图1 代理模型在电机优化中的优势
Fig.1 Advantage of surrogate model used in machine optimization
摘要 随着电机应用领域的不断拓宽，电机多学科优化技术已经成为电机优化技术的重要研究方向。该文概述了目前电机优化技术领域中囊括的多学科模型，分析了代理模型的优势；阐述了高精度电机代理模型的构造流程，提出了不同代理模型在电机多学科优化中的选取原则；探讨了电机不同子学科之间协调策略、耦合形式、耦合参数的最新研究进展情况，比较了不同协调策略在电机多学科优化中的优劣并提出了改进方向；分析了几种优化算法在电机多学科优化中的使用情况；最后讨论了基于代理模型的电机多学科优化技术面临的问题，展望了未来的发展方向。
关键词：电机代理模型 电机多学科优化技术 电机多场耦合优化技术 电机优化算法
目前，高性能电机系统已广泛应用于飞轮储能、新能源汽车、风力发电、轨道交通等工业领域。而随着电机应用领域的不断拓展，对电机系统高品质运行的要求也不断提高[1]，温升、噪声、控制精度、可靠性等已经成为评价现代电机系统综合性能的重要指标，由此，传热学、流体力学、结构力学、动力学、声学、电力电子学等学科被逐步纳入电机多学科设计与优化的研究范畴[2-6]。因此，权衡不同学科的优化目标，使电机系统的综合性能接近最优是电机优化技术发展的必然趋势。
电机多场耦合优化技术是电机多学科优化技术的一种形式，由于不同物理场之间耦合紧密，导致电机多物理场耦合优化的时间成本较高，而目前较流行的多学科优化技术可实现学科之间的解耦和子学科并行优化[7]，可显著提高优化效率，进而有效缩短电机系统的设计周期。
在多学科优化技术中，建立准确的学科分析模型是得到可靠优化结果的基础。虽然有限元数值模型的精度已经被工业领域广泛接受，但是其高昂的计算时间成本严重影响了多学科优化的效率，所以代理模型以较低的计算时间成本逐渐在多学科优化领域引起关注。然而，在电机多学科优化中，鲜有对代理模型构造流程和精度检验的深入研究，故有必要梳理电机多学科代理模型的构造流程，分析不同代理模型在电机多学科优化中的适用范围。而且，虽然多学科优化技术已经在其他工业领域[8-11]得到广泛应用，但在电机领域仍处在起步阶段，目前还没有对其核心内容“多学科优化策略”进行深入研究[12-15]，学科之间的协调策略仍停留在串行优化阶段，探索并行优化策略，搜寻多学科最优解是电机多学科优化技术发展的必然趋势。由此，本文回顾了电机多学科优化技术已涵盖的学科及学科之间的耦合形式与参数，为选择电机多学科优化策略提供依据，为改进电机多学科优化策略提供方向。此外，由于代理模型的使用大幅降低了计算成本，这为启发式算法在多学科优化中的应用提供了便利，但电机学科之间的严重耦合也对算法收敛性提出了更苛刻的要求。优化算法不仅要顾及自身的收敛性，还要顾及电机不同学科耦合的收敛性，电机的多学科优化领域迫切需要收敛性和鲁棒性更高的优化算法。
综上所述，本文从模型-策略-算法三个层面对电机多学科优化技术进行了概述，并在此基础上提出了电机多学科优化中代理模型的选取原则、各优化策略的适用范围以及不同优化算法的优势与改进方向。此外，本文在最后讨论了电机多学科优化面临的问题，并展望了基于代理模型的电机多学科优化技术的发展方向。
随着电机多学科优化涉及的学科不断增加，不同的学科分析模型被引入电机领域。目前，电机中出现的多学科分析模型主要包括数值模型、路模型、解析模型和代理模型。
1）数值模型
数值模型是指基于有限元法等数值分析方法建立的物理场模型，其因具有较高的计算精度，在电机多学科优化领域得到广泛应用[16-17]。但是，数值模型的计算成本较高，电机多学科优化过程难以承受多次调用数值模型的负担。因此，当在电机多学科优化中采用数值模型时，除电磁外其他物理场之间通常只考虑单向耦合，如在电机多学科优化过程中仅考虑电磁场对温度场的影响，而不考虑温度场对电磁场的影响。目前，在电机设计与优化中，数值模型主要应用在电机的电磁设计[18-19]、流场分 析[20]、转子应力场分析[21-22]、转子动力学分析[23]、与噪声计算[15]中。
2）路模型
路模型是指基于广义基尔霍夫定律提出的简化模型，如等效磁网络（Equivalent Magnetic Circuit, EMC）模型、等效热网络（Lumped Parameter Thermal Networks, LPTN）模型[24-26]等。与数值模型相比，路模型的计算时间成本更低，可直接参与优化迭代过程，电机的多学科优化过程完全可以承担双向耦合的计算负担。而且，目前的路模型已经可以考虑铁磁材料饱和等非线性因素的影响[27]，精度有较大提升，但是其节点选取原则仍没有统一标准，节点数目和位置对精度的影响很大，导致其鲁棒性较低。此外，路模型仅在电磁场和温度场中应用比较成熟，对于其他学科，仍然需要采用数值模型或者解析模型。
3）解析模型
解析模型是指基于分离变量法等解析计算方法所建立的物理场模型，其建模分析方法也称子域法。解析模型的精度较高，计算时间成本较低，但是相比于路模型和数值模型，解析模型在求解物理场的微分方程时存在局限性，尤其对于结构复杂的电 机（存在大量子域），其需要大量简化以及繁杂计算，故解析模型的普适性较低。目前，解析模型在表贴式永磁电机的电磁场计算[28-33]、转子应力场分 析[34-35]中具有较为广泛的应用。
4）代理模型
代理模型是一种数据驱动的高普适性黑盒模型，其基本思想是基于适量的样本数据，通过插值或拟合等方式建立计算时间成本较低的模型以替代计算时间成本较高的学科分析模型。在电机优化中，响应面模型[36-38]、径向基函数模型[39]、克里金模 型[40]的应用较为广泛，而目前的代理模型已经可以充分利用不同精度的学科数据[41]，实现对复杂模型的高效高精度预测。与上述三种模型相比，代理模型的计算时间成本更低、普适性更强。
综上可知，数值模型的计算时间成本太高，路模型的精度与鲁棒性较低，解析模型存在局限性。因此，从计算时间成本、普适性、精度与鲁棒性等方面考虑，代理模型是电机多学科优化模型的最佳选择。
对于给定设计空间，代理模型可作为高精度数值模型的替代模型，其优势是可以快速得到该空间内所有设计点的响应值，进而大幅提升电机优化的效率，其优势如图1所示。然而，高精度代理模型需要适量的样本数据作为支撑，而样本数据的质量直接决定了代理模型的精度，故本文梳理了电机多学科高精度代理模型的构造流程，如图2所示。
图1 代理模型在电机优化中的优势
Fig.1 Advantage of surrogate model used in machine optimization
图2的设计流程可以分为以下五个步骤：
（1）采用适当的方法对优化问题进行降维，降低优化难度。
（2）在降维后的设计空间内抽取初始样本，得到初始样本空间。
图2 高精度代理模型的设计流程
Fig.2 Design process of high-precision surrogate model
（3）利用降维后的样本数据进行插值或者回归，得到初始代理模型。步骤（1）与步骤（3）可以互换，若先进行降维，则需要基于高精度有限元模型进行降维分析；若先构建代理模型，那么可以先基于初始代理模型进行降维分析，降维后更新样本空间，再更新初始代理模型。
（4）利用精度指标参数对初始代理模型精度进行检验。若指标检验合格，则进入代理优化过程，然后利用遗传算法等寻优算法进行寻优，得到最优解或者解集（多目标）；若指标检验不合格，则依照某种加点准则对代理模型的样本空间进行加点，使新样本点与初始样本点组成新样本空间，重复步骤（3）和步骤（4），得到最优解。
（5）对最优解处代理模型的响应值进行精度检验，若指标检验合格，则输出高精度代理模型和全局最优解；否则，再次对样本空间进行加点，重复步骤（3）～步骤（5），直到指标检验合格，然后输出高精度代理模型及高可信度最优解。
通过上述五个步骤，设计者可以在得到高精度电机代理模型的同时得到设计空间内的高可信度全局最优解。
在电机多学科代理优化的过程中，设计者通常希望设计空间的维度越低越好，因为较低的维度一般意味着需要较少的样本来构建代理模型。最常见的降维方法就是对设计变量进行灵敏度分析，剔除灵敏度较低的变量。而灵敏度分析的方法可分为两类：基于初等效应（elementary effect）的灵敏度分析法和基于方差的灵敏度分析法[42-43]。其中，基于初等效应的灵敏度分析法的典型代表为Morris灵敏度分析法，其逻辑清晰，易于实现。而基于方差的灵敏度分析法的典型代表为Sobol灵敏度分析法，其逻辑严谨，可信度高。
2.1.1 Morris灵敏度分析
Morris灵敏度分析法通过估算每个变量初等效应来推断设计变量对目标函数的影响程度[44]。
（1）
对于一个k维、p个水平的设计空间，di(x)就表征了设计变量x之中第i个变量xi的初等效应，其中，xi需要归一化到0～1之间，
=N/(p-1)，N为较小的正数，y为目标函数在该点的响应值。由式（1）可知，Morris灵敏度分析是一种摄动法，其通过衡量设计变量的微小变化对目标函数的影响来定量计算灵敏度。一个变量分别计算多次初等效应d(x)，其平均值
就可以表征此变量对目标函数的影响程度，即对目标函数的灵敏度。但文献[42]指出单一的值不能表征变量之间的交互作用对目标函数的影响，并提出将
和
两个参数和一同考虑以表征变量之间的交互作用，其中为多次初等效应绝对值的平均值，为多次初等效应的方差。Morris灵敏度分析所需的样本量较少[45]，是工程优化领域内常用的灵敏度分析方法。
2.1.2 Sobol灵敏度分析
相较于Morris灵敏度分析，Sobol灵敏度分析法可以定量考虑变量之间的交互作用，是一种基于方差的灵敏度分析法。
Sobol灵敏度分析法的精髓是将目标函数f分解为不同子函数
、
的和，有
（2）
式中，x为k维设计变量；f0为常数。
通过分别计算式（2）中各个子项的方差，就可以计算出每个变量的高阶灵敏度[46]，其中二阶灵敏度可以定量考虑两个变量
的交互作用对目标函数的影响，而其他高阶灵敏度分别可以表征3个变量、4个变量等多个变量对目标函数的灵敏度。故一个变量xi的全局灵敏度（变量xi的所有阶次灵敏度的总和）为
（3）
式中，STi为变量xi的全局灵敏度；Dt为f(x)的方差总和；D-i为除含有xi的子项外所有子项的方差总和。从STi的定义可以看出，xi的全局灵敏度是输入参数xi对目标函数的总贡献，即设计变量xi的灵敏度。由于Sobol灵敏度分析法是一种基于方差的灵敏度分析法，而较少的样本通常不能准确反映一组数据的方差，所以Sobol灵敏度分析法需要的样本数量较多。
2.1.3 其他降维方法
方差分析法（Analysis of Variance, ANOVA）分析法也是基于方差的一种灵敏度分析法，文献[47]指出，ANOVA分析法在电机多学科优化中需要的样本数量也较少。而除灵敏度分析法外，主成分分析（Principal Components Analysis, PCA）法也是优化领域常用的降维方法，但在电机领域的应用较少。
2.1.4 电机优化降维方法的选择
在电机中，若基于精确的数值模型做灵敏度分析，则Morris灵敏度分析法是合理的选择。若设计者首先建立了代理模型或者采用计算成本较低的解析模型，则基于方差的Sobol分析法、ANOVA分析法是较好的选择。
目前，在电机代理优化中出现的抽样方法有：全因子抽样法[48]、拉丁超立方抽样法[49]、均匀试验设计抽样法[50]、正交抽样法[51]、中心复合设计抽样法[52]以及Box-Behnken抽样法[53]等。其中，拉丁超立方抽样法和正交抽样法在电机的代理优化中最为常见。
2.2.1 拉丁超立方抽样法
拉丁超立方抽样法通过提高样本空间在每个设计维度上的均匀度以保证样本空间的质量。图3为二维普通拉丁超立方抽样法与最优拉丁超立方抽样法的对比。由图3a可知，普通拉丁超立方抽样法可能会出现样本点聚集的情况（没有铺满整个空间），为了削弱聚集效应，学者们在抽样时引入了进化算法，进而提出最优拉丁超立方抽样法[54]，由图3b可以看出，最优拉丁超立方抽样法设计空间的均匀度得到明显提升。在电机多学科代理优化领域，普遍采用普通拉丁超立方抽样法或最优拉丁超立方抽样法[55-57]来计算初始样本点。
图3 普通拉丁超立方抽样法与最优拉丁超立方抽样法的对比
Fig.3 Comparison of ordinary latin hypercube sampling and optimal latin hypercube sampling
2.2.2 正交抽样法
三因子三水平正交抽样法如图4所示，在进行正交抽样时，该方法将设计变量x1、x2、x3定义为因子，每个因子需要抽取的个数定义为水平。图4中的一次正交抽样只需9个样本点便可表征27个样本点的信息，在设计空间维度较高时，可以直接依据成熟的正交表进行抽样[58]。电机优化领域的田口算法就是基于正交表的一种筛选算法[59]，该算法可以结合模糊优化算法[60]来提升电机优化过程的鲁棒性[61]，也可以与响应面模型结合提高响应面模型对复杂非线性模型的代理能力[62]。
图4 三因子三水平正交抽样法
Fig.4 Three factors and three levels of orthogonal sampling
2.2.3 全因子抽样法
全因子抽样法是在确定设计空间的维数和每个维度的水平后，通过在每个维度上分别抽样并组合得到样本空间。一次三因子三水平的全因子抽样也可由图4得出，但需要该正方体所有节点上的27个样本点来构建代理模型，因此在维数较高时容易陷入“维数灾难”。
2.2.4 均匀试验设计抽样法
均匀试验设计抽样法类似于拉丁超立方抽样法，其通过“点集偏差”等均匀度的度量参数对设计空间进行均匀采样，故可以得到均匀度较高的样本空间。
2.2.5 中心复合设计法与Box-Behnken抽样法
中心复合设计抽样法和Box-Behnken抽样法均是基于响应面模型发展出的抽样方法，它们可以高效估计响应面模型的二阶项系数[63]。其中，中心复合设计抽样法特别适合于序贯加点，其可在之前已进行过的试验基础上再添加轴点和中心点并进行序贯抽样，从而构建更高精度的二阶响应面模型。
2.2.6 其他抽样法
除上述抽样法外，还存在D-optimal抽样法、Halton半随机抽样法、Sobol半随机抽样法，Plackett- Burman抽样法等抽样方法，但这些抽样方法在电机中应用较少。此外，嵌套拉丁超立方抽样法、分片拉丁超立方抽样法、正交拉丁超立方抽样法等衍生抽样法[64]也可以用于建立代理模型。
2.2.7 电机代理模型抽样方法的选择
虽然电机优化中出现的抽样方法很多，但不同的抽样方法适用于不同的问题，表1总结了不同代理模型抽样方法的适用范围，结合上述分析与表1，提出电机代理模型抽样方法的选取原则。
表1 代理模型抽样方法的对比
Tab.1 Comparison of sampling methods of surrogate model
抽样方法高维问题特性及适用范围 拉丁超立方适用样本空间均匀度较好，应用范围较广 嵌套拉丁超立方适用对多可信度代理模型适用性较好 正交不适用对试验次数有限制，但均匀度较好，适用于维度较低问题 全因子不适用样本空间容纳的信息最多，但是“维数灾难”问题最严重 均匀试验设计适用样本空间的均匀度较好，在电机中的适用性待验证 中心复合设计不适用适用于拟合响应面模型
1）中心复合设计抽样法和Box-Behnken抽样法在拟合二阶响应面代理模型时具有优势，因此当确定选用二阶响应面作为电机代理模型时，中心复合设计抽样法和Box-Behnken抽样法是较合适的选择。
2）全因子抽样法和正交抽样法在设计空间维度较高时均存在“维数灾难”问题，其中全因子抽样法的问题较严重。此外，正交抽样法还存在试验次数限制问题。因此，上述两种方法仅适用于设计空间维数较低的优化问题。
3）拉丁超立方抽样法和均匀设计抽样法等现代统计学抽样方法[44]的“维数灾难”问题并不严重，且它们对试验次数没有限制，因此适合用于建立高维电机多学科代理模型。此外，当确定采用多可信度代理模型作为电机代理模型时，嵌套拉丁超立方抽样法更为适用[64]。
2.3.1 响应面模型
（4）
响应面模型（Response Surface Model, RSM）是一种回归模型，其广泛应用于现代电机优化 中[36, 65-67]。式（4）表征一个二阶多项式RSM模型，其中权重系数bij为待求参数，可由最小二乘法获得。
xi为k维设计变量x中的一个维度，
为代理模型的预测值。RSM的优点是有明确的表达式，在低维问题有很大优势，尤其对于鲁棒优化而言，RSM是理想的选择。但是，对于高维、非线性、多峰值问题，RSM的精度通常不高，而且在基于RSM进行优化时，一般期望最优解出现在样本点附近，否则RSM的预测精度会降低[62]。
RSM的一种特殊形式是曲线拟合（poly-nomial fitting）模型，有
（5）
式中，b 为回归系数。
当设计者需要研究某一特定设计变量x与输出变量的关系时，曲线拟合是最简便的方法。曲线拟合模型通常应用于拟合电机的电流与磁链[68-71]，模型的结构简单、响应速度快。
2.3.2 径向基函数模型
径向基函数（Radial Basis Function, RBF）模型的通用表达式为
（6）
RBF模型通过一组基函数和一组权重w来刻画原模型，其基函数一般采用多元二次（Multivariate Quadratic, MQ）基函数，而权重可以由矩阵的求逆获得。文献[72]利用RBF模型结合遗传算法对一台单相异步起动的永磁电机进行优化，其中RBF模型主要作用是预测电机的转矩与效率，该文献用实验证明了优化结果的有效性，同时也间接证明了模型的精度。RBF模型还可以与多项式模型相结合来提高RBF模型的精度[39]，其表达式为
（7）
式中，p(x)为多项式余项。
这种与多项式相结合的方法可以增强RBF模型对线性数据的代理能力[73]。RBF还可以与神经网络相结合，组成径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network, RBFNN）模型，该模型广泛应用于电机控制技术中，用来拟合电机的磁链或者转矩[74-76]。RBF模型的优点是逻辑清晰、容易实现、基函数灵活性高，缺点是容易受到噪声数据的干扰、易出现过拟合现象。
2.3.3 克里金模型
克里金（Kriging, KG）模型是一种基于无偏估计的插值模型，其可定义为一个全局趋势与一个随机过程的组合形式[77]，有
（8）
KG模型的衍生模型众多，如普通克里金模型、析因克里金模型、泛克里金模型、盲克里金模型[78]等，但在电机优化中出现较多的是普通克里金模 型[79-82]。KG模型对非线性数据的适应性高[83]，这是其在电机建模方面的优势，但是KG模型本质上是一种插值方法，难以描述出确定表达式，模型的透明度较差。
2.3.4 支持向量机模型
支持向量机（Support Vector Machine, SVM）模型基于核函数
和支持向量
和
来预测原模型，有
（9）
式中，m 为常数，目前SVM模型多用于分类，较少用于回归[83]，故SVM模型在电机故障诊断领域的应用[84-85]比在电机优化领域的应用更广。文献[86]采用SVM模型的衍生形式，即极限学习机（Extreme Learning Machine, ELM）模型，拟合了电机的电磁模型，该文献采用全因子抽样方法，抽取了54=625个样本点拟合代理模型，并以实验验证了该模型的精度。
2.3.5 人工神经网络模型
人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）模型是机器学习模型的一类，而机器学习一直是工程优化领域的研究热点，在电机中多用于控制系统优化[87]。图5为ANN的构造示意图，隐藏层的数量和神经元的个数由开发者自定义，模型较为灵活。文献[88]基于ANN模型优化了一台无刷直流电机，该文指出，基于ANN模型的优化结果比基于解析模型的优化结果性能更好。深度学习（Deep Learning, DL）技术是目前ANN的前沿方向，并且已经在电机优化领域中得到应用[89-90]，深度神经网络模型比浅层ANN模型的隐藏层数更多，拟合后模型的响应速度更快、精度更高，其还可与传统拓扑优化法相结合[91]，提高拓扑优化的效率。文献[92]则对应用于电磁计算中的ANN模型进行了详实的论述，其侧重于阐述ANN模型的试验设计方法及训练方法。此外，机器学习中的随机森林（random forest）模型也在电机优化领域占有部分比例，文献[93]提出了一种基于权重的随机森林模型（Weighted Random Forest,WRF）并将其应用于直线电机的优化中，实验证明WRF模型比标准的随机森林模型精度更高。
图5 人工神经网络构造示意图
Fig.5 Schematic diagram of an artificial neural network
2.3.6 组合（mixture）代理模型
单一代理模型不可能适用所有工程问题，其可能在某些问题类型上表现很好，但在其他问题上却表现不佳，这种现象主要出现在多输入多输出问题中。如果事先不知道哪种代理模型适合当前的问题，则必须尝试采用不同的代理模型或组合不同的代理模型来适应当前的问题[94]。文献[95]对组合代理模型的构造方法进行了综述，该文指出组合代理模型具有两大优势：①可以定位设计空间中不确定性最大的位置，便于新增样本点以提高精度；②可以通过不同代理模型的比较来选择更适合当前问题的单一代理模型，并且可以提供一种比单一代理模型鲁棒性更高的组合代理模型形式。
组合代理模型通过式（10）可以确定设计空间中不确定性最大的位置。
（10）
式中，N为代理模型的数量；s为不同代理模型在某一点或者某一区域响应值的标准差。s大表示不同代理模型在此区域内的响应值区别很大，表征此区域的不确定性较高或非线性程度较高，但s小并不能表征代理模型在此区域的精度较高，只能说明不同代理模型在此区域响应值接近。
此外，由于代理优化中存在加点过程，而每次加点都形成了不同的样本空间，因此对于不同的样本空间，其对应的最合适的单一代理模型也可能不断变化。然而，组合代理模型可以凭借加权平均的方式削弱这种变化造成的影响，其形式为
（11）
该式的最终预测值为单一代理模型预测值的加权平均值，其中权重wl是重要参数。在电机优化领域，可以采用全局误差与局部误差加权和最小作为目标来寻找组合代理模型的权重系数[96]。文献[97]提出了一种拓展自适应组合模型（Extended-Adaptive Hybrid Functions, E-AHF），该模型首先通过交叉验证摒弃精度较低的代理模型，再利用概率计算剩余高精度代理模型的权重，最后做加权平均来预测原模型，同时该论文以40组测试函数证明了该组合模型具有较高的精度和鲁棒性。
2.3.7 多可信度（multi-fidelity）代理模型
对于一些复杂的工程问题，可能会出现一些可信度不一的数据，如针对电机可能会存在实验数据、有限元分析数据和经验公式数据。建立高精度的代理模型需要充分利用这些可信度不一的数据，如采用Co-Kriging模型[98]。
文献[99]将多可信度代理模型分为三类：①基于标度函数的多可信度代理模型，其通过加法、乘法等标度函数融合高/低可信度模型来构建代理模型；②基于空间映射的多可信度代理模型，其通过寻找合适的转换关系，使得高可信度模型样本点与低可信度的样本点容差达到最小来构建代理模型；③基于贝叶斯理论，即利用低精度模型提供趋势，利用高精度模型进行插值构建代理模型。该文献在最后指出，多可信度代理模型将在物理场预测和高维优化问题中具有优势。另外，文献[100]也提出了类似的多可信度代理模型分类，其将多可信度代理模型分为自适应型、融合型与过滤型三种类型，并详细论述了不同类型多可信度代理模型的适用范围。文献[41]则将多可信度代理模型应用于横向磁通永磁直线同步电机优化中，该文以三维有限元分析数据作为高可信度数据，以二维有限元分析数据作为低可信度数据，进而建立了多可信度代理模型，这不仅提高了代理模型的精度，而且极大地提升了优化效率。
多可信度代理模型是代理模型发展的前沿方向。在电机优化问题中，苛求大量高精度的实验数据是奢侈的，多可信度代理模型在电机优化中可以充分利用有限元分析数据和经验公式数据，极大提升电机的优化效率。
2.3.8 其他代理模型
代理模型的种类繁多，在其他优化领域还存在移动最小二乘（Moving Lest Squares, MLS）模型[101]、多元自适应回归（Multiple Adaptive Regression Splines, MARS）模型[102]、符号回归（Symbolic Regression, SR）模型[103]。
2.3.9 电机多学科代理模型的选择
不同的代理模型适用于不同的工程问题，一些典型代理模型在电机中的应用见表2。由表2可知，RSM模型在电机多学科优化中的应用最广，组合代理模型与多可信度代理模型还处于起步阶段；在常规旋转电机优化中，效率与转矩是被考虑最多的目标，而在直线电机的优化设计中，推力与推力波动是设计者关注较多的目标；电机中代理模型的设计参数空间的维度一般不超过20维，电机的设计参数越多，所需样本量越大；在上述文献中，电机代理模型的优化参数多为电机的尺寸参数，如气隙长度、定转子内外径、铁心长、永磁体厚度和极弧系数等，对绕组参数，如线圈匝数、并联支路数的研究较少。其原因是电机绕组参数为离散变量，在代理模型预测中，一般先将其作为连续变量输入，之后再取整修正，与尺寸参数配合优化时易导致预测精度降低，故设计者为了避免误差，通常在预设计时确定绕组参数（离散变量），再对尺寸变量（连续变量）进行优化。文献[120]比较了电机有限元样本下的SVM、ANN、线性回归（Linear Regression, LR）、随机森林（Random Forest, RF）、SR五种代理模型的综合性能，该文指出ANN的响应速度最快，SR的综合性能（响应速度快而且模型透明度高）最好。综合上述分析与比较，提出电机多学科代理模型的选取原则：
表2 不同代理模型在电机优化中的应用
Tab.2 Surrogate models used in electrical machines optimization
代理模型代理的学科文献设计空间最大维度主要目标或约束 响应面电磁[36, 38, 53, 104-105]14转矩、效率、成本、气隙磁通密度、反电动势、纹波转矩、质量 应力[67]7应力安全系数 流体[106]2电机温升、水道进出口压强差 支持向量回归（支持向量机）电磁[86, 107-110]11推力波动、平均推力、反电动势谐波含量、转矩、转矩脉动、效率 噪声[111]10声压等级 人工神经网络（深度学习）电磁[88-91, 112-113]10齿磁通密度、轭磁通密度、效率、永磁体质量、转矩、转矩脉动、永磁体涡流损耗 克里金电磁[47, 114-117]9转矩、效率、成本、质量、转矩密度、转矩脉动、推力波动 径向基函数电磁[39, 72]2交-直轴电流、效率、转矩 随机森林电磁[93, 118]4推力、推力波动、 效率 组合电磁[96]6电流密度、热负荷、齿磁通密度、轭磁通密度、最大输出功率 多可信度电磁[41, 119]7推力、悬浮力
（1）KG模型及其衍生模型更适用于电机中非线性程度较高的电磁模型，但这些模型的精度取决于输出参数与输入参数之间的非线性程度。当电机的电磁模型存在线性度较高的函数关系，如在不考虑磁路饱和时，电机电磁模型中的部分函数关系是线性的，此时KG模型的适用性便会降低。
（2）RBF模型比较灵活，更适用于电机“多学科”代理模型的建立。而且，不同学科选择不同的基函数或者增加多项式余项有利于提高电机多学科代理模型的精度。
（3）ANN模型理论上可以拟合所有的非线性模型，但是其训练后权重参数的随机性会影响电机优化的鲁棒性，而且含有更多隐藏层的深度神经网络通常需要以大量的数据作为基础，因此在使用ANN对电机进行优化时，需要权衡电机多学科优化的鲁棒性和寻求大量数据的成本。
（4）在低维（设计维度小于5）情况下，RSM是较好的选择，因为RSM模型简单且透明度高。如针对电机冷却系统的优化问题，选择RSM模型具有较高的可信度，因为电机冷却系统的设计维度较低。
（5）组合代理模型或者多可信度代理模型可以提高优化效率并保证多学科模型的精度，是高效高精度电机多学科优化技术的可靠选择。此外，对于电机优化领域内非常见代理模型，如SR、MARS模型等，在电机优化中的性能优劣还有待深入研究。
2.4.1 评价指标
代理模型最常用的评价指标有两个：相关系数和方均根误差。
（1）相关系数r2。表征了代理模型与原模型的契合程度。
（12）
式中，cov为协方差；var为方差。r2越大，表征代理模型的精度越高。
（2）方均根误差RMSE。表征了代理模型与原模型的误差。
（13）
RMSE越小，表征代理模型的精度越高。
2.4.2 验证方法
交叉验证（Cross Validation, CV）法是代理模型中应用最广泛的验证方法，其中使用频率最高的两种方式分别是k-fold交叉验证法和留一验证法。k-fold交叉验证法是将样本数据划分为k份，每次验证取一份作为测试集，其他作为训练集，一次划分最多可以进行k次验证，最后对评价指标取平均值。留一验证法是k-fold交叉验证法的特殊形式，每次只取一个数据作为测试集，适用于样本数据量较小的优化问题。
首先，设计者若想通过一次性抽样得到高维高精度的代理模型，那么样本数量势必会很多，这很容易导致过度抽样现象的出现，而对于高精度的电机有限元仿真来说，过度抽样会导致过高的计算时间成本，但若抽取较少的样本，代理模型的精度又得不到保证。为解决上述问题，可选择进行多轮抽样，即序贯抽样，因为这种抽样方法可充分利用每次抽样的响应数据。序贯抽样的加点一般与优化过程相结合，通常设计者希望在原模型非线性较高（不确定性较高）的区域或设计空间全局最优解的附近增加样本点。其次，代理模型参数会对模型的精度造成影响，引入“子优化”，找到最优参数，也是提高代理模型精度的有效手段。
2.5.1 加点准则
加点准则可以分为三类[121]：局部发掘型、全局探索型、发掘/探索结合型。
1）局部发掘型
局部发掘型加点准则先是在电机的优化过程中不断地在最优解附近进行局部加点，然后再进行迭代搜索。这种加点方法可以不断地逼近真实最优解，进而提高最优解的可信度。
2）全局探索型
全局探索型加点方法可确定新样本点在设计空间中的位置，保证新样本点可以有效提高代理模型的全局精度。例如，KG模型可以直接利用其方均差函数定位模型不确定性最大的位置[121]，然后在不确定性最大的位置直接加点以提高模型的精度。文献[122]也提出了几种基于序贯抽样法的纯探索型加点方法，这些方法每次只计算一个样本点，在抽样时设计者并不能确定最后的样本总量，但这些抽样法可以大幅减少采样量，并可以以较少的样本得到全局精度较高的代理模型。此外，文献[123]基于一台永磁伺服电机对RSM模型的中心表面序贯设计抽样法进行研究，其通过增添合适的空间样本点，达到了提高RSM模型全局精度的目的。
3）发掘/探索结合型
在实际工程中，发掘与探索往往需要同时进行，因此加点准则需要用来平衡“发掘”和“探索”各需要多少新样本点，并确定其在设计空间中的位置。为了尽量减少样本总量，国内外学者在此领域进行了深入探索，提出的方法主要包括最大最小距离抽样法[124]、最大熵抽样法[125]、多边形探索与局部线性挖掘抽样法[126]、Dlaunay-Hybrid序贯抽样法[127]、自适应序贯抽样法[128]等。此外，基于KG模型的期望改进（Expected Improvement, EI）准则[129]、最大概率改进（Probability Improvement, PI）准则、置信下界（Lower Confidence Bound, LCB）准则[98]等也是结合型准则的重要组成部分，文献[130]对这种结合型准则进行了详实的汇总。虽然，国内外在结合型准则领域进行了大量研究，但在电机领域中目前仍采用“一次性”抽样方法，如何将结合型准则引入电机优化中，并尽可能缩小样本总量是基于代理模型的电机多学科优化技术的发展方向。
2.5.2 子优化求解
在径向基函数模型、克里金模型、支持向量回归模型中，基函数（核函数）的选取及基函数中参数的取值在一定程度上决定了一个代理模型的精度。子优化求解可以通过引入优化算法来搜寻匹配当前代理模型的最佳参数。
典型的基函数有：
（1）线性基函数：
（2）立方基函数：
（3）高斯基函数：
（4）薄板样条基函数：
（5）克里金基函数：
（6）多元二次基函数：
式中，参数
、
、p需要根据经验取值或者通过“子优化”过程获得；r一般为样本点之间的欧式距离，即
（14）
可知，带有参数的基函数更灵活，也更复杂，其中高斯基函数和多元二次基函数在电机中应用较为广泛，对非线性模型的契合度更高。倘若一个优化问题中增加“子优化”流程可以大幅提升模型的精度且对优化效率的影响较小，那么这种“子优化”就是合理选择。
优化策略是连接电机多学科分析模型与优化算法之间的桥梁，合适的优化策略可以提高优化效率以及多学科优化结果的可信度。理想情况下电机多学科优化流程如图6所示，但由于电机中使用频率最高的学科分析模型是有限元数值模型，难以达成图6所示中的理想效果，故实际应用中除电磁外的其他学科多以约束形式出现，其具体流程如图7所示。这种流程比较容易实现，但难以考虑双向耦合，不能实现子学科自治优化。
图6 理想情况下电机多学科优化流程
Fig.6 Ideal flow chart of multidisciplinary optimization of electric machines
图7 实际应用中电机多学科优化的流程
Fig.7 Actual flow chart of multidisciplinary optimization of electrical machines
为实现电机多学科间的解耦和并行优化，本文概述了七种成熟的多学科优化策略[7]，包括三种单级优化策略和四种多级优化策略。其中，单级优化策略仅在系统层进行优化求解，子系统级只负责分析或计算；多级优化策略中各子系统层也可相对独立地进行优化分析，系统层主要负责各系统优化结果的协调与控制[9]。本文讨论了其中适用于电机的多学科优化策略，并提出了电机多学科优化策略的改进方向。
首先，一个多学科优化问题可以定义为
（15）
式中，x为设计变量，被限制于某一设计空间
内；F为目标函数；y为子学科的状态变量；G、H为约束条件。
设计变量可以具体定义为：
xG：全局设计变量，即设计变量的变化会影响两个或两个以上学科的状态变量。例如，永磁电机中永磁体的厚度至少会影响电磁和应力两个方面的性能。
xiL：局部设计变量，即设计变量的变化只影响一个学科i的状态变量。例如，若忽略碳纤维材料的磁导率，高速永磁电机中碳纤维护套的厚度通常只对转子的应力产生影响。
yi：子学科的状态变量，该变量包括局部状态变量和耦合状态变量。
yiL：局部状态变量，即学科i的输出变量，该变量不参与任何其他学科、系统设计或优化。例如，在不考虑控制系统优化时，电磁模型中的反电动势，对其他学科没有直接影响。
yij：耦合状态变量，该变量既可作为学科i的输出变量，又可作为学科j的输入变量。例如，损耗既可作为电磁模型的输出，又可作为传热模型的输入。
3.1.1 多学科可行策略
当采用多学科可行（Multidisciplinary Feasibility, MDF）策略进行优化迭代时，其每一步都需要一次多学科分析，即调用所有的子学科模型进行耦合迭代求解。图7结构可归结为广义的多学科可行优化策略，在图7结构中，每一次优化迭代过程得到的设计方案都是多学科可行的。
文献[13]在对一台高速电机进行优化中考虑了冷却系统的优化和转子动力学检验，其采用的协调策略本质即是图7所示的串行顺序优化。文献[131]优化了一台电动汽车用永磁同步电机，其优化过程分为四步，其中步骤二采用典型双向耦合多学科可行策略。文献[132]在对一台永磁发电机进行优化过程中拓展了对电力电子器件的优化，其中采用的协调策略也可以视为多学科可行策略。
3.1.2 同时优化策略
同时优化（All at Once, AAO）策略引入了辅助耦合状态变量
和辅助局部状态变量
。这两个变量的引入将子学科彻底解耦，因此在优化时可将这两种辅助变量也作为设计变量，并代入每个子学科的分析模型中进行分析。AAO策略的优点是并行性高，学科自治性强，缺点是增加了设计空间的维度，同时还增加了学科一致性收敛条件。文献[133]在对一台永磁电机进行多学科优化中指出，相较于其他两种单级优化策略IDF与MDF，AAO策略的收敛效果最快。
3.1.3 单学科可行策略
单学科可行（Individual Disciplinary Feasibility, IDF）策略只引入辅助耦合状态变量
，保留了局部状态变量与系统目标函数之间的关系。与同时优化策略相比，单学科可行策略降低了设计空间的维度，但同时也降低了学科自治性。
3.1.4 并行子空间策略
当系统采用并行子空间（Concurrent Sub-Space Optimization, CSSO）策略时，其优化目标与子学科的优化目标一致。虽然各子学科的设计变量均不相同，使它们形成互不重叠的优化子空间，但这些优化子空间均为系统设计变量的子集，因此可认为各子学科最优解的集合就是该系统的全局最优解[9]。
文献[134]基于高速磁阻电机提出了两种多学科优化策略，其中策略一虽然没有明确提到CSSO策略的概念，但其将设计变量拆分成两个不重叠的子集，本质上与CSSO策略的协调机制相同，该文献后来对这种策略做了进一步深入研究，其策略权衡了高速磁阻电机电磁与应力的性能[135]，证明了该协调策略的有效性。文献[136]论述了CSSO策略与MDF策略的关系，并指出CSSO策略要求各子学科设计变量不相交，这限制了该方法在实际工程中的应用。
3.1.5 协同优化策略
协同优化（Collaborative Optimization, CO）策略是较为成熟的多学科优化策略，其与IDF策略相似[9]，其区别是，IDF策略的子学科只进行学科分析，不进行优化，然而CO策略的所有子学科进行并行优化。
CO的最大缺点是难以收敛，目前较为理想的解决方案是引入动态松弛因子[137]，进而将一致性的等式约束简化为不等式约束，提高策略的收敛性。文献[137]提出了一种考虑变量量级的动态松弛因子方法，该方法不受各子学科中全局设计变量和耦合变量数目的限制，在工程实际中较为实用。总之，CO策略的学科自治性非常强，但在现代电机的优化中，由于全局变量较多，因此在电机多学科优化中采用CO策略需要慎重考虑该策略的收敛性。
3.1.6 两级集成优化策略
两级集成优化（Bi-Level Integrated System Synthesis, BLISS）策略是一种基于代理模型的优化策略，其建立了一个代理模型簇，而每个子学科的代理模型都是该簇中的一支。当采用BLISS策略的系统目标函数定义为子学科状态变量的加权总和时，其权重也可作为设计变量[138]。基于BLISS的改进策略BLISS2000一度被认为是最有潜力的多学科优化策略，其被证明在优化效率和精度上都优于CO和CSSO[139]。
虽然，BLISS策略具有优化效率较高、对耦合紧密的系统比较友好等优点，非常适用于现代电机多学科优化，但是韩国学者H. Kim等认为等代理模型的精度对现代电机多学科优化结果的影响非常大[140]。如果代理模型精度不够，会导致优化结果的可信度降低，所以亟待开发高精度的电机代理模型。
3.1.7 目标级联分析策略
目标级联分析（Analytical Target Cascading, ATC）策略的主要思想是将系统分层，且分层方法不限于学科[141]。比如，ATC策略首先将顶层系统的目标分解，进而形成子系统的目标，然后再将子系统的目标继续不断往下分解，且在分解过程中子系统和上层系统之间不断交换数据以体现学科间的耦合作用。总之，ATC策略的逻辑性更强，适用于层次化清晰的系统，在现代智能电网优化领域的应用较为广泛[142-144]。
3.1.8 混合优化策略
混合策略是目前多学科优化策略的发展方向。文献[145]提出了一种改进的BLISS策略，其借鉴了CO策略的思想，利用耦合变量的最小残差协调学科级和系统级，在学科自治性和收敛性能方面具有一定优势。文献[146]提出了一种结合MDF策略与CSSO策略的概率型MDF-CSSO策略，此策略在解决不确定性优化问题时有一定优势。综上所述，电机多学科优化中也可以尝试将不同的优化策略混合，进而提高多学科优化的收敛性。
3.2.1 电机学科之间的耦合形式与参数
电机的多学科优化过程本质上是循环调用电机的子学科模型进行分析计算并比较优劣的过程，是在众多电机设计方案中挑选最优方案的过程。法国学者N. Bracikowski等在文献[147]中详尽地描述了永磁电机中多场耦合设计的主要框架，本文在文献[147]的基础上，添加了应力场、流体场和动力学，使其框架涵盖大部分影响电机性能的学科，永磁同步电机多学科平衡过程示意图如图8所示。目前，多数电机多场耦合设计与优化的框架都可以在图8中找到[131, 148-151]，其中学科之间耦合方式可以分为单向耦合和双向耦合。表3则总结了电机学科之间的耦合形式，并列举了不同耦合形式的典型文献。其中，电机的电磁场与温度场的双向耦合是目前研究成果较多的方向。
1）单向耦合
图8中的“机械”表示转子的转动，“驱动”表示电机的控制系统。电机中的单向耦合的参数传递主要形式是载荷传递，即学科1的输出是学科2的输入，而学科2对学科1无影响。
图8 永磁同步电机多学科平衡过程示意图
Fig.8 Schematic diagram of the permanent magnet synchronous machine multidisciplinary balance process
（1）电磁场与应力场。电磁场与应力场的载荷传递参数为转子转动产生的离心力，离心力过大会导致转子结构件失效，是高速电机设计与优化必须考虑的约束[158]。必要时也应考虑端部绕组的电磁 力[164]，防止在电机运行过程中，定子端部绕组受到激励源电磁力作用频繁振动，导致定子绕组绝缘损伤和机械损伤。
（2）温度场与应力场。温度场与应力场的载荷传递参数为结构件的温度，温度会影响材料的热膨胀系数，进而对应力场产生影响[34]，这种耦合形式适用于任何电机。陈金秀等针对发电-电动机频繁起停带来的电机内部温度频繁变化与热应力问题，对电机的热应力耦合进行了深入研究，指出蒸发冷却可以有效解决这种问题[165]；谢颖等则深入研究了笼型感应电机的热应力耦合，解决了笼型感应电机导条因热应力产生断条故障的问题[166]。
表3 电机学科之间的耦合形式与参数
Tab.3 Coupling forms and parameters of multi-physics fields in electrical machines
物理场耦合形式文献 电场/磁场双向耦合— 电磁场/温度场双向耦合[131, 147, 152-154] 流体/温度场双向耦合[150, 155-156] 温度场/应力场单向耦合[22, 34, 157] 电磁场/应力场单向耦合[135, 158-160] 电磁兼容—[161-162] 电磁场/动力学—[20, 23] 磁场/振动/噪声单向耦合[111, 163]
（3）电磁场与声场。电磁场与声场的载荷传递参数主要为电磁径向力波[167]，目前有学者将材料的磁致伸缩力[168]也纳入了研究范畴，是新能源汽车领域中必须考虑的约束[169-170]。
（4）电磁场与动力学。转子的模态一般认为只与转子的结构参数相关，但在电机气隙的不均匀度较高时，也应考虑因气隙不均匀而产生的单边磁拉力[171]。电机额定转速必须避开转子的临界转速，避免产生共振[172]，临界转速的计算在高速电机的设计与优化中更为重要。
（5）电磁兼容。电机的电磁兼容分为两部分，一是驱动系统的电磁兼容[173]，对驱动系统的干扰源、传导路径、敏感元件进行深入分析，建立驱动系统的高频模型[161]；二是对电机本体的电磁兼容分析，主要目的也是建立电机本体的高频模型[162, 174]。电磁兼容问题在一体化电机系统中更为突出。
2）双向耦合
电机中的双向耦合一般为迭代结构，即学科1的输出是学科2的输入，而学科2的输出也对学科1有影响，两个学科之间的输入输出参数不断进行循环迭代，直到参数之间的误差小于某一阈值时停止迭代。
（1）电磁-热耦合。电磁-热耦合是指电机中材料的电阻率[152]或者永磁体的剩磁和矫顽力[150, 153]会随温度变化，这两个参数对损耗造成影响，又会造成温度的变化，这样往复循环，直到迭代过程收敛（小于某设定的温度阈值），形成了电磁-热耦合。
（2）热流耦合。电机中的热流耦合本质上是在流固交界面上做传热分析[175]，即交界面上的对流散热系数与热流量之间的相互迭代。目前，在成熟的计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）分析软件中可以进行直接建模求解[176-178]。
3.2.2 电机多学科优化策略的选择与改进
由表3可知，电机是典型的多学科系统，具有强耦合、非线性、全局变量多的特点。目前，详细论述电机多学科优化策略的成果较少，只有文献[133]明确提到了“多学科优化策略”的概念，并比较了三种单级优化策略，如图9所示。由图9可知，在单目标电机优化时，AAO的综合性能最好，收敛时间更快，但是该结论在多目标领域缺乏验证。虽然图10对多级优化策略进行了比较，并得出BLISS的综合性能较好的结论，但是图10中只有ATC策略经过了严格的收敛性证明[141]。
图9 单级优化策略的性能比较
Fig.9 Comparison of single level multidisciplinary optimization strategies
图10 多级优化策略的性能比较
Fig.10 Comparison of multi-level multidisciplinary optimization strategies
不同优化策略的适用范围不同，基于上述分析和现有文献[7, 179-180]对优化策略的比较，本文从自治性、收敛性、设计空间维度（优化问题的输入维度其中包括辅助变量）、求解效率四个方面定性分析了不同单级和多级多学科优化策略的优劣，论述了不同多学科优化策略在电机中的适用情况，并提出了改进方向，具体内容如下：
（1）若子学科的分析模型都采用代理模型，则传统的MDF策略是可信度最高的电机多学科优化策略，但采用这种策略不仅要保证代理模型的精度，而且还要保证优化策略的收敛性。
（2）若以收敛效果和求解效率为判断标准，则多级BLISS策略可以作为电机多学科优化的选择，因为BLISS策略本质上是基于代理模型的策略，但是在采用BLISS策略时要注意优化问题中全局变量的维数，因为BLISS策略不适合解决全局变量多的问题。
（3）CSSO策略适用于不同学科间设计变量不同的优化问题，因为不同学科间的设计变量不重叠，可由系统级统一进行多学科收敛判断。如永磁电机的绕组参数会影响电流密度，进而影响电机的温升，而永磁电机护套的厚度只影响应力场，那么在进行温升优化时可只考虑绕组参数，而在进行应力优化时则只考虑护套的厚度。
（4）混合策略，如MDF-CO策略、MDF-AAO策略等，可以通过适当引入辅助变量，解耦部分子学科，进而追求性能更高的多学科最优解，非常适合用于电机多学科优化。然而，目前针对电机多学科优化的协调策略研究较少，因此，未来还需开发更多适合于电机多学科优化的混合策略、改进策略甚至新策略。
合适的优化算法可以有效提升多学科优化收敛的速度，目前现代电机优化主要采用元启发算法，因为元启发算法在电机多学科优化中具有天然优势，如便于处理离散变量问题，对真实物理模型或数学模型信息需求相对宽松、全局寻优能力强等[7]。
1）模拟退火（Simulated Annealing, SA）算法
SA是受固体淬火过程启发得到的一类算法。文献[181]对比了模拟退火算法、粒子群算法、蚁群算法以及各自的衍生算法的优缺点，并基于一系列测试函数测试了这几种算法，测试结果表明，SA的收敛速度比其他几种算法快。
2）禁忌搜索（Tabu Search, TS）算法
TS也是电机优化领域的常用优化算法，其用禁忌表来规避局部最优解。文献[182]通过改进禁忌表，提高了电机优化的效率。
3）粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）算法
PSO算法是受到鸟群觅食行为的启发而得到的一种算法，其每个粒子通过个体最优值和全局最优值不断更新自己的位置和速度，直到收敛得到最优解。由于标准PSO算法易于陷入局部最优，所以目前出现了许多衍生算法，如文献[108]针对磁阻电机优化，提出了一种改进的自适应APSO算法，这种APSO算法比标准的PSO算法收敛更快，探索决策空间的能力更强。
4）蚁群算法（Ant Colony Algorithm, ACA）
ACA也是较为成熟的元启发算法之一，其通过蚂蚁在搜寻事物时留下的信息素，为蚁群辨别方向，进而找到最优解。文献[183]采用ACA优化了一台高速飞轮储能电机，由于ACA对连续变量的优化问题适应性不好，所以该文对初始种群进行了一定改进，使其适用于电机优化。
5）遗传算法（Genetic Algorithm, GA）
GA首先通过模仿染色体的进化方式，包括复制、交叉、变异等形成新的种群，然后将新种群和旧种群不断进行比较和淘汰，最后得到最优解。差分优化（Differential Evolution, DE）是GA的典型衍生算法，DE通过采用差分策略改进了GA的遗传算子，使其具有更好的性能。文献[184]详细比较了SA、GA、DE三种算法在磁阻电机多目标优化时的表现，并给出DE具有更快收敛速率和更高鲁棒性的结论。文献[185]则在无铁心永磁直线电机的优化中引入了多种群遗传算法（Multi-Population Genetic Algorithm, MPGA），有效抑制了GA早熟收敛和后期种群同化的现象。
6）其他启发算法
其他启发算法，如免疫算法（Immune Algorithm, IA）[186]、进化策略（Evolutionary Strategy, ES）[187]等，在电机优化中亦占有部分比例。此外，目前还有更多的群智能算法不断被引入电机优化领域中，如蝙蝠算法[188]、果蝇算法[189]、鸽群算法[190]、灰狼算法[191]等。虽然，这些群智能算法可能适用于电机的某种特殊应用情况，但是在电机多学科优化中尚没有文献能够证明这些新兴启发算法更有优势。
7）混合算法
混合（hybrid）算法是将现有算法进行结合以提高算法的综合性能，如文献[192]将人工蜂群算法、强帕累托进化算法（Strong Pareto Evolutionary Algorithm, SPEA2）和DE算法进行整合并用于优化永磁电机，该文指出混合算法具有更快更稳定的收敛速率。
在实际应用中，不同优化算法的适用性并不相同，由上述文献，表4归纳了典型启发算法的特性及适用范围。
表4 优化算法的对比
Tab.4 Performance comparison of optimization algorithms
优化算法全局寻优能力收敛速度特性及适用范围 SA中快对初始参数敏感 TS低快不适用于连续变量的优化问题 PSO/ACA低快结构简单，适用于连续变量问题，但易陷入局部最优 GA (DE)高慢可扩展性高，衍生算法众多，应用较为广泛 Hybrid高—结构更复杂，但其具有比单一优化算法更强的全局寻优能力，而其收敛速度取决于其组成算法的收敛速度
由表4可知，在实际应用中，GA及其衍生算法的精度已经完全可以满足工程需要，而且其可扩展性强，有完整的理论和收敛性论证[193]，但为得到可信度更高的全局最优解，其在电机多学科优化中的鲁棒性还需进一步加强；当PSO算法、SA算法等其他元启发算法应用在电机多学科优化中时，需要提升它们寻找全局最优解的能力，避免其陷入早熟收敛；混合算法虽然可以提高算法的综合性能，但是其结构复杂，容易将简单的问题复杂化，因此若在电机多学科优化中采用混合算法，设计者需要注意算法与多学科耦合的逻辑关系。
顾及更多子学科之间的耦合与限制是现代电机优化技术发展的必然趋势。本文回顾了电机多学科优化技术的发展历程，讨论了代理模型在电机多学科优化中的优势，分析了不同代理模型、优化策略及优化算法在电机多学科优化中的适用范围，并由此总结了基于代理模型的电机多学科优化技术将面临的问题和发展方向。
目前，基于代理模型的电机多学科优化所面临的关键问题及挑战包括：
1）高维多学科模型的非线性程度太高。由于各电机子学科之间的耦合与限制，代理模型的误差会被放大，尤其在代理不同学科的高度非线性多输出模型时，不能保证每个学科的每个输出参数的精度都符合预期，而不同输出参数的精度对最终优化结果的可信度有较大影响。
2）“维数灾难”问题。高维高精度电机多学科代理模型所需样本量太大。目前，数据驱动的电机代理模型仍需要高精度数值模型的分析结果作为样本，而高维抽样时容易陷入“维数灾难”，过度抽样会导致样本计算花费大量时间。
3）学科之间的协调机制不完善。电机多学科优化过程是权衡不同子学科达到平衡状态或最优状态的过程，传统串行多学科设计与优化的设计周期太长、效率太低。且电机子学科之间的耦合与制约现象非常严重，现有优化策略难以顾及所有子学科，缺乏对协调机制的深入研究。
4）优化算法的收敛性与鲁棒性有待改进。优化算法的收敛性能会影响优化策略的收敛，在多学科多目标优化问题中，特别是在多学科协调策略的苛刻要求下，优化算法需要更强的收敛性与鲁棒性。
5）缺乏成熟的“集成化”电机优化平台。目前，越来越多的学科被纳入电机多学科优化的研究范畴，不同学科分析软件的数据接口不同，建模方法不同，分析方法不同，不同领域的专业知识难以集成，学科之间的数据流动很大程度上需要人为操作，这对电机多学科优化的可信度造成了较大影响。
由上述分析，展望了未来基于代理模型的电机多学科优化技术的发展方向：
1）高可信度。在电机的多学科代理优化过程中，保证代理模型的精度是提高优化结果可信度的关键。单一代理模型在多输入多输出问题中难以达到较高的精度，因此组合代理模型、多可信度代理模型将会在电机多学科优化技术中得到更多应用。
2）高效。高效代理模型、高效优化策略、高效优化算法是电机多学科优化的发展方向。其中值得开展的研究方向有：开发适用于电机多学科优化的“加点准则”，并尽可能缩小样本总量以建立更高效的代理模型；深入研究电机子学科的协调机制，引入并行策略或提出新的策略以提高多学科优化策略的效率；改进优化算法使其适应于电机多学科优化并具有更高的效率。
3）强鲁棒性。由于电机多学科优化囊括子学科较多，且学科之间耦合严重，故优化过程的鲁棒性与可重复性是检验多学科优化方法正确性的重要标准。模型误差、优化策略的严谨性、优化算法的全局寻优能力和工艺误差等都是影响多学科优化技术鲁棒性的重要因素，故未来亟须开发具有强鲁棒性的多学科优化技术以削弱或消除上述因素的影响。
4）高度集成化。将不同学科领域的数据接口的标准化，建立高度集成化与自动化的多学科优化平台，直接将学科模型、优化策略、优化算法封装在一起，使得电机的多学科优化过程尽量减少或消除人为操作将是未来电机多学科优化技术的发展趋势。
综上所述，本文提出的电机多学科优化在未来的发展方向包括：提出新的多学科协调机制与优化策略；提出适用于电机多学科代理优化的加点准则；提高电机多学科代理模型的精度，如起用组合代理模型、多可信度代理模型或提出新的代理模型等；提出新的优化算法或改进现有算法以提升多学科优化的收敛性和鲁棒性；整合电机的多学科模型、优化策略、优化算法，建立完整的电机优化平台。
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Review on Multidisciplinary Optimization Key Technology of Electrical Machine Based on Surrogate Models
Abstract As the continuous expansion of electrical machine application fields, the multi- disciplinary optimization technology becomes an important research direction in machine optimization field. This paper reviews the development of machine multidisciplinary models, and analyzes the advantages of surrogate models in machine multidisciplinary optimization. Then, the construction process of machine surrogate models is elaborated, and the selection principles of different surrogate models in machine multidisciplinary optimization are purposed. After that, the latest research progress of coupling strategies, coupling forms and coupling parameters among different machine disciplines are summarized, and the application scope and the improvement trends of different coupling strategies in machine multidisciplinary optimization are analyzed. And then, the applicability of several optimization algorithms in machine multidisciplinary optimization is compared and analyzed. Finally, the problems faced by machine multidisciplinary optimization technology are discussed, and the future development trends are prospected.
keywords：Electrical machine surrogate models, electrical machine multidisciplinary optimization technology, electrical machine multi-physics coupling optimization technology, electrical machine optimization algorithms
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211394
中图分类号：TM302, TP301.6, TP181
国家自然科学基金重点国际合作研究项目（51920105011）和国家自然科学基金项目（52077121, 52077141）资助。
收稿日期 2021-09-03
改稿日期 2022-04-14
谢冰川 男，1996年生，博士研究生，研究方向为电机多学科优化。E-mail: 1334757828@qq.com
张 岳 男，1988年生，教授，博士生导师，研究方向为电机系统及其控制。E-mail: yzhang35@sdu.edu.cn（通信作者）
（编辑 崔文静）