（1）
摘要 传统有限约束集模型预测控制方法仅利用二电平电压源型逆变器的六个有效空间电压矢量和两个零矢量作为控制集合，致使永磁同步电机的相电流中存在较高的电流谐波。针对这一问题，提出一种基于旋转坐标系下电压幅值控制集合的幅值控制集模型预测控制方法。首先通过对电机的负载状态进行分析，根据电机电压状态方程设计电压幅值控制集合，然后根据电流参考值和电流预测模型选择出最优电压幅值，根据当前转子位置，将最优幅值合成逆变器电压矢量作用于电机。该方法能够有效地降低最优矢量的相位误差和幅值误差，从而减小电机的电流谐波和转矩脉动。同时，有限的择优范围和幅值控制集的设计，使得该方法有效地降低了算法的计算复杂度。最后搭建硬件实验平台，通过与电流环PI控制器和占空比模型预测电流控制器进行对比，验证了该方法在动态性能和稳态性能方面优越性。
关键字：永磁同步电机 模型预测控制 电流谐波 幅值控制集模型预测控制
近年来，随着电力推进技术的不断发展，永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）驱动控制技术也不断革新。在PMSM的驱动控制策略中，模型预测控制是一种具有高动态性能和可实现多目标优化的控制方法[1-3]。模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）根据求解原理主要可分为两类，一类为连续集模型预测控制，该类策略又可分为广义预测控制策略[4]和显式模型预测控制[5]两种。但该类方法无论是采用离线计算还是在线计算，对控制器的计算性能都要求较高，这一特点制约了这一方法的推广。另外一类为有限约束集模型预测控制（Finite Constraint Set Model Predictive Control, FCS-MPC）[6-7]，文献[8]将其应用到了电机驱动系统中。该策略将逆变器的所有开关状态组成电压矢量备选集，根据代价函数采用遍历法对所有的电压矢量进行评估，选取出使代价函数最小的最优电压矢量作用于电机。在常见的两电平电压源型逆变器供电的PMSM驱动控制系统中，FCS-MPC的备选矢量仅有6个幅值及相位均固定的电压矢量。因此，在此控制策略下的电机易存在较大的电流谐波和转矩脉动。为了解决这一问题，国内外学者提出了多种改进方法。
1）扩展矢量集合法。文献[9]首先将基本电压矢量的幅值分成三段，扩展生成18个基本有效矢量及零矢量。与该方法类似，文献[10]将6个基本有效矢量幅值缩至原来的二分之一，同时将两个相邻的电压矢量合成为新的矢量，通过这样的方式扩展了备选电压矢量集。而在文献[11]中，通过对相邻的基本有效矢量的夹角均分，生成了相位不同的虚拟矢量，构建了扩展矢量集。文献[12]通过多次电压幅值和相位的迭代选取最优的电压矢量。扩展矢量集合法通过扩展备选矢量的个数来减小预测误差，使选择的最优矢量更加贴近目标矢量，但是该类方法主要是在静止坐标系下进行扩展，每个矢量解的求解，都需要进行坐标变化，增加了计算量。
2）代价函数优化。在FCS-MPC的代价函数中，权重系数设计是用来平衡多个参考值和预测值的关键因素，选取合理的权重系数会提高电机的运行性能，反之会使系统的控制性能变差[13]。为此，许多学者提出改进代价函数法[14-16]。但是该类方法无法彻底地解决矢量集有限所造成的电流谐波和转矩波动，同时在线整定权重系数的方法也会明显增加计算量，不利于应用。
3）占空比控制法。占空比FCS-MPC通过控制输出矢量的作用时长来减小预测误差，从而能够达到降低电流谐波的目的[17]。文献[18]在基于占空比的模型预测控制系统中给出了在不同电机状态下的择优方案，不仅降低了磁链和转矩的纹波，而且提高了系统的动态响应速度。但是，占空比模型预测控制（Duty Cycle Model Predictive Control, DMPC）的本质是有效空间电压矢量和零矢量相结合，输出的这种矢量组合并非最优组合，对系统稳态控制精度提升效果有限。文献[19-22]在DMPC的基础上，提出了改进的三矢量模型预测控制方案。文献[23]同时考虑所有可行的二矢量组合与其相应的占空比构成合成矢量集合，然后在该集合中选择最优的控制量。该类方法不仅需要选取两个最优矢量，还需要计算这两个矢量的作用时长，计算量也比较大，且占空比的计算依赖固定的电流模型，不利于实现模型预测控制的多目标优化控制。
为了解决传统FCS-MPC的可选矢量少、计算量大的问题，本文在模型预测电流控制的基础上，提出一种基于电压幅值的幅值控制集模型预测控制（Amplitude Control Set Model Predictive Control, ACS-MPC）方法。该方法首先根据电机的转速和电压方程估计电机在旋转坐标系下可能的电压幅值范围，并根据控制器性能将电压范围设计成幅值集合：然后依次将幅值代入代价函数当中，根据输入参考值选择最优电压幅值；最后根据转子位置合成虚拟电压矢量。该方法在控制解的选取过程中避免了三角函数的使用，同时能够剔除无效的电压矢量，降低控制器的计算压力，提高控制芯片的运行效率，并使预测误差显著降低，从而提高了电机的稳态性能。
本节首先介绍在旋转坐标系下的PMSM电流数学模型，从而给出基于FCS-MPC的电流预测方程；其次，分析了二电平电压源型逆变器的基本特性，给出了FCS-MPC的代价函数设计方法；最后分析了FCS-MPC存在的问题。
PMSM在旋转坐标系下的电流数学模型为
（1）
式中，id、iq、vd、vq、Ld、Lq分别为电机dq轴电流、电压和电感；ωe、Rs、ψ分别为电机电角速度、绕组电阻和永磁体磁链；t为时间。
假设采样时间为Ts，采用前向欧拉的离散方法，将式（1）离散化后，得到永磁同步电机的电流预测方程为
（2）
式中，k为当前采样周期；k+1为下一采样周期。式（2）中待选电压值vk q和vk d是在旋转坐标系下的变量。这是一种模型预测电流控制的方法，该方法通过对当前时刻不同电压值的选取，预测出在k+1时刻的电流值。通常情况下，FCS-MPC将7个固定的电压矢量经过坐标变换得到备选电压值。下面对这一方法进行分析。
在PMSM驱动控制系统中，二电平电压源型逆变器是一种常见的逆变器拓扑结构，这种结构共有八种开关组合，包括六个有效空间电压矢量（Si，i=1,2,3,4,5,6）和两个零矢量（S0, S7），这些矢量共同构成了FCS-MPC的矢量备选集。如图1所示，每个电压矢量经过Clarke变换后生成分布在α和β坐标轴上的电压矢量vα、vβ。再经过Park变换，得到在旋转坐标系下的的电压值（vdc为母线电压）。
图1 二电平电压源型逆变器电压矢量分布
Fig.1 Voltage vector distribution of two level voltage source inverter
假设当前电机的电角度为
，可以通过式（3）计算出旋转坐标系下的分量。
（3）
FCS-MPC的基本原理是通过代价函数来评估最优电压矢量：首先将六个有效电压矢量和两个零矢量Si（i=0～7）在旋转坐标系下的dq轴分量依次代入代价函数中，选取出令代价函数最小的电压矢量值，进而控制逆变器输出。模型预测电流控制的代价函数
通常是将电流参考值和预测值之间的差值作为代价函数，评估出电压控制集合中最优的电压矢量，如式（4）所示。
（4）
式中，iref q为转速环输出的q轴参考电流[24]；对于内置式永磁同步电机，d轴参考电流iref d可通过最大电流转矩比环节求得，而对于本文选取的表贴式PMSM，通常设置为0；K为预测电流不超过电机允许的电流额定值IN，有
（5）
同时，对于内置式PMSM，还可通过在代价函数中添加最大电流转矩比电流约束项实现最大电流转矩比控制[25]。
因此根据式（2）～式（4）可以得出有限约束集模型预测电流控制的系统控制结构，如图2所示，首先，根据转速环的输出确定q轴电流参考值，然后根据电机的预测模型分别预测出六个有限电压矢量和零矢量在下一时刻的电流预测值，并将各个预测值和参考值代入代价函数进行评估，选择出令代价函数最小的电压矢量，并得到相对应的逆变器开关状态。如此往复，使电机得到控制。除此之外，此过程还可以采用二步预测的方法选取最优电压矢量[26]，避免系统的控制延迟。
图2 FCS-MPC控制结构
Fig.2 FCS-MPC control structure
在理想情况下，代价函数的值应该是趋于零的，即预测误差为零。但由于空间矢量的数量有限，FCS-MPC很难达到无差预测。尤其是在电机转速较低时，由于电机在此状态下的电压矢量幅值较小，最优矢量会在有效矢量和零矢量之间频繁切换，此时的预测误差会非常大，致使电机中会存在较大电流谐波和转矩脉动。甚至对于中高速电机，当母线电压幅值较大，而电机设置转速较低时，采用传统FCS-MPC进行控制可能会出现一直选择零矢量的情况，导致起动失败。DMPC可以有效地避免这一问题，该方法通过在矢量集合中剔除零矢量，在最优矢量选取后，通过插入零矢量来控制最优矢量的作用时间，从而减小预测最优矢量和理想最优矢量的预测误差。但当选择的最优矢量相位与目标矢量相差较大时，依然会存在较大的电流谐波。为了解决这一问题，必须增加可选的电压矢量。但从前文分析中可以看出，在静止坐标系下增加的虚拟电压矢量都需要变换到旋转坐标系下，这会增加控制器的运算量负担。而从式（2）中可以看出，若设计基于旋转坐标系下的备选矢量集合，会简化模型预测控制的择优过程。同时，在当前控制周期的转子位置下，并不是所有的电压矢量都有必要参与运算。因此，本文提出基于旋转坐标系下的电压ACS-MPC控制。
FCS-MPC的主要问题在于空间电压矢量集覆盖的相位范围太广而数量太少，导致矢量之间的相位差较大。因此在预测过程中，选取的最优矢量很难与实际需要的参考矢量一致，从而造成电机电流中存在较大的电流谐波。但是增加过多的静止坐标系下的虚拟空间电压数量会大幅增大控制器的运算压力。因此本文直接在旋转坐标系下设计电压幅值控制集，不仅缩小了相位的选择范围，还可以节省与坐标变换相关的计算。最优幅值选出后，再根据电机当前转子位置合成矢量作用于电机。
电机在旋转坐标系电压为
（6）
在d轴和q轴两个电压方程中，在稳态过程中，电流变化率接近于0，在动态过程中，由于电机电感的存在，电流变化率也较低，因此相较于永磁体磁链和转速项，电流微分项占比较小，为了简化分析，该项可以忽略。在式（6）中，对于d轴电压，表贴式永磁同步电机的d轴电流的参考值为0，则对于此类型电机在设计d轴电压时仅需要考虑q轴电流和转速项即可。对于q轴电压，忽略微分项和d轴电流项后，也只需要考虑q轴电流和转速项。
因此，从式（6）中可以看出，电压的幅值设计主要根据电流值和转速值，选择其中占比较大的值作为基准值，较小的为范围值，即电压范围在设计时选取转速为基准值，电流为范围值。而由于电机的运行电流主要是由负载转矩决定的。因此当电机转速确定时，可以根据电机允许最大输出转矩（表贴式PMSM的电流与输出转矩直接相关，因此该值一般选取为允许电流值）来确定电压的范围。例如，当前电机的电角速度为ωe，额定电流为iN，则旋转坐标系下的电压范围为
（7）
同时，定义d轴和q轴的电压选择密度为
（8）
式中，vmax、vmin、Nd和Nq分别为电压范围中的最大值、最小值，d轴均分数量和q轴均分数量。Nd和Nq值的选取与控制器性能有关。由于ACS-MPC方法选择的是d、q轴的最优电压幅值组合，因此，算法的迭代次数与N直接相关。为了降低计算迭代的次数，可以对d轴的电压值和q轴的电压值进一步分析：d轴电压涉及的电压范围较小，因此其选择密度可以设置得小一点；而q轴电压涉及的电压范围较大，可以选择得大一点。在本文中，Nd=2，Nq=9。
ACS-MPC控制矢量选择原理如图3所示，当电机转速为ωe，转子角度为θe时，假设当前最优的输出电压矢量为vopt s。该电压矢量位于第一扇区，其中S1、S2为第一扇区的两个空间电压矢量，d轴和q轴为根据其转子角度θe和坐标变换式（3）形成的旋转坐标系。根据当前电机转速ωe和电机的电压方程（6）确定vmin q,vmax q,vmin d和vmax d的电压幅值集合（阴影部分），d轴子集为{vmin d, vmin d+ vd_den, vmax d}，q轴子集为{vmin q, vmin q+vq_qen, vmin q+ 2vq_qen, vmin q+ 3vq_qen, vmin q+ 4vq_qen, vmin q+ 5vq_qen, vmin q+ 6vq_qen, vmin q+ 7vq_qen,vmin q+ 8vq_qen, vmax q}，因为控制集的范围是根据电机的输出转矩大小确定的，因此该集合一定可以覆盖到电机的最优矢量。然后采用迭代法将各个点的幅值代入预测模型中，选取最接近矢量vopt s的幅值组合vref q, vref d（即代入此组合时，代价函数最小，合成矢量为vref s）。最后通过PWM调制算法输出该幅值集合。ACS-MPC的系统控制结构框图与FCS-MPC的类似，如图4所示，图中的q轴参考电流由转速环计算得出，表贴式永磁同步电机的d轴的参考电流设置为0。同时本文所提出的ACS-MPC保留了传统FCS-MPC的代价函数部分，可以实现电机驱动系统的多目标优化控制。
图3 ACS-MPC控制矢量选择原理
Fig.3 Vector selection principle of ACS-MPC
图4 ACS-MPC整体控制结构
Fig.4 Overall control structure of ACS-MPC
为了进一步说明ACS-MPC控制的优点，下面对ACS-MPC控制和FCS-MPC进行对比分析。在FCS-MPC中，通常采用迭代的方法进行求解，即将图1中6个有效电压矢量经过坐标变换式（3）后依次代入电流预测模型式（2）中，得到令代价函数式（4）最小的矢量值。但该方法存在过大的转矩脉动，通过控制最优矢量作用时间来减小转矩脉动的方法称为DMPC。该方法采用q轴电流无差拍来计算占空比，即在一个周期中，通过控制最优矢量的作用时间使得q轴电流在k+1时刻跟随给定值i* q，即
（9）
式中，topt为最优电压矢量的作用时间；sopt为最优电压矢量作用时q轴电流的变化；
为零电压矢量作用时q轴电流的斜率。和sopt的计算公式为[27]
（10）
式中，
为选择矢量的q轴电压分量。
将式（8）和式（9）代入式（7）可得最优电压矢量的占空比为
（11）
图5a和图5b分别是电机在理想状态下的最优矢量在第一扇区的两个不同位置，同时假设当前最优的输出电压矢量为vopt s。图中S1、S2为第一扇区的两个空间电压矢量，d轴和q轴为根据其转子角度θe和坐标变换式（3）形成的旋转坐标系。vd和vq分别为vopt s在旋转坐标系下d轴和q轴的分量。图5中展示了FCS-MPC、DMPC以及ACS-MPC控制的预测结果。vref s1、vref s2
、vref s3分别为这三种方法选择的电压矢量，δ1、δ2、δ3分别为三种方法选择矢量与理想矢量的误差。这里同样设置d轴电压的均分数量为3，q轴电压的均分数量为10。
图5 ACS-MPC与FCS-MPC、DMPC的预测误差分析
Fig.5 Predictive error analysis of ACS-MPC,DMPC and FCS-MPC
从图5可以看出，在三种方法合成的矢量中，传统FCS-MPC方法预测出的电压矢量与理想矢量误差最大，DMPC次之。FCS-MPC的预测误差在d轴和q轴都存在较大的误差，而DMPC由于基于q轴变化率计算作用时间，因此预测误差主要集中在d轴上。同时，在理想电压矢量幅值较小的时候，FCS-MPC的误差会更大。ACS-MPC控制合成的电压矢量与理想电压矢量误差最小，这是因为在旋转坐标系下选择的电压值降低了相位的误差，而根据电机电压模型动态设计的控制集，可以将d轴和q轴的误差都尽可能地缩小。因此该方法为电机模型预测控制提供了一种新的控制集设计思路，提升了模型预测控制的稳态控制精度，同时保留了FCS-MPC的代价函数，便于实现电机系统的多目标优化控制。
为了验证所提ACS-MPC的有效性，搭建了基于DSP的实物硬件平台，电机测试平台由南京研旭定制。硬件实验平台如图6所示，平台中采用的电机是表贴式永磁同步电机，采用磁粉制动器作为负载。电机参数见表1。其中电机电感值较小，更能明显地反映控制方法对电机电流谐波的抑制效果。实验过程中的电机数据通过串口通信实时上传到上位机。本部分测试了ACS-MPC控制下的电机动静态性能以及与PI电流控制器、DMPC控制器的实验对比。实验中，开关频率选取10 kHz，转速环PI控制器的比例参数为0.30，积分参数为6.43。电流环PI控制器的比例参数为0.974 3，积分参数为971.39（控制带宽约4 000 rad/s）。同时，在预测控制的实验过程中，使用了二步预测来避免控制延迟。
图6 硬件实验平台
Fig.6 Hardware test platfrom
表1 PMSM参数
Tab.1 Parameters of the PMSM
参数数值 相电阻Rs/Ω0.22 相电感Ls/mH0.225 极对数p5 转动惯量J/(kg·m2)0.000 023 额定电流iN/A10 额定转速ωN/(r/min)1 000 额定电压vN/V24
本部分主要对比测试了电流环为ACS-MPC、PI控制和DMPC控制下时的电机起动过程和动态过程的性能表现，其次，还对比了它们在稳态时的预测误差和谐波含量。
三种方法的电机起动过程实验结果如图7所示，测试中，起动转速设置为额定转速，磁粉制动器施加0.1N·m的转矩。实验中三种方法采用相同的转速环控制器参数。从图7可以看出，三种方法都可以实现电机的带载起动，只是电流动态响应速度上有所不同。ACS-MPC在起动过程的电流响应速度更快，PI次之。而DMPC具有较大d轴电流谐波，这使得电机在实验过程中具有较大的噪声，严重影响了电机带载性能。
图7 起动过程中的电机实验结果
Fig.7 The experimental results of motor during start-up
图8为三种方法负载突变时的转速及电流实验结果。首先在电机转速为500r/min时，通过磁粉制动器突加1N·m转矩，转速稳定后，将参考转速突加到1 000r/min。实验中，与起动过程类似，与PI控制器相比，ACS-MPC控制器具有更快的电流响应速度，且几乎无超调。而与DMPC相比，d轴和q轴的电流谐波更低，在相同的转速环限幅影响下，带载能力更强。
图8 负载突变时的电机实验结果
Fig.8 Motor results when the load changes suddenly
为了进一步证明ACS-MPC相比于DMPC的优越性，本文将两种方法在稳态时的预测误差进行了对比。DMPC和ACS-MPC的稳态实验结果如图9所示，当转速为1 000r/min、转矩为0.5N·m时，ACS-MPC控制下的电机具有更小的预测误差和d轴电流谐波。但由于DMPC的占空比是基于q轴电流预测误差推导的，因此两种控制方法的q轴电流谐波幅值基本相同。实验结果证明，与DMPC相比，本方法有效地降低了电机d轴电流谐波，提高了电机的稳态性能。
图9 DMPC和ACS-MPC的稳态实验结果
Fig.9 Steady state experimental results of DMPC and ACS-MPC
除了稳态谐波幅值分析，实验部分还验证了三种方法在不同负载时的相电流谐波含量。在不同转速时的三种方法控制下的相电流谐波分析如图10所示。测试过程中，为了适应占空比模型预测控制的带载能力，通过磁粉制动器施加0.5N·m的转矩，使三种方法的输出转矩相同。从图10中可以看出，DMPC的谐波含量非常高，这主要是由于d轴电流预测误差较大造成的。在低速时，ACS-MPC的相电流谐波含量要略高于PI控制器的谐波含量，但随着转速的升高，ACS-MPC的谐波含量略低于PI控制器的谐波含量，这是因为就电流谐波而言，PI控制器的参数不是最优值导致的，因此PI控制器的一个缺点是整定过程较为复杂。而ASC-MPC不仅不需要复杂的参数整定，且在额定负载时还具有较好的稳态性能。
图10 DMPC、ACS-MPC和PI控制的电流谐波分析
Fig.10 Current harmonic analysis of DMPC, ACS-MPC and PI control
本文针对传统 FCS-MPC的预测误差大、电流谐波高的问题，提出了ACS-MPC控制方法。该方法首先对电机的负载状态进行分析，设计了相应的电压幅值控制集合，缩小了电压矢量的择优范围，减小了最优矢量的幅值误差；其次，根据电流参考值和预测模型选择出最优电压幅值，在控制解的求解过程中避免了三角函数的运算，减轻了控制器的计算负担；然后，基于当前转子位置将最优幅值合成逆变器电压矢量作用于电机，减小了最优电压矢量的角度误差；最后，通过硬件实验表明，与传统FCS-MPC和DMPC相比，该方法有效地降低了电机相电流谐波，提升了电机的稳态性能。与PI控制器相比，具有更好的动态性能，且避免了复杂的参数整定。
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Abstract The traditional finite constraint set model predictive control method only uses six effective space voltage vectors and two zero vectors of two-level voltage source inverter as the control set, resulting in high current harmonics in the phase current of permanent magnet synchronous motor. To solve this problem, an amplitude control set model predictive control method based on voltage amplitude control set in rotating coordinate system is proposed in this paper. Firstly, the load state of the motor is analyzed, and the voltage amplitude control set is designed according to the motor voltage state equation. Then the optimal voltage amplitude is selected according to the current reference value and current prediction model. Based on the current rotor position, the optimal vector is synthesized and the inverter voltage vector is applied to the motor. This method can effectively reduce the phase error and amplitude error of the optimal vector, so as to reduce the current harmonic and torque ripple of the motor. At the same time, the limited optimal range and the design of amplitude control set make the method effectively reduce the computational complexity of the algorithm. Finally, by building a hardware experimental platform and comparing with current loop PI controller and duty cycle model predictive current controller, the improvement of steady-state performance and dynamic performance of this method is verified.
Keyword：Permanent magnet synchronous motor, model predictive control, current harmonic, amplitude control set model predictive control
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210838
中文分类号：TM341
国家自然科学基金（51979021，51709028）、中央高校基本科研业务费专项资金（3132019317）、辽宁省重点研发计划（2017220005）、辽宁省自然科学基金指导计划（20170540082）和大连海事大学优秀博士学位论文培育项目（2022YBPY003）资助。
收稿日期 2021-06-10
改稿日期 2021-11-05
张珍睿 男，1994年生，博士，研究方向为永磁同步推进电机驱动控制，无位置传感器和模型预测控制。E-mail：tabz00@qq.com
刘彦呈 男，1963年生，博士，教授，博士生导师，研究方向为交流电机控制、电力电子变换器、船舶电力推进技术、可再生能源发电和微电网。E-mail：liuyc3@163.com（通信作者）
（编辑 赫蕾）