（1）摘要 谐波分量会引起电气设备激励波形畸变，使铁心损耗增加。为研究该工况下铁心材料磁特性的变化，该文将畴壁移动时的复杂能量变化和最小化过程简化为驱动力，将阻碍畴壁移动的钉扎力简化处理为粘滞摩擦力，由此采用非线性力学Bouc-Wen模型对材料的磁滞现象进行描述。通过引入表征磁畴磁化的旋转项对Bouc-Wen模型进行修正，采用修正模型实现准静态条件下的磁滞回线模拟。通过进一步考虑涡流引起的阻力项，扩展该模型为动态模型，能够模拟不同频率的正弦以及高阶谐波激励条件下的非对称回线，并详细讨论了不同激励条件下所提出模型中的阻尼系数的变化规律及其频率效应。通过对比实测结果与模型预测结果，验证了模型的正确性与准确性。
关键词：电工硅钢 谐波 Bouc-Wen模型 磁滞特性 损耗特性
电气设备的能量损耗主要由铁心部件在磁化过程中的磁滞特性与涡流效应引起，因此建立能够精确模拟铁心材料磁滞特性及涡流分布的模型对电气设备的高效运行具有重要意义[1]。由于电气设备铁心绕组中激励电流的谐波含量不可忽视，畸变的激励电流使铁心磁通饱和程度增加，引起局部过热加剧，损耗增加，严重危害电力系统的安全运行。因此，研究复杂励磁下的磁滞和损耗特性对于电气设备的优化设计和安全运行至关重要[2]。
近年来众多学者针对铁心损耗计算进行研究，目前计算方法主要包括经验公式法和磁滞模型法。工程上常采用的经验公式法包括Steinmetz计算方法和Bertotti损耗分离公式法，虽计算方式简便，但需大量实验数据识别参数，且缺乏物理意义[3-4]。磁滞模型法主要分为数学模型和物理模型。数学模型一般精度较高，但不具备明确的物理意义[5-6]，如Preisach模型作为经典模型，可准确描述材料磁滞特性，但分布函数难以识别[7]。而物理模型一般求解过程复杂，精度较差，难以应用于实际工程材料的模拟中。如DSM(domain structure model)模型，具有严格的物理基础，但求解困难[8]。此外，由于谐波会导致磁滞回线存在小回环，故要求模型具有出色的动态滞回特性[9]。然而，J-A(Jiles-Atherton)模型及Energetic模型虽具有一定物理意义，但均为静态模型，无法应用于动态磁特性模拟[10-11]。有学者分别将J-A模型和Energetic模型与场分离模型相结合，将其扩展为动态模型用于计算复杂工况激励下的磁滞回线[12-14]，但其计算形式复杂且非线性明显的两端区域计算误差较大。因此，提出数学表达简单、物理意义明确且具有较高精度的磁滞模型至关重要。
铁磁学研究表明，磁畴与畴壁的形成是包括交换能、各向异性能、磁弹性能、畴壁能以及退磁能等在内的总能量最小化的结果。在外场作用下，能量重新分配，形成新的磁畴结构。而畴壁的移动过程受到外场、交换能、各向异性能、掺杂和内部的钉扎效应等因素影响[15]，能量项的相互作用非常复杂，磁化过程中复杂的畴壁移动过程与动力学过程相似，本文把由多种复杂能量变化驱动畴壁移动的力简化为推动畴壁移动的动力；把微小区域能量涨落及缺陷造成的畴壁移动阻力，即钉扎力简化为粘滞摩擦力。因此，可用滞回动力学模型Bouc-Wen模型[16]来描述磁畴结构的变化，从而建立了材料的微观磁畴结构变化对宏观特性影响的物理模型。相较于Preisach模型、改进的J-A模型及Energetic模型，基于Bouc-Wen模型改进的适用于磁滞模拟的新模型表达形式更加简单，物理意义相对明确，同时可以保证计算的准确性。因此，从计算效率、求解精度及扩展性等方面综合考虑，该模型具有广阔的应用前景。
本文首先利用单片测试仪(Single Sheet Tester, SST，100mm´500mm)测量取向硅钢片在准静态、不同频率正弦以及不同阶次、相位谐波等激励下的磁特性。其次，采用Bouc-Wen模型描述磁化过程中的畴壁运动过程，并引入描述磁畴磁矩旋转项对Bouc-Wen模型加以改进，使该模型能够较准确地模拟畴壁移动与磁畴磁矩转动形成的磁滞回线。进一步引入涡流引起的阻力项，使改进后的模型能够分别模拟动态及包含谐波激励条件下的磁滞回线。所提出的改进模型的参数作为畴壁运动和磁畴磁矩旋转的阻尼系数，具有一定的物理意义。利用粒子群算法对各个参数进行识别，得到阻尼系数随外场大小及频率的变化规律。最后，将模型计算结果与实验数据进行对比，验证了本文所建立模型的正确性与有效性。
对于取向硅钢片，可以简单地理解为只有两个方向的磁畴；而对于非取向硅钢片、非晶、纳米晶及粉末压制而成的软磁复合材料，磁畴呈360°随机分布。由于本文所提出的模型描述的是单畴壁的运动状态，故选择取向硅钢的磁特性以进行模型验证。
本文采用SST测量取向硅钢B27R090在准静态、动态不同频率以及动态加载谐波等激励条件下的磁特性。测量频率为5～500Hz，但是在接近饱和磁化样品时，测量频率最高为300Hz。测试样品的规格为600mm´100mm´0.259mm，质量为492.9g。测试平台通过计算机终端输入的激励信号经功率放大器放大后施加给一次绕组用于磁化样品。励磁电流i(t)与磁场强度H(t)之间的关系满足安培定理，即
（1）
式中，N1为线圈匝数；lm为磁路的等效长度，由测量线圈系统的几何形式规定。测量仪器的规格参数见表1。通过测量线圈二次绕组中的电压u2(t)得到磁感应强度B(t)，即
（2）
式中，N2为二次绕组匝数；S为样品横截面积。
表1 测量仪器的规格参数
Tab.1 Specifications and parameters of measuring instrument
参数数值 匝数比188:198 测量频率/Hz3～500 磁感应强度/T0.001～2 磁场强度/(A/m)1～10 000
根据上述测量原理，分别测量了不同频率正弦激励下的动态磁滞回线。此外，在谐波条件下测量时，励磁电压u1(t)施加到一次绕组以控制变压器铁心内的磁感应强度波形，励磁电压为
式中，f为基波频率，设置为50Hz；U1m为基波电压幅值；Ukm为k次谐波电压幅值；φk为k次谐波与基波的相位差。磁感应强度B(t)由测量得到的二次电压u2(t)积分得到，其峰值为Bm。谐波含量ηk定义为k次谐波磁感应强度峰值Bkm与基波磁感应强度峰值B1m之比，即
（4）
在机械结构领域中，对非弹性行为的记忆定义为迟滞，是材料的一种本征特性。迟滞由抵抗运动的滞回力和耗散能量产生，其中滞回力取决于瞬时形变和历史形变。Bouc模型最初应用于非线性振动力学领域，随后由Wen改进，广泛应用于描述结构和机械工程领域中摩擦力的粘滞特性[17-18]。Bouc-Wen模型的原始力学模型如图1所示，由一个线性弹簧和一个非线性单元组成，其中非线性单元由一个线性弹簧和一个摩擦块构成。
图1 Bouc-Wen原始力学模型
Fig.1 Bouc-Wen original mechanical model
该力学模型包含两个状态变量，即整个模型的整体位移x和弹簧的滞回位移z。其中，滞回位移z为整体位移x与摩擦块位移u之差[19]。整个过程中，在忽略加速度的条件下，结构的非线性回复力F与两种位移之间的关系为
（5）
式中，
为弹性阻力；F2为滞回阻力；k为刚度系数；c为结构中非线性刚度与线性刚度的比值。
Bouc提出了一种滞回位移z从弹性到塑性的过渡方法[19]，即
（6）
式中，参数A、γ和β控制回环的形状；n控制着回线从弹性到塑性过渡的平滑性，n越小，回线越平滑。因此，R. H. Sues等建议将n设置为1.0[20]。即该模型将整体位移x作为输入，由式（6）计算滞回位移z，求得F1和F2后得到输出F。
根据磁化机理，畴壁的移动过程是交换能、静磁能、退磁能和各向异性能等多种能量平衡的结果。从较为宏观的角度上看，其运动过程类似于粘滞摩擦力的动力学过程。而在材料的磁化过程中，畴壁的不可逆移动是导致磁滞回线分裂成上下支的主要原因。为了简化畴壁的粘滞移动过程，将驱使畴壁移动的能量变化过程类比为一种与外场相关的力，将阻碍畴壁移动的力类比为导致磁滞现象的钉扎力，故本文利用经典非线性滞回力学Bouc-Wen模型表征畴壁的非线性运动，简化畴壁移动过程中复杂的能量最小化的平衡过程。
在模型构建过程中，假设阻力Fw由畴壁能的增加引起，该阻力在一定的畴壁位移xw的范围内，与xw呈线性关系[21]，即
（7）
式中，
为畴壁能；k0为阻力Fw的阻尼系数；xw与磁化强度M呈线性关系，
（8）
式中，χ=qMs，q为系数，Ms为饱和磁化强度。
阻力Fz是由材料缺陷引起的钉扎阻力，其值反映了材料内部缺陷(如杂质或空洞)对畴壁移动过程产生的阻碍作用。在模型构建过程中，钉扎阻力可简化认为与材料的滞回位移zw呈正比，即
（9）
式中，α为阻力Fz的阻尼系数。滞回位移反映了畴壁的粘滞摩擦阻力，由式（6）计算得到。
畴壁移动过程中受到的外场推力FH为[22]
（10）
式中，EH为赛曼能；H为外加磁场强度。忽略加速度，外场推力FH为上述几项阻力之和，即
（11）
根据上述分析，畴壁移动引起的阻力Fw可视为2.1节所述的弹性阻力F1，而钉扎阻力Fz可视为滞回阻力F2。在求解时，磁感应强度B作为模型输入计算畴壁位移xw，同样通过式（6）计算滞回位移zw，进而得到外场推力FH，最终通过式（10）得到外场强度H。
在高场下，磁化过程不仅包含畴壁的移动过程，还有磁畴磁矩的旋转过程，如果使用Bouc-Wen模型来模拟高场下的磁化过程，则应考虑各向异性引起的磁矩旋转的阻力，因此需在式（11）中加入第三项代表磁畴磁矩旋转的阻力。该项是关于磁感应强度B(t)的单调递增奇函数，为了便于计算，采用双曲正弦函数sinh[σB(t)]表达，其中系数σ代表磁畴磁矩旋转的阻力系数。改进后的Bouc-Wen模型为
（12）
由于低频激励下的涡流效应微弱，对磁滞回线的影响可被忽略，这里将准静态磁滞回线视作静态磁滞回线。分别使用经典的Bouc-Wen模型式（11）与改进Bouc-Wen模型式（12）对准静态下磁滞回线进行模拟。图2为样品在静态磁化条件下磁化至1.5T时实验值、经典模型计算值以及改进模型计算值的对比结果。
图2 准静态条件下滞回曲线对比（Bm=1.5T）
Fig.2 Hysteresis loops when Bm=1.5T
由图2可看出，在低场下实验值与经典模型计算值比较一致，但在高场强下，两者相差较大。经典模型无法准确模拟磁滞回线接近饱和的部分。这是由于经典模型仅考虑了畴壁移动过程，然而材料在接近饱和状态时，磁畴磁矩旋转对材料磁化的贡献逐渐增强。改进后的模型式（12）考虑了磁矩旋转对磁化的贡献，计算得到的磁滞回线与实验测得的回线很好地吻合，提高了静态磁滞回线模拟的准确性。
为了模拟高阶谐波对磁滞回线的影响，必须对改进后的静态模型进一步修正。利用正弦激励条件(如Bm=1.5T，f=50Hz)下的实验测量结果对2.3节所述的改进静态模型进行参数识别，并将得到的参数直接用于模拟该磁感应强度下，含有谐波激励条件(如Bm=1.5T，η5=20%，φ5=90°)下的磁滞回线，与实验值进行对比，对比结果如图3所示。可以看出，若直接将静态模型的参数用于模拟包含谐波激励条件下的磁滞回线，则小回环的回转点在磁滞回线的另一支上，无法准确模拟小回环，使计算值与实验值差别较大。目前研究表明，经典的Bouc-Wen模型可模拟结构或构件在循环力作用下的滞回特性。考虑了与移动速度成正比的粘性摩擦力之后，Bouc-Wen模型可进一步描述动态的滞回特性[19]。为了描述包含谐波激励的磁性材料的动态磁滞特性，本文在经典Bouc-Wen中增加描述动态特性的分量，使得改进的模型具备描述动态特性的功能。
图3 未考虑动态分量的计算值与实验值对比
Fig.3 The comparison between the experimental value and the calculated value without considering the dynamic component
第2节讨论了静态磁化过程中通过磁畴结构的变化表征静态磁特性的方法，而动态磁化过程是描述磁性材料在交变磁场下磁特性的变化过程。为了模拟动态磁特性，需要考虑涡流在畴壁移动过程和磁畴磁矩旋转过程中产生的反作用力。根据磁畴理论，在交变磁场作用下，磁感应强度的变化是通过畴壁移动实现的。若阻碍畴壁移动的阻力主要由畴壁附近的涡流引起，则涡流阻力造成的能量损耗是由动态磁化造成的。畴壁移动的速度v反映了磁化的快慢，将涡流引起的阻尼作用Fe设为[21]
（13）
式中，c0为阻力Fe的阻尼系数。即将式（12）改进为
（14）
动态激励下，励磁频率发生改变，畴壁的移动速度发生变化，故模型中表征畴壁移动引起阻力的阻尼系数c0受到频率及磁感应强度变化影响。为计算包含谐波激励下的磁特性，模型应采用式（14），输入含有谐波的B波形。由于输入的B波形含有谐波，参数c0需要进行调整，而其他参数的变化规律则与静态模型一致。
本文选取不同激励条件下的实测磁滞回线与损耗数据来验证所建立的改进Bouc-Wen模型的准确性。
2.3节所述的改进后的静态Bouc-Wen模型(式（6）和式（12）)需要识别的参数有k0、σ、α、γ、β、A及q。根据控制变量法，分析了各个变量对磁滞回线的影响，结果见表2。其中，形状参数γ、β、A对回线状态变量的影响相同；阻尼系数k0与剩磁和磁导率有关；σ仅影响材料的剩磁，与材料的各向异性有关；α影响回线低场强下回线面积，代表了畴壁移动做功。
表2 静态模型参数对磁滞回线影响
Tab.2 Influence of static parameters on hysteresis loop
参数剩磁矫顽力矫顽力处磁导率回线面积 γ↑↓↓—↓ β↑↓↓—↓ A↑↑↑—↑ q↑↓↓—↓ k0↑↓—↓— α↑↑↑—↑ σ↑↓———
采用粒子群算法对准静态条件下磁滞回线进行参数识别。目标函数设置为计算得到的磁场强度与实测磁场强度之间的相对误差，从而实现静态Bouc-Wen模型参数识别。目标函数为
（15）
式中，Hmea为实测磁场强度；Hcal为计算得到的磁场强度；L为采样点数。
粒子群算法通过更新一组初始化随机粒子来搜索最优解。在探索和寻找更好的目标函数值的过程中，粒子仅具有速度和位置两个属性，速度代表粒子移动的快慢，位置代表粒子移动的方向。在每一次迭代中，粒子的速度和位置信息通过跟踪个体最优和群体最优进行更新[23]。具体流程如图4所示。
图4 粒子群算法流程
Fig.4 Flow chart of particle swarm optimization algorithm
根据实验测量结果，经上述识别过程得到的形状参数γ、β、A可取常数，分别为10.2、5.2、0.4；q可取2；阻尼系数α、k0及σ等随Bm的增加单调变化，识别结果见表3。
表3 静态Bouc-Wen模型参数识别结果
Tab.3 Parameter identification results of static Bouc-Wen model
Bm/Tαk0σ 0.33.95.81.77 0.510.415.52.08 0.715.319.52.77 0.930.526.12.84 1.175.332.22.92 1.3120.740.53.14 1.5180.946.53.60 1.7560.469.03.83
由第3节可知，阻尼系数c0为动态系数，与磁化频率有关。为考虑参数的频率效应，通过在50～300Hz频率范围下测得的磁滞特性数据分别识别参数。不同频率下c0变化规律见表4。依据参数随频率的变化特性，采用多项式拟合的方式得到参数c0与f以及Bm之间的关系式为
（16）
式中，p1=2.652×10-2，p2=-4.584×10-3，p3=-1.391×10-4，p4=7.4×10-2，p5=1.137×10-4。
表4 不同f及Bm下参数c0变化
Tab.4 The static parameters at different frequencies and the maximum values of magnetic strength
f/Hzc0 0.3T0.5T0.7T0.9T1.1T1.3T1.5T1.7T 500.0140.0310.0680.1100.1220.1410.1600.194 1000.0110.0280.0600.0920.1130.1400.1710.311 2000.0100.0260.0490.0850.1100.1380.1630.265 3000.0090.0230.0420.0700.0900.1210.2250.243
图5比较了不同频率下实验测得的磁滞回线与改进模型式（14）计算的磁滞回线。可以看出，在Bm＜0.7T时，计算与测量的磁滞回线两者结果一致；当Bm=1.5T时，回线总体表现出一致，但在膝点出现了较大的偏差；当Bm＞1.5T时，计算与实验结果偏差较大。在频率增大时，偏差主要表现在高磁感应强度磁化时的膝点处。这是由于式（12）中引入的第三项简单表达式虽能描述磁畴磁矩旋转，但并不能准确地描述旋转过程。用该模型计算的总损耗和测量结果对比见表5，当磁感应强度增大到1.5T时，计算值与测量值的相对误差为5.87%；当磁感应强度继续增大到高饱和状态(Bm=1.7T)时，误差增加，但仍保持在10%之内。
图5 不同频率正弦激励下实测和计算的磁滞回线对比
Fig.5 The comparison of measured and calculated hysteresis loops under sinusoidal excitation of different frequencies
表5 不同频率正弦激励下的总损耗计算值与实验值对比
Tab.5 The comparison of calculated and experimental total loss under sinusoidal excitation
f/HzBm/T损耗/(J/m3)相对误差(%) 实测值计算值 1000.36.556.712.44 0.732.9433.511.73 1.5148.85140.11-5.87 1.7198.37184.81-6.84 2000.310.8411.162.95 0.751.5854.014.71 1.5221.91221.800.05 1.7299.04270.65-9.49
基于本文提出的动态Bouc-Wen模型，即式（14），模拟不同谐波激励下的磁滞模型特性。根据4.2节的讨论，在模型求解过程中，除了采用表3所示的静态模型参数，动态参数c0需要重新识别，用于模拟和预测谐波激励条件下的磁滞回线。谐波激励条件下的动态参数c0见表6。
表6 谐波激励条件下动态参数c0
Tab.6 Dynamic coefficient c0 under harmonic excitation
激励条件c0 Bm=0.7TBm=1.5T η3=20%, φ3=0°0.0550.105 η3=20%, φ3=90°0.0680.102 η5=20%, φ5=90°0.0710.265 η5=20%, φ5=0°0.0700.285
考虑取向硅钢在不同阶次及不同相位谐波激励条件下的磁滞回线，并将其与相应的实测回线进行对比，对比结果如图6和图7所示。可以看出在谐波激励条件下，随着谐波的阶次和相位不同，磁滞回线发生畸变并出现局部回环。对比计算与实测的回线发现，二者在较低磁感应强度下吻合较好，但在较高磁感应强度下效果欠佳。在较高磁感应强度时，膝点以及回转点处的误差依然存在。
此外，通过对动态Bouc-Wen模型计算结果进行积分求解，得到样品在不同谐波激励条件下的损耗计算值，并将其与实测数据进行对比，对比结果见表7。对比可得，谐波激励条件下的动态Bouc-Wen模型损耗计算结果与实测结果接近，误差最大为5.75%，验证了本文改进模型的正确性与有效性。
图6 谐波激励下实测与计算磁滞回线对比(Bm=0.7T)
Fig.6 The comparison of measured and calculated hysteresis loops under harmonic excitation (Bm=0.7T)
图7 谐波激励下实测与计算磁滞回线对比(Bm=1.5T)
Fig.7 The comparison of measured and calculated hysteresis loops under harmonic excitation (Bm=1.5T)
表7 谐波激励条件下的总损耗计算值与实验值对比
Tab.7 The comparison of calculated and experimental total loss under harmonic excitation
激励条件Bm/T损耗/(J/m3)相对误差(%) 实测计算 η3=20%, φ3=0°0.719.9220.402.41 1.596.0896.620.56 η3=20%, φ3=90°0.721.6121.690.37 1.5102.5097.16-5.21 η5=20%, φ5=90°0.729.6529.09-1.89 1.5139.74131.71-5.75 η5=20%, φ5=0°0.728.5228.760.84 1.5133.97127.37-4.93
在2.3节所述改进后的Bouc-Wen模型基础上，针对直流偏磁激励下对磁特性的影响，进一步对式（12）进行改进。改进后的形式为
（17）
式中，ζ为附加阻力的阻尼系数，由该工况下的实验数据识别得到。
将直流偏磁的影响看作是对畴壁移动和磁畴磁矩旋转施加的额外阻力。为便于计算，采用一个偶函数来模拟直流偏磁引起的附加阻力，形式为式（17）的最后一项。
图8展示了准静态下含直流偏磁分量Hdc=20A/m激励条件下磁滞回线的计算结果与测量结果对比，证明本文所提出模型能够实现材料在直流偏磁激励下磁滞特性的准确模拟。
图8 准静态偏磁激励条件下磁滞回线计算结果与实测结果对比
Fig.8 The comparison between the calculated and measured hysteresis loops under DC bias excitation
1）利用经典Bouc-Wen模型，表征畴壁在移动过程中受到的由于畴壁能增加引起的阻力和材料缺陷引起的滞回阻力。另外，引入表征磁畴磁矩旋转项对原始模型进行改进。改进后的模型能很好地模拟取向硅钢片准静态磁化时的饱和磁滞回线。
2）考虑动态损耗分量对磁滞回线的影响，引入由涡流对畴壁的阻力项，并考虑了该项阻尼系数的频率效应，将模型扩展为动态模型。改进后的动态模型可很好地模拟不同频率正弦激励下的磁滞特性。
3）应用改进后的动态Bouc-Wen模型模拟了包含不同谐波激励条件下磁特性，分析比较了动态分量对于小回环模拟的重要性。通过对比计算结果与实验测量结果，验证了所建立的动态Bouc-Wen模型的正确性和有效性，并初步验证了该模型在直流偏磁激励下的模拟效果。
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An Improved Bouc-Wen Based Hysteresis Model under Harmonic Magnetization
Abstract The excitation current of electrical equipment is distorted by harmonic components, which causes a significant increase in iron loss. This paper analogizes the complicated energy change and minimization of total energies during the domain wall motion to the driving force and simplifies the pinning force hindering the domain wall motion as viscous friction. Therefore, the nonlinear hysteretic mechanics Bouc-Wen model is adopted to characterize the hysteresis phenomenon. The initial model is modified by adding new terms that characterize the rotation of domain magnetization. The modified model is used to simulate the hysteresis loops under quasi-static magnetization. The model is further modified to a dynamic model by taking account of the resistance caused by the eddy current, then the loops under sinusoidal excitation with different frequencies and high order harmonics are simulated. The variation and frequency effect of parameters representing the damping coefficients under different excitations are discussed. Finally, the comparison between the measured and calculated results shows good agreement, and the accuracy of the proposed model is validated.
keywords：Electrical silicon steel, harmonic, Bouc-Wen model, hysteresis characteristic, loss characteristic
DOI:10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210994
中图分类号：TM41
国家自然科学基金（51777055,51690181），河北省自然科学基金创新群体项目（E2020202142）和河北省重点研发计划项目（20311801D）资助。
收稿日期 2021-07-01
改稿日期 2021-09-14
李永建 男，1978年生，教授，博士生导师，研究方向为工程电磁场与磁技术、三维磁特性测量与建模。E-mail：liyongjian@hebut.edu.cn（通信作者）
利雅婷 女，1997年生，硕士研究生，研究方向为工程电磁场与磁技术。E-mail：liyatingtt@163.com
（编辑 李冰）