 30°互感 (第3类)LAD=LBE=LCF 90°互感 (第4类)LCE=LAF=−LBD 150°互感 (第5类)LCD=LBF≠LAE
将相空间下的电感矩阵Ls分解为平衡分量Lsb与不平衡分量Lsg的和，即Ls=Lsb+Lsg，其中Lsb与Lsg分别为
（2）
式中，L1～L5分别为平衡分量中的5类电感，其中150°互感与30°互感互为相反数，即L3+L5=0；90°互感L4=0。L2g、L4g和L5g分别为120°互感、90°互感和150°互感中的不平衡分量。
双三相Park矩阵Psr为（不考虑0序分量）
（3）
式中，q 为永磁体d轴所在的电角度，q=px/tp。
采用Park矩阵Psr将式（1）变换到dq坐标系为
（4）
式中，idq、udq、yfdq分别为dq坐标系下的电流、电压以及永磁体磁链，udq=[uduquz1uz2]T, idq=[id iqiz1iz2]T,yfdq=[yfdyfqyfz1yfz2]T，下角标为d和q的物理量分别表示基波子平面d轴和q轴分量，下角标z1和z2分别表示5次谐波子平面z1轴和z2轴分量。
假设系统工作在近似稳态下，即didq/dt≈0，则式（4）可化为
（5）
式中，vp/tpLbcpidq与vp/tpLgcpidq分别为电感矩阵中的平衡分量与不平衡分量导致的耦合项。
将式（5）中矩阵Lbcp展开，则有
（6）
（7）
式（6）中Lbcp矩阵表明，电感矩阵中的平衡分量Lsb经过Park变换后使得d轴与q轴电流相互影响，同时z1轴与z2轴之间亦存在耦合。由于电机机械时间常数远大于电气时间常数，因此在一个控制周期内可近似认为速度v不变，因而这种耦合是近似直流的。另外，基波子平面中的电流与5次谐波子平面中的电流不会通过Lsb相互耦合。
由式（7）中的Lgcp可知，不平衡分量会引起各个电流分量之间复杂的耦合关系。在基波子平面中，d轴电流与q轴电流内部存在2倍频的交流耦合；对于5次谐波子平面，z1轴电流与z2轴电流间存在10倍频的交流耦合。另外，由于不平衡分量的存在，基波子平面与5次谐波子平面中的电流分量之间也存在相互耦合，即电机中的5次谐波也会影响基波子平面中电流的控制。基波子平面与5次谐波子平面中主要存在4次谐波和5次谐波交流耦合。双三相SP-PMLSM在dq坐标系下各个电流间的耦合关系见表3。
表3 双三相SP-PMLSM各电流分量的耦合关系
Tab.3 The coupling relationships between the currents of dual-three phase SP-PMLSM
idiqiz1iz2 id2DC、24、64、6 iqDC、224、64、6 iz14、64、61010 iz24、64、61010
注：DC表示直流耦合，数字表示交流耦合频次。
由式（5）可知，电流方程中还存在SP-PMLSM的空载反电动势edq。由于SP-PMLSM的分段供电形式，动子存在穿过分段的过程，导致永磁体于供电分段的耦合面积发生变化，使反电动势不再为常量。为求得dq坐标系下的空载反电动势，需先求出相应的永磁体磁链。对相空间永磁体磁链进行矢量解耦变换[30]，得到dq坐标系下的永磁体磁链。由于磁链中基波分量占主要成分，因此可忽略永磁体磁链中的高次谐波，仅对基波分量进行变换。
（8）
式中，y1为永磁体单元磁链中的基波幅值；a1～a6对应aA～aF，分别为永磁体与六相绕组间的非线性耦合因数，其随动子位置的变化曲线如图2所示。
图2 耦合因数与动子位置的关系
Fig.2 The relationships between coupling coefficients and mover position
依据式（8），当动子完全被供电分段覆盖时，各相耦合因数aA～aF=6（动子极对数为6），dq坐标系下的永磁体磁链可化为
（9）
式中，d轴永磁体磁链为直流量，其余分量皆为0。
当动子在进入或穿出供电分段时，耦合因数aA～aF随着动子位置的变化而变化，d轴永磁体磁链的直流分量在动子进入时增大，在动子穿出时减小。另外，在过分段过程中，还会在基波子平面引入2次谐波，而在5次谐波子平面中引入4次谐波。
将式（8）代入式（4-1）中计算得到dq坐标系下的空载反电动势edq表达式为
（10）
可见在反电动势的表达式中，d轴反电动势中存在由耦合因数的导数引起的直流分量和2倍频的波动量；q轴反电动势中的直流分量是耦合因数的函数，z1轴与z2轴的反电动势中由于耦合因数引入了4次谐波与6次谐波。动子穿过分段过程中的dq坐标下空载反电动势波形如图3所示。
由式（4-1）可知，电压方程还存在由电感不平衡分量与电流导数形成的动态扰动，即Lgdqdidq/dt。由于电机中电流不能突变，因此该动态扰动有界。电机的稳态框图形式如图4所示。
图3 动子穿过定子分段过程中在dq坐标系下的空载反电动势
Fig.3 The no-load back-EMF of dq coordinate system when mover pass through the segmented stotor
图4 双三相SP-PMLSM的电压方程框图
Fig.4 The block diagram of voltage equation of dual-three phase SP-PMLSM
前向通道传递函数矩阵(R+sLbdq)-1为对角矩阵，即
（11）
分析可知，若不存在过分段效应与电感不平衡，电压方程中的扰动项与耦合项均在速度变化程度较小时近似为常量，采用PI调节器可对dq坐标系下的各分量电流独立控制。电感不平衡和过分段反电动势则引入了交流耦合项与扰动项，严重影响了电流控制的动态性能。
为抑制由电感不平衡引起的电流耦合和动子过分段导致的反电动势扰动，设计了基于二阶滑模扩张状态观测器的电流解耦控制器（Feedback Decoupling controller based Second-Order Sliding Mode Extended State Observer, FBD-SOSM-ESO），其控制框图如图5所示。图中，
为dq坐标系下各个电流分量的给定值，
为扰动的观测值，Lbcp_n和Lgcp_n分别为电感矩阵Lbcp和Lgcp的标称值。通过系统的标称值对电流先进行解耦，再将系统的参数失配与反电动势统一视作扰动，通过观测器进行补偿。
图5 基于二阶滑模扩张观测器的电流解耦控制
Fig.5 The current loop feed forward decoupling controller based on the second-order sliding mode extended state observer
依据分段供电双三相SP-PMLSM的标称参数设计电流环的反馈解耦部分。
（12）
式中，udq_dc为解耦环节输出的补偿电压。
PI调节器的传递函数矩阵为
（13）
式中，Kp和Ki分别为PI调节器的比例常数和积分常数矩阵，Kp=diag(kpd, kpq, kpz1, kpz2)，Ki=diag(kid, kiq, kiz1, kiz2)；udq_PI为PI调节器输出的电压给定值；wc为PI调节器的截止频率。PI调节器按照零极点对消的原则进行设计，则选取kpd=kpq=Ld_n，kpz1=kpz2= Lz1_n，kid=kiq=kiz1=kiz2=Rn。Ld_n、Lz1_n、Rn分别为d轴电感、z1轴电感、相电阻的标称值。
假设电流环中的扰动已被完全补偿，将式（12）与式（13）代入式（4-1）获得加入电流环的闭环传递函数H(s)为
（14）
当标称值与系统真值完全一致时，即Lbcp= Lbcp_n，Lgcp=Lgcp_n时，式（14）化为
（15）
式中，I4×4为四阶单位矩阵。可见，采用反馈解耦后，电流环的闭环传递函数转化为截止频率为wc的一阶惯性环节。因此电流可以无静差地跟踪阶跃给定。
在实际情况中，系统的标称值通常与实际值存在偏差，这会导致解耦性能变差。为评估电流环的解耦程度，引入DRGA后l 为
（16）
式中，l 为传递函数H(s)的相对增益矩阵；“
”表示矩阵的Hadamard积。为了直观地表示系统整体的解耦程度，采用DRGA与单位矩阵差值中各元素绝对值的和表示系统的解耦度h 为
（17）
h 越接近0，表示系统的解耦程度越高。设kn为系统参数失配度，定义为参数标称值与真实值的比值，当kn=1时，标称参数与真值相等。在不同动子速度和kn下，电流环的解耦度h 如图6所示。可见当速度为0或kn=1时，采用反馈解耦可以保证h=0，即系统完全解耦。而随着参数失配度的增大或动子速度的增加，系统的解耦程度显著下降。因此，采用式（12）对系统解耦的同时，还需进一步削弱参数失配对电流控制带来的影响。
图6 不同动子速度与参数准确度下的系统解耦程度
Fig.6 Levels of decoupling with different v and kn
将参数失配与空载反电动势等统一归为一个未知扰动dtotal，则式（4-1）可整理为
（18）
电机系统中，ddtotal/dt=f有界，将dtotal扩张为一个新的状态变量，对式（18）构造观测器为
（19）
式中，上标“
”表示观测值。式（18）与式（19）作差获得误差系统为
（20）
式中，ei =idq-
；ed=dtotal-
。对式（20）求导，并令x1=ei，x2=dei/dt构造二阶系统为
（21）
为将状态量x1与x2镇定到0，选取Twisting算法构造观测量
的更新律为
（22）
式中，k1与k2为可调参数矩阵。设Ax2+Bf的取值范围在区间[-C, C]内，则参数矩阵k1与k2需满足条件式（23），以保证式（21）收敛到0[31]。
（23）
当x1=x2=0时，依据式（20）可得idq=，dtotal= ，表示扰动的观测误差为0。
基于RT-Lab实时实验平台[32]中的Virtex-7 FPGA板卡搭建了双三相SP-PMLSM的数学模型，离散化精度为5×10-7s[29]。电机动子长度小于定子分段长度，为精确反映电机的电感不平衡与过分段反电动势，建立了整个分段直线电机模型，由于该建模方法对FPGA资源占用较大，因此模型运行时采用4个分段循环的模式。采用基于PowerPC芯片的电机控制板卡实现电机的闭环控制，电机控制器的控制周期为6kHz，实验平台如图7所示，双三相SP-PMLSM的主要参数见表4。
图7 双三相SP-PMLSM控制测试实验平台
Fig.7 The control system test-set of dual-three phase SP-PMLSM
为验证FBD-SOSM-ESO在应对电感不平衡与参数失配情况下的有效性，忽略动子反电动势带来的扰动（认为动子堵动）。以A相绕组的轴线为参考，建立以30Hz固定频率旋转的dq坐标系，给定iq= 100A，id=iz1=iz2=0A。采用不同控制模式的电流响应如图8所示。参数准确的情况下，在电流环中仅采用PI调节器时，由于id与iq间的耦合较为严重，因而含有较大的2倍频谐波。同时，由于谐波子平面之间和z1与z2轴间的耦合，导致iz1与iz2中亦含有较大的4、6次谐波。当引入反馈解耦FBD后，dq轴下各个电流分量的波动基本消除，验证了FBD的有效性。当系统参数失配后，FBD无法完全消除电流环的耦合，因此各电流中重新出现了波动。在FBD的基础上增加SOSM-ESO后，各电流中的波动被明显抑制。
表4 双三相SP-PMLSM主要参数
Tab.4 The main parameters of dual-three phase SP-PMLSM
参 数数 值 单相自感L1/mH196.5 120°互感平衡分量L2/mH-82.3 120°互感不平衡分量L2g/mH85.4 30°互感L3/mH124.5 90°互感不平衡分量L4g/mH42.6 150°互感平衡分量L5/mH-124.6 150°互感不平衡分量L5g/mH86 相电阻R/mW29.3 动子最大速度vmax/(m/s)10 负载质量m/kg80
图8 不同控制模式下的双三相SP-PMLSM的dq坐标系的各电流分量
Fig.8 The current components in dq coordinate system of dual-three phase SP-PMLSM under different control strategy
为验证FBD-SOSM-ESO在速度闭环下的抗扰及解耦性能，速度外环采用PI调节器。动子的运行分为加速、匀速、制动三个阶段。加速过程持续1.2s，速度达到10m/s；匀速过程持续0.6s；最后在1.2s内将动子制动到0m/s。
电流环仅采用PI调节器时的电机响应如图9所示。电机一个分段中的dq轴电流如图9b所示，当电机速度较低时，电流环中的耦合项及反电动势扰动项均较小，电流较为平稳。当电机速度v＞5m/s时，由于反电动势与耦合项增大，从而电机的dq轴电流明显波动。尤其当动子过分段时，反电动势对电流环带来的扰动较大，q轴电流呈现以过分段为周期的波动。另外，由于耦合效应，q轴电流中还存在频率较高的2倍频波动。q轴电流的波动反应到各个分段的推力中（见图9c），从而导致电机的总推力中含有与q轴电流频率相同的波动，匀速区间中推力波动达到了15%，如图9d所示。推力波动会影响动子速度的平稳性，如图9a所示。可见在匀速运动区间中，速度波动达到1.5%。
图9 电流控制采用传统PI调节器时的电机特性
Fig.9 The performances of dual-three phase SP-PMLSM with PI controller in current loop
电流环中引入FBD-SOSM-ESO后，SP-PMLSM的响应如图10所示。一个分段下的dq轴电流如图10b所示，在0～10m/s速度区间中，dq轴电流保持平稳。在动子进入穿出分段时，FBD-SOSM-ESO有效补偿了由反电动势变化带来的电流环扰动。SP- PMLSM各个分段的推力与总推力分别如图10c和图10d所示。推力在全速度范围内均保持平稳，过分段时产生的推力波动由14%降低到了7.5%。电机动子的速度如图10a所示，在加速、匀速与制动阶段，实际速度较好地跟踪了给定值，匀速区间速度波动由1.5%下降到了0.7%。
图10 电流控制采用FBD-SOSM-ESO时的电机特性
Fig.10 The performances of dual-three phase SP-PMLSM with FBD-SOSM-ESO in current loop
实验结果表明，FBD-SOSM-ESO可以对电感不平衡下电流环进行解耦，对d轴和q轴电流中的2倍频以及z1轴和z2轴中的4、6倍频耦合项起到了抑制作用；并显著降低了动子过分段引起的反电动势扰动与参数失配的影响，提升了电流控制性能，提高推力与速度的平稳性。
本文针对双三相SP-PMLSM由于电感不平衡引起的电流耦合与动子过分段导致的反电动势扰动进行了分析，提出了一种FBD-SOSM-ESO控制策略对其进行抑制。结论如下：
1）电机的电感不平衡会导致基波子平面中存在2倍频耦合项；在5次谐波子平面中则会引入4、6倍频的耦合项。基于推导得到的电流耦合项，设计的反馈解耦器（FBD），有效抑制了d轴和q轴电流中2次谐波，以及5次谐波子平面的4、6次谐波。
2）电机过分段效应会在基波子平面中引入2倍频反电动势扰动，进而在5次谐波子平面中引入4和6倍频反电动势扰动。同时反电动势扰动的直流分量也会随着动子穿入和穿出分段而变化。提出的SOSM-ESO有效抑制了过分段引起的电流波动，将电机的推力波动由14%降低到了7.5%，提高了电机速度跟踪性能。
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Current Decoupling and Force Disturbance Suppression of Dual Three-Phase Permanent Magnet Linear Synchronous Motors with Section Power Supply
Abstract Section power supply strategy is usually adopted to reduce the voltage and capacity of the inverters in the drive system of the permanent magnet linear synchronous machines (PMLSM) with long primary. However, the sectionally powered armature windings will generate the imbalanced inductance matrix. During the mover entering and leaving progress, the coupling and disturbance of the currents in the linear machine are caused, resulting in fluctuation of current and consequently thrust force ripple. To regulate the current precisely and diminish the thrust force ripple, a feedback decoupling controller is designed, and the effectiveness of the designed feedback decoupling controller is evaluated by using a dynamic relative gain array (DRGA). Furthermore, the disturbance caused by the dynamic process in back-EMF and the mismatches of machine parameters are estimated and compensated by an extended state observer based on the second-order sliding mode. The experimental results show that the proposed current control strategy can effectively reduce the fluctuation in current and diminish the force ripple.
keywords：Current control, disturbance, decoupling, section power supply, dual three-phase permanent magnet synchronous machine
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211533
中图分类号：TM359.4
国家重点研发计划高速磁浮交通系统关键技术研究课题资助项目（2016YFB1200602-20）。
收稿日期 2021-09-27
改稿日期 2021-11-26
郭科宇 男，1993年生，博士研究生，研究方向为永磁直线同步电机设计及控制。E-mail: guoky93@mail.iee.ac.cn
史黎明 男，1964年生，研究员，研究方向为直线电机设计及其控制、无线电能传输技术。E-mail: limings@mail.iee.ac.cn（通信作者）
（编辑 郭丽军）