图1 波能转换器的工作原理
Fig.1 Wave energy converter’s schematic diagram
摘要 在研究海洋波浪能量收集的过程中，需要建立相应的理论模型来降低工程成本，提高研发效率。针对波能转换器在收集波浪能时能量的转换效率不高这一问题，采用无槽Halbach直线发电机作为装置的二级能量转换机构来优化磁场分布，提高能量的转换效率。该文描述Halbach直线发电机的拓扑结构，引入磁矢量势能理论推导出发电机性能的表达式，由此建立直线发电机的综合分析模型。基于此模型，使用模拟退火算法求全局最优解，得到一组直线发电机设计参数，包括永磁体尺寸和绕线线圈的数据。计算结果表明，理论模型解析解的峰值功率与模拟退火算法的结果相差约为3.6%。基于优化后的参数，确定了Halbach直线发电机的设计，为样机实验的验证提供了数据支撑。
关键词：波能转换器 Halbach直线发电机 模拟退火算法 优化设计
随着世界经济的发展，人口的增加，社会对能源的需求日益增长，各国相继开展了新能源领域的研究。海洋波浪能由于具有能量密度高、分布面广并且取之不尽的特点，受到了越来越多的关注[1]。英国建成了奥克尼波浪发电试验场，完成了功率达2MW的波浪发电设备的研发；苏格兰的一家公司设计了独特的筏式波浪能转换器海蛇，发电量接近1MW；瑞典某公司设计了一种单体式直线发电机垂荡浮子装置，可实现20kW的功率输出；美国某公司研发的双体式浮子装置，可由两个振荡浮子的相对运动产生电能[2-4]。我国对海洋波浪能发电的研究主要集中于固定式和漂浮式波能转换装置[5]。装机容量3kW的珠海市万山岛电站试发电成功后，又相继建成了20kW岸式波浪电站、8kW摆式波浪电站、100kW岸式振荡水柱电站以及30kW摆式波浪电 站[6-8]。目前海洋波浪能源的研发方向主要集中在大型的海洋波浪发电工程，在小型海洋能源设备方面投入的研究较少[9]。本文提出了一种无槽式Halbach直线发电机的理论模型来分析波浪能到电能的转换，用于小型海洋能源设备的研究，致力于为海洋浮标监测系统的建立提供能量。
在进行波浪能量转换器的设计时，一些关键参数需要进行优化。研究发现，以下参数对发电机的性能有直接的影响，即电机中永磁体的长度和厚度、中心轴的半径、空气隙的宽度、绕组导线的直径以及海浪的速度[10-11]。用来解决若干参数的组合优化常用的全局优化算法有遗传算法、蚁群优化算法和模拟退火算法[12]。文献[13]采用遗传算法解决Halbach直线发电机优化设计问题，对电机的关键变量优化后，电机性能得到提升。文献[14]使用蚁群算法解决MW级风力发电机的优化设计，该发电机为Halbach永磁体同步发电机。为了提高功率密度，M. Markovic采用名为ProDesign的软件进行优化设计[15]，但该软件仅返回一个输出参数。S. Kirkpatrick等将退火思想引入组合优化领域，对组合优化问题和统计力学中的热力学平衡问题进行类比，模拟退火过程以获得近似全局最优解来解决大规模组合优化问题[16]。与遗传算法和蚁群算法相比，模拟退火算法能够在优化的精度和效率之间达到一个平衡。在求解组合优化问题时，模拟退火算法能概率性地跳出局部最优解并最终趋于全局最优。所以本设计将采用模拟退火算法对Halbach直线发电机的关键参数进行优化。
捕获海洋波浪能有多种方式，常见的有激荡水柱式、液压传动式和直线发电机直驱式[17-18]。三种波能转换器的工作原理如图1所示，其中，直线发电机直驱式利用发电装置不同部件间的相对运动实现发电。这种直接驱动的能量转换方式减少了能量转换的中间环节，降低了过程中的能量损耗，能够提高能量转换效率。本设计将采用Halbach直线发电机作为二级能量转换机构。
图1 波能转换器的工作原理
Fig.1 Wave energy converter’s schematic diagram
由于海洋波浪发电的特殊性，在研发具体的设备之前，将建立完整全面的理论模型以期节约工程成本并提高研发效率。文献[19]表明，当波浪载荷为4
时，功率输出仅为3kW，原因在于，传统直线发电机一般使用开槽电枢以减少空气磁阻，提高发电效率。但是开槽电枢中周期性变换的齿槽力（磁阻力一种）会阻碍转子与定子间的相对运动，从而给系统运行带来不稳定性。图2为对几种磁路进行磁场分布仿真计算的结果。通过对比发现，无槽电枢的设计方案能够有效削减磁阻力，增大系统的稳定性。Halbach永磁体（Permanent Magnet, PM）阵列不仅能够优化磁场分布，还能减小磁阻力，提高能量的转换效率。
图2 磁场分布的有限元计算结果
Fig.2 Finite element calculation results of magnetic field distribution
Halbach直线发电机的拓扑结构如图3所示。图中，rs为直线电机中心轴半径，rp为中心轴半径与永磁体宽度之和，ri为直线电机的半径（不包含硅钢壳的厚度），g为空气隙的宽度，h为单相线圈的高度。
图3 Halbach直线发电机的拓扑结构
Fig.3 Halbach linear generator’s topology
根据法拉第电磁感应定律，系统产生的感应电动势应为
（1）式中，
，线圈中感应电动势的大小与线圈匝数
成正比，与单位时间内磁通量的变化率成正比[20]。根据各区域的磁特性，将其分为空气隙区域、永磁体区域和电枢区域三个区域。磁体和自由空间域的磁场强度为
（2）
式中，
，
为真空中的磁导率，
为磁体的磁导率；M为永磁体的剩余磁化磁场强度；H为磁场强度。由于磁场是有旋度无散度场，磁感应线总是闭合的[21]，可表述为磁感应强度的散度恒为零，即
。根据矢量分析理论，引入矢量v，则
，由麦克斯韦方程组可得
（3）式中，BM为被磁化的磁感应强度；下标1、2、3分别为所对应的空气隙区域、永磁体区域和电枢区域。
通过傅里叶变换可求得Halbach阵列区域被磁化的磁感应强度为
（4）式中，
和
分别为在圆柱坐标系中Halbach PM阵列的径向磁感应强度和轴向磁感应强度；
为第
次谐波分量的空间角频率，
；
为永磁体的长度。
由于矢量v在圆柱坐标系中仅有一个分量
，那么可得方程组为
（5）在区域的边界处，连续性应满足
（6）
假设电枢的磁导率趋于无穷，则空气隙区域和电枢区域的磁通密度为0。联立边界条件和区域方程组求解，可得对应区域的磁通密度为
（7）其中
式中，I和K分别为第一类和第二类修正贝塞尔函数；C为贝塞尔函数的系数，则发电机的每相线圈的磁链和反作用力分别为
（8）
（9）若将式（9）中的
视为与阻尼相关的项，可以得到Halbach直线发电机动力输出（Power Take- Off, PTO）系统的等效阻尼系数为
（10）
式中，V为海浪的速度。假设线圈的感应电动势有效值为E，那么发电机的输出电压和输出功率分别为
（11）式中，
为系统的内部阻抗；
为系统的外部负载。当满足条件
时，可得到Halbach直线发电机的最大输出功率。
通常认为线圈中铜线的直径将对直线发电机的输出电压和功率有直接影响。原因在于在相同的绕组空间中，选择的线规不同，对应的线圈匝数将不同。线圈匝数的增加不仅会增大系统内部阻抗，也会产生更大的感应电动势，因此有必要找到一个最佳的铜线直径，通常使用美国线规（American Wire Gauge, AWG）使电机功率输出最大化。
在相同的绕组拓扑下，匝数与铜线直径的二次方成反比，可表示为
，
为线圈的横截面积，
为铜线的直径。在保持其他参数不变时，线圈的感应电动势仅取决于绕组匝数。线圈的总电阻可以表示为
（12）式中，
为线圈半径；
为相对电阻。因此，线圈的输出功率可表示为
（13）
由式（13）可知，电机的输出功率与铜线的直径无关，即与AWG的选择无关。但不可否认的是，绕线线圈的线径对直线电机所能承受的电流有着重要的影响，这对于样机的验证实验至关重要。
根据第2节建立的模型可知，Halbach直线发电机的永磁体厚度
是直接影响线圈磁链大小
和反作用力值的参数。为了获得与直线电机输出功率的关系，在永磁体长度
、中心轴半径
、空气隙的宽度
和AWG都为给定常数时，得到如图4所示的Halbach直线发电机的输出功率与永磁体厚度之间的关系，图中，lt=20mm，rs=20mm，lair=26mm，AWG=22。由图4可知，随着磁体厚度的增加，直线电机的峰值功率呈单调递增趋势。究其原因，随着永磁体尺寸增大，空气气隙中的磁通密度分布得到增强，磁通势增大，产生的感应电动势随之增大，相应的输出功率也增大。
图4 Halbach直线发电机的输出功率与永磁体厚度之间的关系
Fig.4 Relationship between the peak power of Halbach linear generator and thickness of the permanent magnet
Halbach直线发电机的输出功率与中心轴半径之间的关系如图5所示。由图5可知，当lt、lm、lair和AWG为指定常数时，即lt=20mm、lm=20mm、lair=26mm、AWG=22，随着rs的增加，直线电机的峰值功率亦呈单调递增趋势。
图5 Halbach直线发电机的输出功率与中心轴半径之间的关系
Fig.5 Relationship between the peak power of Halbach linear generator and radius of the central shaft
由图4和图5可知，随着和的增加，直线发电机的等效阻尼系数均呈单调递增趋势。直线电机中心轴半径和永磁体厚度的尺寸都变大后，磁通势随之变大，气隙中的磁通密度分布得到增强，磁场强度增大，对应的等效PTO阻尼系数亦随之增加。需要注意的是，随着电机尺寸的增加，会出现结构变得笨重，增加后期的加工成本，使得装机难度变大等一系列问题。因此，和的取值并非越大越好，要结合实际的需求考虑。
为了验证直线电机的理论模型，对永磁体阵列的磁通密度分布分别进行有限元的仿真计算和解析计算，如图6～图8所示。
图6 PM阵列在
轴上的磁通密度分布
Fig.6 Magnetic density distribution of PM arrays on z axis
图7 PM阵列在
轴上的磁通密度分布
Fig.7 Magnetic density distribution of PM arrays onaxis
图8 Halbach直线发电机PM阵列的磁场分布
Fig.8 Magnetic density distribution of PM arrays for Halbach linear generator
由图6可知，PM阵列在轴上磁通密度分布的最大值为0.75T；由图7可知，PM阵列在轴上的磁通密度分布的最大值可达1.4T，这种设计较好地抑制了轴的磁通密度分布。Halbach直线发电机磁力线分布和磁场分布如图8所示。通过对比发现，有限元的仿真结果和文中所建立模型的解析计算结果基本吻合。
模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm,SAA）采用Metropolis接受标准，并使用由4个参数组成的冷却进度表控制算法的进程。从某一确定的初始值开始执行迭代过程，根据目标函数生成新解，以某一概率接受或者放弃新解，直到求得目标函数的最值。冷却进度表的4个控制参数为初始值
、结束值
、马尔可夫链的长度
和衰减函数
。
根据D. S. Johnson等的实验结论[22]，将的值定义为
。由M. Chams等所使用的停止标准[23]表明，只有当控制参数与其初始值相比微不足道时，才能获得高质量的最终解。因此，将控制参数的结束值定义为0.01。在Matlab环境下，经过多次仿真将马尔可夫链长固定为200。对于控制参数的衰减函数，减小衰减量可以造成算法进程迭代次数的增加，因此算法进程将访问更多的邻域，搜索更大范围的解空间，返回更高质量的最终解，当然也会花费更多的时间。一个常用的控制参数衰减函数是
，这个衰减函数由S. Kirkpatrick等提出。文献[24]中衰减函数的参数
；文献[25]中将此值定义为0.99；文献[26]则用“以小为宜”描述控制参数衰减函数的选取原则。在不影响CPU时间合理性的前提下，为了兼顾最终解的质量，本设计将的值定义为0.95。模拟退火算法的流程如图9所示。
图9 SAA流程
Fig.9 Flow chart of SAA
Halbach直线发电机的峰值功率如图10所示。由图10可知，Halbach直线发电机的峰值功率为508W。
图10 Halbach直线发电机的峰值功率
Fig.10 The peak power of Halbach linear generator
SAA算法在Matlab环境下进行，目标函数的执行次数大约为两万次，最优解被接受的次数约为8 500次，恶化解被接受的次数约为5 440次。随着程序的运行，接受恶化解的概率逐步下降，恶化解被接受的次数随之减少。SAA算法结果如图11所示。由图11可知，Halbach直线发电机最大输出功率为527.2W。因此，理论模型的解析解与SAA算法的数值相差19.2W，约为3.6%。二者的误差在可接受的范围内。图11中，运行次数为19 600，最大功率为527.2W，空气隙宽度为6mm，AWG=22，lt=390mm，lm=24mm，rs=20mm。
图11 SAA算法结果
Fig.11 Results of simulated annealing algorithm
对应于全局最优解，发电机参数的设计尺寸见表1。
表1 Halbach直线发电机的设计参数
Tab.1 Design parameters of Halbach linear generator （单位: mm）
参 数数 值 空气隙的宽度6 4段Halbach PM阵列的长度390 中心轴半径20 磁铁厚度24 线圈的高度67
Halbach直线发电机实验平台如图12所示。永磁体阵列由绕在铝制中心轴上的环形磁铁组成，其内径为40mm，外径为80mm。三相线圈由硅钢包裹，每相线圈的内径为92mm，外径为132mm，高度为67mm。通过线性电动推杆模拟海浪的作用力，其速度可达1.2m/s。样机中位移传感器用于测量相对运动并向电动推杆提供反馈信号，反作用力的大小通过力传感器测得。
图12 Halbach直线发电机实验平台
Fig.12 Halbach linear generator’s test-rig
当负载与线圈的阻抗匹配，系统速度为0.53m/s时，输出的平均峰值功率为142W；系统速度为1m/s时，预计总输出功率为570W。实验平台的等效阻尼系数为1 102.8N/m，阻尼系数的计算结果为1 103N/m，这表明所建立的理论模型有效地描述了动力输出系统的性能，可用于结构优化。
本文描述了Halbach直线发电机的拓扑结构，构建了其理论模型，基于该模型计算出电机的最大输出功率为508W。选择了几个对发电机的磁通密度分布产生影响的参数进行分析，得到了这些参数和电机输出功率的关系。使用SAA得到了一组电机的设计参数及其最大输出功率，功率可达527.2W。利用得到的电机参数制作了样机，考虑到安全因素进行了部分标称速度的验证。本设计中Halbach直线发电机气隙磁通密度的理论值为1.4T，有限元计算的结果为1.39T，二者基本匹配。值得注意的是，过大的磁场密度会导致电机的过度饱和，因此在样机的制作过程中要注意永磁体的用量和尺寸。
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Optimization Design of Halbach Linear Generator with Simulated Annealing Algorithm
Abstract It is necessary to establish a corresponding theoretical model to save engineering cost and improve research efficiency during studying energy harvesting of ocean wave. Because of low energy conversion efficiency existed in capturing ocean wave energy by wave energy converter, the mechanism of slotless Halbach linear generator was adopted as the secondary energy conversion device to optimize magnetic field distribution of the generator in this paper. The topology of Halbach linear generator was defined, then the magnetic vector potential theory was adopted to deduce the expressions of Halbach linear generator’s performance. Finally, a comprehensive analysis model of the generator has been established. With the derived model, a global optimal solution was gained by simulated annealing algorithm (SAA). Meanwhile, the linear generator design parameters have been obtained, including dimensions of permanent magnet and winding coil. The difference between the linear generator peak power of the analytical solution and SAA result is about 3.6%. Based on the optimized parameters, the design of Halbach linear generator is determined, which provides data support for the verification of the prototype experiment.
keywords：Wave energy converter, Halbach linear generator, simulated annealing algorithm, design optimization
中图分类号：TM359.4
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200442
广东高校省级重点平台和重大科研项目（2018KQNCX344，2018KQNCX345）、广东高校省级重点平台和重大科研项目（2019KQNCX196）资助。
收稿日期 2020-05-05
改稿日期 2020-08-01
刘 娜 女，1984年生，硕士，讲师，研究方向为振动能量的收集、直线电机。E-mail: 43736176@qq.com（通信作者）
谭亦旻 男，1989年生，博士，研究方向为非线性振动、智能材料应用等。E-mail: yimin.tan@hotmail.com
（编辑 陈 诚）