图1 电流波形
Fig.1 Current waveform
摘要 该文采用有限元法，仿真研究了轨道炮的电流分布特性。根据有限元模型中影响因素的不同，建立了三种模型，即速度趋肤效应模型、接触电阻模型以及两者都包含的综合模型。首先在运动电枢上建立坐标系，在麦克斯韦方程组中增加速度项，实现考虑速度趋肤效应的运动电磁场计算；其次接触电阻模型考虑了电枢与轨道的粗糙表面特征以及枢轨间接触压力；最后将两种模型结合建立了综合模型。该文通过对比分析各个模型中的电流在枢轨界面上的分布特性，表明综合模型能更准确地揭示电流分布特性。基于此，以电感梯度为例，该文进一步分析了不同模型中电感梯度变化规律，研究表明，速度趋肤效应与接触电阻都是影响电磁轨道炮性能的关键因素。
关键词：轨道炮 速度趋肤效应 接触电阻 电流分布
轨道炮中的电流分布是进行温度分布、界面损伤、结构优化等研究的基础。必须实现电流分布的准确定量计算，才能实现进一步的可靠研究。电流分布的邻近效应、趋肤效应都可以通过对麦克斯韦方程组的瞬态求解来实现。所以，对于轨道炮电流分布的研究有两个重点：如何考虑接触电阻以及速度趋肤效应对电流分布的影响。
目前，轨道炮的电流分布研究主要分为以下三种模型：仅考虑接触电阻的电磁场模型[1-6]（接触电阻模型）；仅考虑速度趋肤效应的电磁场模型[6-14]（速度趋肤效应模型）；理想接触且不考虑速度趋肤效应[14-23]（简单模型）。
目前最为常用的是简单模型，采用商业软件进行电磁场瞬态求解即可获得轨道炮内部的电流分布[14-23]。其次是接触电阻模型，常用的建模方法有电枢分段建模法[1-3]、Holm接触电阻公式[4-5]及CMY（cooper-mikic-yoranovich）接触电阻公式[6]。接触电阻公式提出了额外的力学仿真要求，而电枢分段建模法则主要取决于研究人员的经验。对速度趋肤效应的研究也有多种方法。许多学者多采用磁扩散方程进行二维模型的速度趋肤效应的研究[6-7,14]。金龙文采用LS-DYNA实现了速度趋肤效应的三维模型计算，意味着采用有限元法是可行的[8-9]。李白、李湘平等采用有限体积法实现了三维模型的速度趋肤效应的计算[11-12]。林庆华则通过自编程序对速度趋肤效应进行研究[13]。
一般认为，在轨道炮的起始阶段时速度较低，可以忽略速度趋肤效应。而当速度较高时，速度趋肤效应占据主导，可以忽略接触电阻。事实上两者计算得到的电流分布截然不同，接触电阻会将电流限制在高接触压力区域附近，而速度趋肤效应将导致电流集中在电枢尾翼端部。两种影响电流分布的机制是如何协同作用的，目前尚未开展相关研究。
本文首先给出了考虑速度的麦克斯韦方程组，用于三维仿真模型中实现速度趋肤效应的计算；其次在接触电阻模型中，认为接触斑点总是塑性变形的，采用CMY接触电阻计算方法进行电磁场-结构场模型的双向耦合计算；最后，结合以上的控制方程和边界条件，建立综合模型，并对比分析计算得到的电流分布。
模型采用如图1所示电流波形。上升沿阶段从0开始线性增加至0.5ms，保持200kA至3ms，随后下降，至8ms为0。模型中采用20mm口径轨道炮，其几何模型如图2所示，其中电枢与轨道为完全接触。
图1 电流波形
Fig.1 Current waveform
图2 轨道炮的几何模型
Fig.2 Geometric model of railgun
模型中轨道高度为30mm（z方向），轨道厚度为20mm（x方向），电枢高度为（z方向）19.4mm，枢轨接触面长度为（y方向）20mm。电枢位于轨道的中间部位。为实现速度趋肤效应而不引入几何模型的运动，本文将坐标系建立在电枢上，则轨道在发射过程中不断向后方移动。将速度对电磁场的影响添加到麦克斯韦方程组中，有
（1）
式中，v为电枢的发射速度；H为磁场强度；D为电位移矢量；B为磁通密度；E为电场强度；J为电流密度。相比于一般的麦克斯韦方程组，式（1）中添加了动生电动势产生的电流。由于电枢不动，电枢中控制方程的速度项恒为0，而轨道中的速度项与实际发射过程中电枢的速度大小相等方向相反。
本文根据图2所示几何模型中的对称关系，建立了轨道炮的1/4模型。基于COMSOL软件进行仿真计算可得图2中研究区域对应的枢轨界面电流密度分布，如图3所示。速度趋肤效应模型参数见表1。
表1 速度趋肤效应模型参数
Tab.1 The parameters of velocity skin effect model
参数数值 轨道电导率/(107S/m)1.73×107 电枢电导率/(107S/m)2.78×107 相对磁导率μ1 相对介电常数ε1
图3 速度趋肤效应模型中枢轨界面的电流密度分布
Fig.3 Current density distribution at the armature- rail interface in velocity skin effect model
当速度较大时，电流几乎全部集中于电枢尾翼的边缘角落，此处的电流密度远超附近区域。本文进一步提取出枢轨界面边缘线上的电流分布，如图4所示。可以看出，在各个时刻尾翼末端区域都是电流集中的区域。
图4 速度趋肤效应模型中枢轨界面边缘处的电流分布
Fig.4 Current distribution at the edge of armature-rail interface in velocity skin effect model
在0.3ms、0.7ms、5ms时刻的速度分别为20m/s、150m/s、1 370m/s。在0.3ms，由于速度较低，瞬态趋肤效应占据主导地位，速度趋肤效应对电流分布的作用不明显。此时电流集中于电枢尾翼头部与末端。而在0.7ms时刻，电流波形进入平顶阶段，速度趋肤效应的影响开始突显。尾翼末端的电流密度幅值远超头部区域。而在5ms时刻，速度的大幅提高没有导致电流分布形状在对数坐标系下的显著变化。但在靠近电枢尾翼末端的位置（y=0），电流的数值梯度大幅增加。
由此可以看出，在电枢速度为150m/s时，速度趋肤效应已经非常显著。在电流的下降阶段由于电枢进入高速阶段，电流变化产生的感生电动势已经无法观察到。
本文建立的接触电阻模型采用尾翼向两侧张开的电枢，其单边过盈量为0.9mm。首先对装配后的状态进行稳态计算，得到接触压力分布。在发射的过程中，在电磁力的作用下，枢轨界面的接触压力将发生变化。
在枢轨界面上采用CMY接触电阻计算方法[24]，对于任意一点的接触压力P，其对应的接触电导率hc为
（2）
式中，m为粗糙表面平均斜率；σ为粗糙表面平均高度；H为较软材料的表面硬度，模型采用的相关结构参数见表2；
为电枢与轨道电导率的调和平均数，即
（3）
表2 接触电阻模型参数
Tab.2 The parameters of contact resistance model
参数数值 轨道杨氏模量Er/GPa110 轨道密度ρr/(kg/m3)8 960 电枢杨氏模量Ea/GPa70 电枢密度ρa/(kg/m3)2 700 泊松比0.33 表面硬度H/MPa700 粗糙表面平均高度σ/μm10 粗糙表面平均斜率m0.1
在稳态计算后进行接触电阻模型的瞬态计算。瞬态计算时采用电磁场与结构场的双向耦合模型。模型以不含速度项的麦克斯韦方程组作为控制方程。其多物理场耦合方法如图5所示。每一次迭代中，电磁场向结构场输出洛仑兹力作为载荷，结构场输出根据接触压力计算到的接触电阻。
图5 多物理场耦合方法
Fig.5 Coupling method of multiple physical fields
考虑接触电阻作为枢轨界面的边界条件，可以得到枢轨界面各时刻的电流分布如图6所示，接触压力分布如图7所示。枢轨界面边缘处的电流分布如图8所示。
0时刻接触压力即为枢轨界面的预接触压力。此时高接触压力区域主要集中在边缘区域。以后在电磁力的作用下，接触压力逐渐变得均匀。0.5～3ms是电流的平顶阶段，电流分布呈现出向中央扩散的趋势。而电枢边缘处的电流密度也略微下降，呈现出均匀化的趋势。相较于接触压力的均匀化过程，电流密度的均匀化过程较为滞后。此时，由于电流幅值没有变化，所以接触压力的分布几乎没有变化。在5ms时刻，电流处于下降阶段，受到感生涡流的影响，电流更趋于向中央汇集。边缘的电流密度在电流幅值降低、感生电动势的双重作用下，下降幅度明显。在此阶段，枢轨界面中央区域的接触压力降低，接触压力向边缘处集中。根据接触电阻模型的计算结果，在整个发射过程中，电枢尾翼末端的接触压力总为0，意味着没有与轨道接触。
图6 接触电阻模型中枢轨界面的电流分布
Fig.6 Current density distribution at the armature- rail interface in contact resistance model
图7 接触电阻模型中枢轨界面的接触压力分布
Fig.7 Contact pressure distribution at the armature- rail interface in contact resistance model
图8 接触电阻模型中枢轨界面边缘处的电流分布
Fig.8 Current distribution at the edge of armature-rail interface in contact resistance model
对比上述两个模型的电流分布云图与电枢边缘电流密度的曲线图可以发现，两者具有极为显著的区别。因此，为建立能够更加准确描述实际轨道炮发射过程的模型，本文结合速度趋肤效应模型与接触电阻模型，建立综合模型进行电流分布研究。
综合模型首先进行枢轨装配过程的稳态计算，获得枢轨界面的初始接触电阻。然后进行电磁-结构双向耦合的瞬态计算。综合模型的结构场计算方法与接触电阻模型相同。在电磁场计算上采用与接触电阻模型相同的边界条件以及材料属性，而使用速度趋肤效应模型的控制方程，即式（1）。
综合模型中枢轨界面的电流分布如图9所示，接触压力分布如图10所示。
图9 综合模型中枢轨界面的电流分布
Fig.9 Current density distribution at the armature-rail interface in composite model
图10 综合模型中枢轨界面的接触压力分布
Fig.10 Contact pressure distribution at the armature- rail interface in composite model
综合模型合并考虑了接触电阻模型和速度趋肤效应模型的特点。在0.3ms时刻，电流集中于枢轨界面边缘靠近头部的某点，此处为高接触压力区域的上边缘。这与接触电阻模型中得到的电流分布是一致的。而随着速度的增加，速度趋肤效应逐渐显现，使得电流集中区域不断向电枢尾翼末端移动。
尽管速度趋肤效应模型中电流密度的峰值位于电枢尾翼末端，但在综合模型中距离尾翼末端的区域内电流密度却为0，如图9所示。原因在于，此区域接触压力为0，如图10所示。速度趋肤效应能够使得电流不断向后方移动，但产生的电磁力仍然不足以推动尾翼末端与轨道接触。电枢尾翼末端与轨道失接触，电流无法通过。枢轨界面边缘处不同时刻的电流分布如图11所示，直观地展示了综合模型中电流分布特性。
图11 综合模型中枢轨界面边缘处的电流分布
Fig.11 Current distribution at the edge of armature-rail interface in composite model
综合对比图3、图5、图7，以及图4、图6、图8，可以清晰地看出，三种模型得到的电流分布各不相同。因此各模型的电磁特性也会存在一定的差异。简单模型的电流分布已经有了数量众多的研究成果，不再进行电流分布特性的分析。从各个模型（包括简单模型）中提取电枢受到的电磁力FEM以及电流I，根据式（4）即可算得轨道炮的电感梯度
。
（4）
简单模型、速度趋肤效应模型、接触电阻模型以及综合模型中得到的电感梯度在发射过程中的变化如图12所示。由于7ms以后电流趋于0造成了较大的数值波动，且在实际的发射过程中为了避免转捩，往往在下降阶段开始不久即出膛。所以不考虑7～8ms之间的数据。
四种模型在起始时刻的电感梯度区别不大。接触电阻模型与简单模型相差1%左右。这说明轨道结构与电枢结构才是决定电感梯度的根本因素。
在发射的主要过程中，电感梯度最大的为接触电阻模型，其次为简单模型、综合模型，最小的为速度趋肤效应模型。在速度趋肤效应模型中，轨道电流被强烈地限制在电枢尾翼末端。轨道电流距离电枢电流较远，提供的电磁推力也较小，如图13a所示。且速度越大，电枢尾翼末端区域电流占比越大，因此电感梯度呈现下降的趋势。
图12 四种模型中的电感梯度
Fig.12 Inductance gradient in four models
图13 两种模型中的电流分布与枢轨相互作用示意图
Fig.13 Schematic diagram of current distribution and armature-rail interaction in the two models
对于接触电阻模型而言，接触压力主要集中于枢轨界面的中央区域，导致此处的接触电阻小，所以电流主要经过中央区域。这使得电枢与轨道的作用距离大为降低，所以电感梯度较大，如图13b所示。而在磁扩散的作用下，枢轨间的作用距离会进一步减小，所以电感梯度呈现增加的趋势。
而综合模型的初期阶段在接触电阻的作用下，电流被限制在枢轨界面边缘的中间区域，从而电感梯度在初期与接触电阻模型近似。但随着速度的提高，速度趋肤效应逐渐显著，使得电感梯度也呈现出下降趋势，但接触电阻的作用仍不可忽略，所以下降速度比速度趋肤效应模型小一些。
最后，简单模型的磁扩散过程在平顶、下降阶段中发展较为缓慢，所以整体的电感梯度几乎是均匀的。0～1ms时刻的电感梯度上升是由于电流线性上升，磁扩散较为迅速造成的。
基于上述分析可知，综合模型能够准确地反映两种机制对电流分布的影响，也是目前最贴近实际的电流分布计算方法。
电磁轨道发射中，速度趋肤效应和接触电阻对电流分布的影响机制不同，导致电流分布特性也差异显著。本文提出了包含接触电阻和速度趋肤效应的综合模型。通过与其他模型的对比分析，证明了两种效应在综合模型中均有显著作用，可真实反映电磁特性。综合模型克服了传统模型仅适用于某一个阶段的局限性，为轨道炮的全程发射仿真提供了精确的电流分布计算方法。
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Current Distribution Characteristics of Armature-Rail Interface under Velocity Skin Effect and Contact Resistance
Abstract In this paper, the current distribution of railgun is calculated by finite element method. In this paper, according to the different factors in the model, three models are established: the velocity skin effect model, the contact resistance model and the composite model. Firstly, by setting up the coordinate system on the armature and adding the velocity term to the Maxwell equations, the velocity skin effect caused by the armature motion is calculated. Secondly, the rough surface characteristics of armature and rail and the contact pressure between armature and rail are considered in the contact resistance model. Finally, a composite model is established by combining above models. By comparing and analyzing the current distribution characteristics of each model on the armature-rail interface, this paper shows that the composite model is the most accurate. It is shown that the velocity skin effect and contact resistance are the key factors affecting the performance of electromagnetic railgun.
keywords：Railgun, velocity skin effect, contact resistance, current distribution
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211767
中图分类号：TM89
国家自然科学基金（51877096）和重点实验室基金（6142217200507）资助项目。
收稿日期 2021-11-03
改稿日期 2022-01-22
王增基 男，1997年生，博士研究生，研究方向为电磁发射。E-mail：1379130580@qq.com
陈立学 男，1984年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁发射、开关电器等。E-mail：chenlixue@hust.edu.cn（通信作者）
（编辑 赫蕾）