图1 双层有界磁屏蔽圆形平面螺旋线圈的横截面轴对称
Fig.1 Axisymmetric cross-section of a double-layer bounded magnetically shielded circular planar spiral coil
摘要 耦合系数是无线电能传输系统的关键参数之一，准确的耦合系数计算是优化无线电能传输系统结构和提高传输效率的重要理论依据。目前还没有带双层有界磁屏蔽任意位置圆形平面螺旋线圈之间的耦合系数计算方法。为此该文通过麦克斯韦方程组推导出双层有界磁屏蔽条件下的矢量磁位表达式，利用边界条件及空间几何关系得到任意空间位置的耦合系数公式。与传统的近似计算方法不同，该文所提出的耦合系数计算可以对圆形平面螺旋线圈间的耦合系数进行精确的数值求解。最后，以两个圆形平面螺旋线圈间多种相对位置的变化情况为例，计算值、仿真值与实验值吻合良好，验证了所提计算方法的正确性。
关键词：无线电能传输 圆形线圈 磁屏蔽 耦合系数计算
无线电能传输（Wireless Power Transfer, WPT）是一种在没有任何物理连接的情况下电源和负载之间能量传输的方法。由于其方便、灵活、可靠和安全的优势，在电力电子领域引起了极大的关注，该技术有可能取代传统的有线传输方法。目前正在研究将其纳入工业设备[1]、轨道交通[2]、电动汽车[3-6]、消费电子[7-8]、生物医学植入[9-10]和水下供电[11-12]中。然而，实际应用中常常会面临初级线圈与初级线圈发生错位偏移偏转的情况，这会使WPT系统传输效率发生不同程度的变化。因此，研究初级线圈与次级线圈相对空间位置的变化对WPT耦合系数的影响具有重要意义。
随着WPT应用范围的扩大，其线圈结构也各式各样，例如，矩形平面线圈、圆形平面线圈和六边形几何形状等。为应对复杂的无线充电环境，加入了磁屏蔽材料来提升电磁屏蔽性能。在WPT中，耦合系数的大小与WPT效率紧密相关，而耦合系数和自感决定了互感。关于矩形平面线圈在WPT系统中的互感已有大量研究，分别通过Biot-Savart定律[13]、麦克斯韦方程[14]、傅里叶级数[15-16]、傅里叶-贝塞尔变换[17]和二阶矢量位[18-19]对互感进行近似计算。但在对称性上圆形线圈比矩形线圈更具优势，更加稳定。
空气介质圆形线圈间的互感计算方面，文献[20-21]通过将圆形平面线圈划分为n等分的多边形对圆形平面线圈在空气中的互感进行精确计算，该方法的优点是能够预测n边形平面线圈的互感，但此方法当n越大时计算量越大。文献[22]通过矢量磁位来计算两平面线圈在空气中水平偏移的互感。文献[23]利用已知的椭圆积分，推导出水平偏移圆柱薄壁线圈在空气中和环之间的互感近似值表达式。文献[24-25]提出了基于诺依曼公式的任意空间位置的线圈间互感的改进算法。文献[26]基于Biot- Savart定律的分析模型，近似计算圆形和方形平面线圈在空气中任意位置的互感。即使目前已有任意空间位置的互感计算方法的研究分析，但带磁屏蔽材料的研究还很有限。
在磁屏蔽材料圆形线圈间互感计算方面，文献[27]使用电流镜像法计算单边单层无限大尺寸磁屏蔽材料上圆形线圈间互感。文献[28]通过应用贝塞尔-傅里叶变换和双傅里叶变换推导了松耦合WPT系统中方形和圆形线圈互感计算的解析模型，并研究了自感、互感和耦合系数与基底的相对磁导率和线圈的线间距的关系。但该研究仅考虑了线圈横向错位带双边单层无限大尺寸磁屏蔽材料的情况。文献[29]提出一种基于电场强度和坐标变换法的互感计算新解析方法，可以快速计算双层电磁屏蔽基板上任意相对位置圆形线圈之间的互感。但该文献假设磁屏蔽材料是无穷大模型，而实际应用中磁屏蔽材料尺寸是有限的。综上所述，目前带多层有界磁屏蔽圆形线圈任意空间位置的耦合系数计算方法问题还没有解决。
本文建立双层有界磁屏蔽圆形平面螺旋线圈在任意位置变化情况的耦合系数计算模型。首先，通过麦克斯韦方程组推导出矢量磁位，再利用边界条件获得等量关系求解出相应系数；其次，通过空间几何关系计算出旋转参数；然后，通过诺依曼公式求解出互感与自感，从而计算出耦合系数；最后，通过仿真与实验验证了所提耦合系数计算方法的正确性。
本文耦合系数计算流程为：①系统模型具有磁屏蔽材料和空气介质，因此可通过磁屏蔽材料和空气介质的边界将系统模型沿垂直方向划分为六个区域；②通过麦克斯韦方程组推导出各个区域的矢量磁位；③利用相邻区域的边界条件建立等量关系，通过等量关系式求解出各个区域的未知系数；④通过诺依曼公式求解出互感表达式和自感表达式；⑤利用线圈间空间几何关系求解出任意位置旋转参数表达式；⑥将旋转参数代入互感表达式得到任意位置互感表达式；⑦最后得到单边双层有界磁屏蔽圆形线圈间的耦合系数。
该模型使用两个有限尺寸的磁屏蔽材料作为基底，建立双层有界磁屏蔽圆形平面螺旋线圈的横截面轴对称如图1所示。由于该模型为轴对称模型，故建立柱坐标系（r,j, z）。图中，两个磁屏蔽材料均为圆形基底。mr1、s1和mr2、s2分别为两个磁屏蔽材料的磁导率和电导率。r1、r2分别为初级次级线圈半径，zp、zs分别为初级、次级线圈距离磁屏蔽材料高度。为方便计算，将该模型由z=zp，z=0，z=d1，z=d1+Dd和z=d2分为六个区域。初级线圈通入正弦电流Iejwt激励，其中，I为电流幅值，w 为角频率，t为时间变化量。
图1 双层有界磁屏蔽圆形平面螺旋线圈的横截面轴对称
Fig.1 Axisymmetric cross-section of a double-layer bounded magnetically shielded circular planar spiral coil
根据圆形线圈产生的时变电磁场的特点，可得到矢量磁位A。由于矢量磁位A只有一个ej 分量，并且沿ej 方向呈均匀分布，则Aj =A。通过麦克斯韦方程组推导各区域矢量磁位Ah（h =1, 2, 3, 4, 5, 6）满足
（1）
式中，
为拉普拉斯算子。通过分离变量法得到矢量磁位Ah (r, z)满足
（2）
式中，wi为特征值；
；Ao、Bo、Co、Do（o=1, 2, 3, 4, 5, 6）为各区域的系数常量；J1(wir)为第一类1阶Bessel函数；Y1(wir)为第二类1阶Bessel函数，故J1(wir)与Y1(wir)具有Bessel函数特性，即
（3）
由于所求矢量磁位为有限值，当r→0时，wir→0，Y1(wir)→∞，故Bi=0，则区域1, 2, 4, 6可推导为
（4）
（5）
（6）
（7）
根据边界条件，矢量磁位在某一截断区域r=h时Ah (h, z)=0。式（4）～式（7）含指数函数部分不为0，故有J1(wih)=0，根据此条件可求解出特征值wi。区域3、5含有磁屏蔽材料与空气两部分，此处以区域3为例，结合式（2）和式（3）可得
（8）
（9）
式中，qi和pi为特征值，且满足
。
由于磁感应强度B的法向分量和磁场强度H的切向分量具有连续性，则当r=c时，其边界条件满足
（10）
（11）
联立式（10）和式（11）得到系数A3和B3分别为
（12）
（13）
令R1(pir)=AiJ1(pir)+BiY1(pir)，则式（9）可改写为
（14）
式中，特征值qi和pi亦可通过R1(pih)=0这一条件求解。同理可得区域5的关系式为
（15）
（16）
（17）
（18）
式中，R1(sir)=AiJ1(sir)+BiY1(sir)，xi和si为特征值，且满足
。特征值xi和si亦可通过R1(sih)=0进行求解。
根据相邻区域间的边界条件的连续性，与磁感应强度B的法向分量和磁场强度H的切向分量的连续性可以得到
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
（26）
（27）
（28）
虽然所求解为无穷级数，但存在J1(wir)与Y1(wir)使得无穷级数快速收敛。为化简推导，可以近似将解列写为有限n项求和解。以A1(r, z)为例得
（29）
对式（29）两边同时乘以
，同时对r从0到h进行积分，得
（30）
根据Bessel函数的正交性可进一步对式（30）化简为
（31）
其中
将式（31）代入式（19）计算可得
（32）
同理，式（20）～式（28）可以改写为
（33）
（34）
（35）
（36）
（37）
（38）
（39）
（40）
（41）
利用消元法或克莱姆法则或Matlab计算出C2、C3、C4、C5、C6、D1、D2、D3、D4、D5，其中E、U、V、G、N为中间变量，即
（42）
（43）
式（43）可根据Lommel积分公式进一步求解得
（44）
式中，
，同理，系数V、G、N可以改写为
（45）
（46）
（47）
式中，
，因为需要求解的参数是互感M，所以只需求解出系数D1，计算出次级线圈与次级线圈之间的磁通量为
（48）
式中，l2为沿次级线圈所在圆形的积分路径。由于线圈为平面螺旋线圈，互感计算可近似为同心圆与同心圆间的互感，即
（49）
然而，实际线圈为多匝线圈，故总互感为
（50）
式中，N1与N2分别为初级线圈和次级线圈的匝数；f、g分别对应初级线圈和次级线圈处于第几匝的线圈。
自感是由导体本身电流的变化而产生的电磁感应现象，在其计算方面，可以巧妙的将其理解为两个规格一致的平面螺旋线圈距离无限接近时的互感，故依旧可以使用上述互感计算模型来计算自感。此处以初级线圈为例，由于两平面螺旋线圈无限接近，计算时令zs=zp，代入式（49）计算得
（51）
即可得到单匝线圈的自感，再代入式（50）得到多匝线圈的自感为
（52）
为实现对平面螺旋线圈的任意位置的互感计算，需求出以O1为圆心、以l为半径的圆Coil在Q点上的切线At与次级线圈在Q点上切线dl间的夹角b，即矢量磁位A与线元dl的夹角。任意相对位置双层有界磁屏蔽圆形线圈互感计算系统框图如图2所示，为方便求解，构建以O1为坐标原点的直角坐标系。次级线圈绕Y轴逆时针旋转角度为a（0°≤ a ≤90°），沿X轴平移距离l，其余参数与第1.1节一致。
图2 任意相对位置双层有界磁屏蔽圆形线圈互感计算系统框图
Fig.2 Block diagram of mutual inductance calculation system of double-layer bounded magnetically shielded circular coil at arbitrary relative positions
设次级线圈平面法向量为
（53）
根据式（53）可以得到正交向量u为
（54）
通过坐标运算求解出同时垂直于向量n与向量u的向量v为
（55）
显然，向量u与向量v均在次级线圈平面上，将向量u、v单位向量化为
（56）
（57）
根据式（56）、式（57）及坐标O2(l, 0, 0)可得次级线圈的参数方程为
（58）
式（58）结合几何关系可求出O1Q长度为
（59）
令
=O1Q，则有以为半径的圆Coil的参数方程为
（60）
分别对式（58）和式（60）中参数q、j 求导得到圆Coil与次级线圈的任意点Q的切向量为
（61）
（62）
通过式（61）和式（62）可以求出任意空间的旋转参数，即夹角b 的余弦为
（63）
式中，0°≤a ≤90°，为扩大通式可求解的a 角度范围，可通过圆形线圈的对称性对式（63）改写为
（64）
式中，0°≤a ≤180°。
结合1.2节任意位置旋转参数cosb 与式（49），可推导出任意位置单匝线圈的互感公式为
（65）
式中，
由式（58）求得，
由式（59）求得，cosb 由式（64）求得。再将式（65）代入式（50）即可求出任意位置多匝线圈的互感。
综合所述，可以得到互感Mps与初级线圈自感L1、次级线圈自感L2，则耦合系数k为
（66）
为验证所提式（66）的有效性，通过有限元仿真软件Ansys Maxwell搭建有限元仿真模型如图3所示。由于本文讨论无线电能传输系统在任意空间位置的耦合系数，故仿真与实验验证部分，将通过改变次级线圈的位置，测出其对应的互感与自感，分析耦合系数仿真值、实验值与计算值之间的误差。本节设置次级线圈垂直偏移、水平偏移、角度偏转和水平偏移+角度偏转四组数据进行验证，其对应的线圈各状态实验模型如图4所示。同时为测量实验耦合系数中的互感值，研制了一套收发线圈装置，实验装置如图5所示，收发线圈与磁屏蔽材料的参数见表1。
图3 有限元仿真模型
Fig.3 Finite element simulation model diagram
图4 线圈各状态实验模型
Fig.4 Experimental model diagram for each state of the coil
图5 实验装置
Fig.5 Diagram of the experimental setup
表1 线圈与磁屏蔽材料参数
Tab.1 Coil and magnetic shielding material parameters
参 数数 值 初级线圈匝数N117 次级线圈匝数N216 初级线圈初始半径/mm31 次级线圈初始半径/mm36 半径改变量/mm1 初级线圈高度zp/mm17 次级线圈高度zs/mm27～117
（续）
参 数数 值 铁氧体半径c/mm50 铁氧体厚度d1/mm5 铁氧体磁导率mr1/(H/m)1 000 铁氧体电导率s1/(S/m)0.01 铝板半径c/mm50 铝板厚度/mm5 铝板磁导率mr2/(H/m)1.000 021 铝板电导率s2/(S/m)38 000 000
通过TH2829A阻抗分析仪进行电感测量，其电流频率设为85kHz。实验耦合系数中的互感测量方法：首先通过初级线圈与次级线圈同相连接，得到线圈两端的电感为Le1=L1+L2+2Me；再将初级线圈与次级线圈反相连接，得到线圈两端的电感为Le2= L1+L2-2Me。因此，初级线圈与次级线圈之间的互感M=|Le1-Le2|/4。其中L1为初级线圈自感，L2为次级线圈自感。实验互感测量原理如图6所示。
图6 实验互感测量原理
Fig.6 Experimental mutual inductance measurement schematic
次级线圈沿Z轴正方向从zs=27mm处以步长Dzs=10mm依次进位至zs=117mm，次级线圈垂直偏移示意图如图7所示。图中，虚线为次级线圈上一时刻位置，实线为偏移后的相对位置。由于实际磁屏蔽材料间隙非常小，对耦合系数影响很小，故本文后续计算与仿真数据均以Dd=0进行计算。
图7 次级线圈垂直偏移示意图
Fig.7 Schematic diagram of the vertical offset of the secondary coil
测得垂直偏移时的耦合系数仿真值、计算值和实验值及误差见表2。表2中，Dz为次级线圈与初级线圈的距离，k1、k2和k3分别为计算耦合系数、仿真耦合系数和实验耦合系数。g1为计算的耦合系数与仿真耦合系数之间的误差，g2为计算的耦合系数与实验耦合系数之间的误差。g1和g2表达式分别为
（67）
（68）
表2 垂直偏移时的耦合系数及误差
Tab.2 Coupling coefficients and errors at vertical offsets
Dz/mmk1k2k3g1(%)g2(%) 100.567 890.563 0130.557 8430.871.80 200.368 2570.363 7920.367 7411.230.14 300.246 5410.246 2880.248 4860.100.78 400.170 5450.172 2680.173 671.001.80 500.121 7810.123 6730.121 8341.530.04 600.089 5540.090 7720.090 891.341.47 700.067 60.067 9780.068 6140.561.48 800.052 1880.051 8510.050 3830.653.58 900.041 0560.040 1930.039 3192.154.42 1000.032 8160.031 6410.031 2133.715.14
由于自感原则上不会变化，通过1.1节介绍的自感计算方法计算出初级线圈自感L1=37.492mH，次级线圈自感L2=36.877mH。
分析表2可得，次级线圈与初级线圈垂直距离为100mm时，计算的耦合系数与仿真耦合系数误差g1=3.71%外，计算的耦合系数与实验耦合系数之间的误差g2=5.14%，其余误差均不大于4.42%，体现出仿真、计算与实验具有较好的一致性。在次级线圈垂直偏移的情况下，结合表2数据绘制出各项耦合系数随垂直距离变化曲线如图8所示。
分析图8可知，次级线圈与初级线圈距离越近，耦合系数越高。随着沿Z轴正方向距离的增大，磁通量减小，耦合系数逐渐减小，且随着垂直距离的增大，耦合系数下降的趋势也逐渐减小，这是由于在增加相同步长时，距离越远，磁通量的改变越小。
图8 耦合系数随垂直距离变化曲线
Fig.8 Plot of the variation of the coupling coefficient with vertical distance
次级线圈垂直距离zs保持不变，此处设定zs= 77mm，zp=17mm。初级线圈与次级线圈之间垂直距离Dz=60mm。对次级线圈以步长为10mm沿X轴正负方向水平偏移l，l范围为-50～50mm，次级线圈水平偏移示意图如图9所示。
图9 次级线圈水平偏移示意图
Fig.9 Schematic diagram of the horizontal offset of the secondary coil
测得耦合系数仿真值、计算值和实验值及误差分析见表3。表3中，l为次级线圈垂直距离zs=77mm时水平偏移量。
分析表3可知，计算的耦合系数与仿真耦合系数之间的误差除次级线圈水平偏移至X轴正半轴50mm处误差g1=2.09%外，其余误差均不大于1.65%。计算耦合系数与实验耦合系数之间误差除次级线圈水平偏移至X轴负半轴50mm处误差g2= 5.6%外，其余误差均不大于2.65%。体现了仿真值、计算值与实验值具有很好的一致性。在次级线圈水平偏移的情况下，结合表3数据绘制出各项耦合系数随水平距离变化曲线如图10所示。
表3 垂直距离zs=77mm, zp=17mm, Dz=60mm时水平偏移的耦合系数及误差
Tab.3 Coupling coefficients and errors for horizontal offset at vertical distances zs=77mm, zp=17mm and Dz=60mm
l/mmk1k2k3g1(%)g2(%) 500.045 6950.044 7590.044 82.092.00 400.057 7010.058 0850.056 770.661.64 300.069 7280.070 7550.070 9431.451.71 200.080 0710.081 2710.080 0871.480.02 100.087 0740.088 310.084 8231.402.65 00.089 5540.090 7720.090 891.341.47 -100.087 0740.088 3650.088 0641.461.12 -200.080 0710.081 390.080 5981.620.65 -300.069 7280.070 8980.071 0591.651.87 -400.057 7010.058 30.058 7661.031.81 -500.045 6950.044 9930.043 2721.565.60
图10 耦合系数随水平偏移距离变化曲线
Fig.10 Variation curve of coupling coefficient with horizontal offset distance
分析图10可知，耦合系数最高处次级线圈水平偏移距离为0mm，随着次级线圈水平偏移距离的增加，磁通量减少，耦合系数逐渐降低。
次级线圈与X轴的距离zs不变，此处设定zs= 77mm。初级线圈与次级线圈圆心之间垂直距离Dz= 60mm，次级线圈绕Y轴逆时针旋转角度为a，步长为10°，次级线圈垂直偏转示意图如图11所示。
实验分析了a 范围为0°～90°的耦合系数仿真值、计算值和实验值见表4。a 为次级线圈垂直距离zs=77mm时垂直偏转量。
图11 次级线圈垂直偏转示意图
Fig.11 Diagram of the vertical deflection of the secondary coil
表4 垂直距离zs=77mm, Dz=60mm时垂直偏转的耦合系数及误差
Tab.4 Coupling coefficients and errors for vertical deflection at a vertical distance zs=77mm and Dz=60mm
a/(°)k1k2k3g1(%)g2(%) 00.089 1850.090 7720.090 891.751.88 100.089 7230.091 5260.088 1281.971.81 200.091 2510.093 3590.092 3862.261.23 300.093 3620.095 9320.093 1762.680.20 400.094 8840.098 1530.098 0283.333.21 500.093 3920.097 2840.092 7924.000.65 600.085 2270.088 320.084 9013.500.38 700.066 8020.067 3180.067 8690.771.57 800.037 1590.035 7380.035 2933.985.29 900-0.001 25———
分析表4可知，计算的耦合系数与仿真耦合系数之间的误差g1除旋转角度为50°时误差为4%外，其余误差均不大于3.98%。计算耦合系数与实验耦合系数之间的误差g2除旋转角度为80°时误差为5.29%外，其余误差均不大于3.21%。由于旋转角度为90°时，理论上将次级线圈视为垂直于初级线圈的细线，则磁通量应为零。但在仿真模型中，由于存在接口衔接部分的微小突起，故仿真时具有微小的磁通量。由于此处磁通量没有实际意义，故未作实验对照组以及误差分析，仿真值、计算值与实验值具有良好的一致性。在次级线圈垂直偏转的情况下，结合表4数据绘制出各项耦合系数随垂直偏转角度变化曲线如图12所示。
图12 耦合系数随垂直偏转角度变化曲线
Fig.12 Variation curve of coupling coefficient with vertical deflection angle
分析图12可知，次级线圈垂直偏转角度为0°～50°时，耦合系数无明显下降，且在次级线圈垂直偏转角度为10°～40°时，耦合系数有微小提升，这是由于次级线圈比初级线圈大。在垂直偏转10°～40°时，次级线圈向XOY面的投影面积基本在初级线圈内，且在偏转过程中内径逐渐减小，与初级线圈逐渐对齐，磁通量有微小的提升，故有此现象。次级线圈垂直偏转角度为50°～90°与初级线圈对齐面积减小，故耦合系数逐渐下降。
次级线圈与X轴的距离zs不变，此处设定zs= 77mm。初级线圈与次级线圈圆心之间垂直距离Dz= 60mm，次级线圈绕Y轴顺时针旋转角度为a，此处设定a =-20°，对次级线圈以步长为10mm沿X轴正负方向水平偏移l，l范围为-50～50mm，次级线圈水平偏移加角度偏转示意图如图13所示。
图13 次级线圈水平偏移加角度偏转示意图
Fig.13 Schematic diagram of the horizontal deflection plus angular deflection of the secondary coil
测得zs=77mm，a =-20°时耦合系数仿真值、计算值和实验值及误差分析见表5。表中，l为次级线圈垂直距离zs=77mm，垂直偏转a =-20°时水平偏移量。
表5 zs=77mm, Dz=60mm, a =-20°时耦合系数计算值、仿真值和实验值及误差
Tab.5 Calculated, simulated and experimental values of coupling coefficients and errors for zs=77mm, Dz=60mm and a =-20°
l/mmk1k2k3g1(%)g2(%) 500.049 0460.047 8990.047 1742.393.97 400.059 9490.060 0920.059 8660.240.14 300.071 4090.072 170.071 7981.060.54 200.081 5480.082 7180.081 2541.420.36 100.088 3950.090 0820.088 4591.870.07 00.090 3740.092 7860.092 6742.602.48 -100.086 7490.089 8290.089 1753.432.72 -200.077 8150.081 2970.081 664.284.71 -300.064 8730.068 280.067 9264.994.49 -400.049 9040.052 6160.052 1475.154.30 -500.035 0910.036 2670.036 5273.243.93
分析表5可知，除计算的耦合系数与仿真耦合系数误差g1在沿X轴负方向40mm时为5.15%外，其余计算的耦合系数与仿真耦合系数间误差g1≤4.99%。计算耦合系数与实验耦合系数间误差g2≤4.71%。仿真值、计算值与实验值具有较好的一致性。在沿X轴负方向水平偏移时，计算的耦合系数与仿真耦合系数间误差g1比沿X轴正方向水平偏移时计算的耦合系数与仿真耦合系数间误差g1大，这是由于仿真模型闭合线圈的衔接处的导线在旋转后偏下，仿真值偏大，因此误差相对较大。在次级线圈水平偏移加角度偏转的情况下，结合表5数据绘制出各项耦合系数随水平偏移距离变化曲线如图14所示。
分析图14可知，耦合系数最高处次级线圈水平偏移距离为0mm，随着次级线圈水平偏移距离的增加，磁通量减少，耦合系数逐渐降低，且次级线圈沿X轴正半轴水平偏移时耦合系数比次级线圈沿X轴负半轴水平偏移时耦合系数下降的趋势小，这是由于次级线圈绕Y轴顺时针旋转20°，沿X轴正半轴水平偏移时所接收到的磁通量大于次级线圈沿X轴负半轴水平偏移时所接收到的磁通量，故有此 现象。
图14 耦合系数随水平偏移距离变化曲线
Fig.14 Variation curve of coupling coefficient with horizontal offset distance
本文提出了一种无线电能传输系统带双层有界磁屏蔽圆形平面螺旋线圈任意空间位置的耦合系数计算方法。通过麦克斯韦方程组推导出矢量磁位公式，利用各区域的边界条件得到各区域的矢量磁位的对应关系式，最后推导出耦合系数计算公式，并通过仿真与实验对计算结果进行验证。本文提出的耦合系数计算模型可以实现线圈间任意空间位置，且带双层有界不同材质磁屏蔽材料的计算，比现有圆形平面螺旋线圈的耦合系数计算模型更具一般性。研究结果为线圈设计和参数优化提供了理论依据，对下一步双边双层有界磁屏蔽耦合系数的研究也具有一定借鉴意义。
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Calculation of The Coupling Coefficient of an Arbitrarily Positioned Circular Coil for Wireless Power Transfer System with a Double-Layered Finite Magnetic Shield
Abstract The coupling coefficient is one of the critical parameters in the wireless power transfer system. Its accurate calculation is vital for optimizing the structure of the wireless power transfer system and enhancing the transfer efficiency. However, there is no method for calculating the coupling coefficient between circular planar spiral coils with double-layered finite magnetic shields at an arbitrary position. In this paper, the expression of vector magnetic potential under the condition of a double-layer finite magnetic shield is derived from Maxwell's equations. Moreover, the equation of the coupling coefficient for an arbitrary position is obtained using the boundary conditions and geometric spatial relations. Different from the traditional approximate calculation method, the proposed coupling coefficient calculation can solve the exact coupling coefficient between circular planar spiral coils. Finally, taking various relative positions between two circular planar spiral coils as an example, the calculation, simulation, and experimental results are in good agreement, which verifies the correctness of the proposed calculation method.
keywords：Wireless power transfer, circular coils, magnetic shield, calculation of coupling coefficients
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220478
中图分类号：TM724
国家自然科学基金项目（11901188）、湖南省教育厅项目（20B186, 18A272）和湖南省自然科学基金项目（2019JJ60055）资助。
收稿日期 2022-04-01
改稿日期 2022-06-08
李中启 男，1985年生，博士，研究生导师，研究方向为无线电能传输技术。E-mail: lizhongqi@hnu.edu.cn
黄守道 男，1962年生，教授，博士，博士生导师，研究方向为特种电机本体及控制、无线电能传输技术。E-mail: hsd1962@hnu.edu.cn（通信作者）
（编辑 陈 诚）