0 引言
磁悬浮列车作为一种新型的无接触地面轨道交通运输工具，近年来受到广泛关注[1]。与传统轨道交通技术相比，其运行噪声低、安全性高、爬坡能力强[2]。更重要的是，轮轨列车在时速 500km/h以上时，车轮几乎失去了与铁轨的摩擦力，也就失去了动力，而磁悬浮列车速度可以超过600km/h[3]。
磁悬浮列车的牵引依靠直线电机，根据工作原理分为直线感应电机（Linear Induction Motor, LIM）和直线同步电机（Linear Synchronous Motor, LSM）两种。LIM结构简单、成本低，但速度也低，常采用短初级结构，适用于中低速磁浮列车，一般不超过200km/h。LSM运行速度与磁场速度相同，效率高，可控性好，常采用长电枢（长定子）结构，适用于高速磁浮列车。对于LSM，长定子表面均匀开设用于放置电枢绕组的开口槽，具有较大的齿槽效应。齿槽效应不仅会引起推力与悬浮力的波动，还会影响动子励磁磁极，一方面在励磁绕组中产生感应电压，给绕组绝缘产生压力；另一方面在励磁铁心中产生铁耗，引起励磁磁极温升升高，严重时会危害系统正常运行。因此，研究齿槽效应对电机性能的影响及削弱方法非常必要[4-11]，已有一些学者进行了相关研究。
文献[12]对直线伺服电机齿槽效应造成的法向力波动进行了研究，采用麦克斯韦张量法推导解析表达式，再对齿顶宽度和极弧系数进行优化，可以较好地削弱齿槽效应对法向力波动的影响。文献[13]通过解析的方法计算了长定子LSM的磁通密度，公式中的相对磁导率函数考虑了齿槽结构，励磁曲线由电流密度积分得出。文献[14]的思路与文献[13]相似，通过相对磁导率函数与励磁磁动势函数相乘得到气隙磁通密度，而且还考虑了定子分段对气隙磁导率函数的影响。文献[15]通过研究得出了齿槽效应是造成推力波动主要原因的结论，并比较了不同极槽配合下的齿槽脉振次数，得出脉振次数越高脉动幅值越小的结论。文献[16]对旋转电机的齿槽转矩进行了研究，提出基于槽口偏移的削弱方法，并提出偏移角度的确定公式，通过与有限元的对比，发现该方法可以有效地削弱齿槽转矩。文献[17]研究了通过斜极方式削弱齿槽效应，调整倾斜角度和步长，得到最大的电磁推力，并削弱推力谐波。可见，目前的研究主要针对削弱齿槽效应对推力波动与法向力波动的影响，但是其对电励磁LSM励磁磁极的影响研究还很少。
本文考虑齿槽效应，基于解析方法计算长定子LSM的气隙磁场，分析齿槽效应对磁场的影响，并进行了有限元验证。然后，基于有限元方法，分析了齿槽效应对推力波动与悬浮力波动、励磁绕组感应电压与励磁铁心损耗的影响，尤其是高速条件下的影响。
1 电机结构与磁场解析模型
图1所示为长定子LSM的结构示意图，图1a是电机一对极下的剖面图，图 1b是 LSM在车辆中的位置。长定子安装于轨道，长定子的铁心分段，每段铁心均匀分布开口槽，三相绕组为单匝集中整距绕组，采用波绕组结构。励磁磁铁（悬浮磁铁可称为次级）安装于车辆下方，为电励磁结构，励磁绕组绕在励磁铁心上，通入直流电。励磁磁铁采用模块化结构，每个悬浮模块包括 12个磁极，其中 10个为中间主磁极，2个为端部末磁极。主磁极极面比末磁极宽，且在极靴表面开有 4个小槽用于放置直线发电机绕组，采用单层绕组的模式，4个槽中2个为发电机线圈，两者之间采用串联方式[18]。
图1 长定子LSM结构示意图
Fig.1 Structure of the long-stator LSM
长定子与悬浮磁极在气隙磁场的作用下相互吸引，产生一个法向吸力，通常称为单边磁拉力，在该结构中把车辆吸向轨道，实现车辆悬浮，因此也称为悬浮力。气隙磁场还与电枢磁场相互作用产生水平推力，驱动车辆按牵引曲线运行。
为了分析齿槽效应对气隙磁场的影响，采用解析建模的方式。模型为一对极长度，且长定子与磁极为等极距结构，模型及其相关结构参数如图2所示，具体数值列在表1中。
图2 电机一对极模型结构示意图
Fig.2 Periodical structure of the LSM
模型假设如下：①电机铁心的磁导率无穷大；②分析区域在二维平面内，不考虑横向边端；③假设定子动子在x轴无限长，不计纵向端部效应；④定子为开口槽，且不考虑励磁磁极上的直线发电机。
表1 长定子LSM参数
Tab.1 The parameters of long-stator LSM
参 数 数 值铁心材料 M800—50A极对数 12磁极槽宽bms/mm 88磁极齿宽bmt/mm 170磁极极距τm/mm 258定子槽宽bss/mm 43定子齿宽bst/mm 43定子槽距ts/mm 86气隙长度g/mm 10稳态电枢电流Ia/A 400每对极电枢线圈匝数/Np 1额定励磁电流If/A 20励磁线圈匝数Np 270额定速度v/(km/h) 430导线材料 铝
1.1 磁导函数
二维坐标（x, y）固定在长定子上，将以A相绕组的中心轴线作为初始位置，以磁极极距τm为周期（τm = b m t + b ms ），如图2所示。根据电角度与x轴坐标位移关系，
则考虑次级开槽的气隙磁导为[13-14]
式中，θm为磁极的中心轴线与定子的中心轴线沿x方向上的电角度，初始时刻两者重合，即θm(t=0)=0，最大磁导率
以定子齿距ts为周期，可写出考虑初级开槽的气隙磁导为
式中，θs为定子的中心轴线与整体笛卡尔坐标系沿x方向上的电角度，本文中与系统的笛卡尔坐标轴重合即θs=0，最大磁导率
根据上述两个磁导方程，可以求出同时考虑初级和次级的气隙磁导方程为
由于长定子 LSM 的空载气隙磁场由励磁磁极提供，故磁极齿槽对气隙磁密影响不大，所以暂不考虑次级的开槽效应。因此，气隙磁导函数即为考虑初级开槽的气隙磁导函数 λ s(θ)，可以展开成周期为 2 τs = 6τn 的傅里叶级数，即
式中，定子槽数与磁极极对数的最小公倍数 ns=6。
1.2 气隙磁密计算
将磁极的中心轴线（与定子的中心轴线重合）视为磁极磁动势横坐标的零点，可以得到任意时刻磁极产生的磁动势，如图3所示。磁极磁动势函数为
式中，磁极的电角度
图3 磁极磁动势示意图
Fig.3 Magnetomotive force of the excitation pole
以 2τm为周期，励磁磁动势 Ff(θ,θs)可以展开成傅里叶级数为
式中，pm为次级极对数，pm=1时半齿宽电角度
长定子LSM为大气隙结构，可以假设磁路非线性，即分别求解励磁磁动势和电枢磁动势。实际上，电枢磁动势的值相对较小，所以可以忽略电枢磁场，认为励磁磁场即为气隙磁场。
根据磁动势和磁导可以求出励磁磁动势Ff()θ在气隙中产生的磁通密度，计算公式为
从定子上看，气隙中的空载励磁磁密Bf(θ,t)可以展开成傅里叶级数为
由于磁极运动，从定子上看，气隙中的空载励磁磁通密度可以分解成正向和反向两个基频磁场，其中正向与磁极同方向，即6k+j；负向与磁极反方向，即6k-j。当j=1, k=1时，齿槽效应在磁极中产生的6次脉振磁场，在气隙磁通密度表现为5次、7次谐波。
图 4显示了气隙磁通密度的解析结果与有限元结果的对比。可以发现，在该位置下，在磁极齿下的空气隙，当电角度等于 30°、150°、210°、330°时，即图中虚线圆圈标注的部位，定子槽部与磁极齿部相对，此时可以明显看到齿槽效应导致气隙磁通密度绝对值减小。同时，该区域解析解与有限元拟合度良好。在磁极槽下的空气隙区域，即电角度等于90°、270°附近时，有限元与解析解存在差异，这是由于槽中存在较大的漏磁，而解析计算中没有考虑，但是在该区域，定子齿槽对气隙磁导的影响比较小，由图4中可见，有限元和解析解都无法观测到齿槽效应。
图4 空载气隙磁通密度By（虚线圈为齿槽效应）
Fig.4 No load magnetic flux density By
对气隙磁通密度做快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT），结果如图5所示。由图5可见，气隙磁通密度的分量皆为奇数次，两种方法基波分量的幅值比较接近，仅相差8.7%。比较明显的谐波分量有5次、7次与11次、13次，其中5次、7次分量大。解析解与有限元略有差异，对于7次谐波含量（谐波/基波），解析解小于有限元结果，前者为25%，后者则为32%；而对于5次谐波，解析解稍大于有限元结果。这是由于解析解做了很多的假设，导致计算结果误差。
图5 空载气隙磁密By频谱图
Fig.5 No load magnetic flux density By spectra
1.3 推力波动分析
从图5中看出，因为气隙磁场中存在5次、7次谐波分量，其与定子电流相互作用，就会产生6倍次的推力波动。也可以从齿槽效应产生的推力波动次数公式看出[15]，其计算方法如下。
式中，LCM( )为求最小公倍数；极对数p=1；定子槽数Ns=6。由此可知，齿槽效应引起的推力波动次数为6倍次。图6是周期模型的推力FFT通过有限元计算方法得到的结果，推力的谐波分量都为6倍次，与理论分析相符。
图6 周期模型有限元推力频谱图
Fig.6 Thrust force spectra by periodic FEA model
2 不等极距对气隙磁密与力特性的影响
等极距结构齿槽效应对气隙磁通密度的影响较大，从而会对系统的推力与法向力性能造成影响，必须要采取措施削弱齿谐波。通常直线电机可以采用的方法有斜槽或斜极、分数槽、不等极距等方法[16]，磁悬浮列车的长定子LSM采用了不等极距的方法，因为该方法下电机结构简单，加工制造容易。该方法的原理是通过改变动子极距，使得动子每个磁极产生的齿槽效应电磁力相位不同，从而达到削弱整个电机推力波动的效果[19]。不等极距方法中电枢与磁极的极距相差不能太大，否则基波分量会下降较多。在现有的TR08中，长定子LSM的电枢、磁极的极距相差8.5mm，基本上为初级槽距的十分之一，即表1中的磁极极距增加为266.5mm, 其他参数与表1相同。
由于不等极距下解析计算不容易实现，因此基于有限元研究了采用不等极距后的性能，分析了齿槽效应的削弱情况，并重点分析了高速下齿槽效应的影响。
2.1 气隙磁通密度
图 7显示了不等极距下在定子看到的气隙磁通密度，并与等极距结构进行了对比。显然，两种结构气隙磁通密度中都含有丰富的气隙谐波，其中，5、7、11、13等奇数次谐波分量幅值较大。通过上节解析可知，5次、7次谐波会在次级励磁绕组中产生6次的感应电压，同理，11次、13次谐波会产生12次的感应电压。
图7 空载气隙磁密By频谱图
Fig.7 No load magnetic flux density By spectra
不等极距模型中，5次谐波幅值是基波的21%，7次谐波幅值与5次谐波幅值相等。在等距模型中，5次谐波幅值是基波的 14%，7次谐波幅值是基波的32%。此外，初级、次级不等极距会导致基波幅值略小于等距模型，图中可以看出减小了6.4%。但是不等极距对于 7次和 11次谐波的削弱作用是明显的，分别比等距模型减小了37%与61%。
2.2 推力与悬浮力
中高速磁悬浮的推力和悬浮力都由长定子 LSM产生，如果在任意功角情况下，调节一个变量势必引起另一个变量的变化。为了能够实现解耦控制，控制系统使气隙合成磁场轴线与悬浮磁极轴线正交，即定子直轴电流id=0，这样使电枢反应减到最小，可以使推力实现最大化，也可使系统的悬浮力与推力的相互耦合程度减到最小，控制可以分开调节。
由上文分析知，由于定子的齿槽效应，最终的推力会产生6倍次推力波动，这可以从有限元结果中看出。基于有限元模型，可仿真求得不等极距结构时，稳态运行一个周期内的推力，如图8所示。显然，在一个周期内，推力在平均值上下波动。对推力波动以 360°电角度为周期进行傅里叶级数展开，如图9所示。
图8 推力波形
Fig.8 Thrust force
图9 推力波形频谱图
Fig.9 Thrust force spectra
由图9可以发现，次数为6、12、18等6倍次谐波分量远大于其他次数的谐波分量。定量来看，6次、12次、18次谐波分量总和占所有谐波分量的96%，说明推力波动主要是由齿槽效应引起的。在实际应用中，磁浮列车由左右两侧轨道同时驱动，如果两侧的推力产生 180°的相位差，就能够有效减小推力波动。
悬浮力与推力波形类似，图10显示了一个周期内的悬浮力，图11为其频谱图。同理，6倍次谐波分量远大于其他谐波分量，6次、12次、18次谐波分量总和也占所有谐波分量的96%。
图10 悬浮力波形
Fig.10 Levitation force
图11 悬浮力波形频谱图
Fig.11 Levitation force spectra
对于常导中高速悬浮系统而言，悬浮方向是一个主动控制的非稳定平衡状态，气隙的减小会使悬浮力增加，从而使气隙将进一步减小。如果控制系统不能及时干预，就会发生车辆被吸到轨道上的故障，悬浮力平稳对系统稳定性非常重要。同样地，采用两侧初级铁心错位的方式可以削弱齿槽效应。
表2对比了等极距与不等极距下的力性能。推力和悬浮力的波动大部分由齿槽力构成，可以由峰峰值来表示。当采取初级次级不等极距后，推力和悬浮力的峰峰值分别下降了24%和42%，说明不等极距的方法能够有效减小推力、悬浮力波动。
表2 推力、悬浮力波动
Tab.2 The peak-peak value of the thrust force and the levitation force
等距 不等极距 下降率推力峰峰值/N 206 157 24%悬浮力峰峰值/N 394 227 42%
3 励磁绕组的感应电压
磁极以同步速vs稳态运行，励磁绕组与定子电枢行波磁场同步运动，相对静止。但是由于定子的齿槽效应，气隙磁导会有6倍次谐波，气隙磁场中的谐波会在励磁绕组中产生6倍次的感应电动势。感应电动势会给励磁直流电源引入高次谐波，影响电力电子装置，如果产生的感应电压过大，即在高速情况下，感应电压还有可能击穿励磁绕组，导致系统故障。
3.1 额定速度下
图 12是高速磁悬浮在额定速度 430km/h下的感应电压波形。在一个周期内，感应电压在0值上下波动，有效值为413V。图13是对感应电压进行傅里叶变换得到的，可以发现，感应电压主要由 6倍次谐波产生，其中，6次谐波的幅值为492V，12次谐波的幅值为 312V，18次谐波的幅值为 25V，这三个谐波分量总和占所有谐波分量的99%。
图12 励磁绕组中的感应电压
Fig.12 Back EMF of coil excitation
图13 励磁绕组中的感应电压频谱图
Fig.13 Back EMF of coil excitation spectra
3.2 不同速度
高速磁悬浮列车长定子LSM励磁绕组使用铝箔绕制，而铝箔的最大耐压约为 600V（连续工作制）和2 800V（短时工作1min）。为了更直观地表明齿槽效应在励磁绕组中产生的感应电压，计算了速度从 200～1 000km/h时的电压值，图14显示了600km/h和1 000km/h两个运行速度的值，并做了频谱分析，与现有速度430km/h进行对比，结果如图15所示。
图14 高速运行励磁绕组中的感应电压
Fig.14 Back EMF of excitation winding under high velocity
图15 三种速度下励磁绕组中的感应电压频谱图
Fig.15 Back EMF spectra of coil excitation at different velocity
在图14 a中，励磁绕组中的感应电压有效值达到了577V，未超过励磁绕组铝箔的耐压，但已经接近于允许值，所以如果速度进一步提高到1 000km/h，如图14 b所示，励磁绕组中的感应电压有效值为961V，已经超出了耐压值的允许值。图 15是对比三个速度下，励磁绕组感应电压的频谱图，可以发现，感应电压都由 6倍次谐波产生，主要集中在 6次、12次与 18次，这三个谐波分量大小占总谐波成分的99%。
图 16显示了不同运行速度下励磁绕组的感应电动势值。可以看出，感应电压随运行速度线性增长，利用线性公式进行拟合，拟合度良好。根据感应电压与速度的拟合公式可以得出，在前述的励磁铝箔耐压能力下，该直线同步电机连续工作的最大速度约为625km/h。
图16 不同运行速度下励磁绕组中的感应电压有效值
Fig.16 RMS value of back EMF of coil excitation at different velocity
4 励磁铁心的损耗
长定子LSM在同步稳态运行时，励磁绕组与定子行波磁场相对静止，理想情况下，励磁铁心内没有铁心损耗。但是由于定子的齿槽效应，气隙中会有6倍次谐波，因而励磁铁心会产生铁耗。励磁绕组在磁浮运行中连续工作，如果温升过高，可能会导致励磁绝缘损坏，危害系统正常运行。
图 17显示了 430km/h、600km/h与 1 000km/h速度下，不同谐波次数产生的励磁铁心损耗。在三种运行速度下，励磁铁心的损耗都主要由6倍次谐波产生，其中，6次谐波产生的铁耗远大于其他高次谐波产生的铁耗，这是由于齿谐波主要由6次谐波分量组成，当谐波次数越高，对应的齿谐波磁通密度锐减，从而导致更高频率下的铁耗较小。
图17 不同谐波次数产生的励磁铁心损耗
Fig.17 Iron loss of the excited magnets caused by harmonics
由于铁耗与频率正相关[20]，因此，当高速运行时，铁耗会显著增加。基于有限元模型，分析了从200～1 000km/h稳态运行速度下的磁场分布，在每个速度下利用磁滞环法求出励磁总铁心损耗，如图18所示。
图18 不同运行速度下的励磁铁心损耗
Fig.18 Iron loss of the excited magnet under different velocity
由图18中可见，励磁铁心损耗随速度的增加而增加，利用二次函数可以较好拟合增长曲线。可以看出，在时速1 000km/h的高速磁悬浮中，单位长度次级励磁损耗达到了2 047W/m，是时速430km/h的 4.4倍。在磁悬浮运行过程中，走行风是主要的散热途径。此时空气的物性常数普朗特数 Pr＜1，在 200km/h及以上的速度时，雷诺数 Re＞4×105，超过了临界雷诺数，故空气在经过电机气隙的时候为湍流。此时如果不考虑层流边界层的存在，即电机前端开始即为湍流边界层，可以用如下经验公式[21]计算膜系数h。
式中，k为空气的导热系数；l为电机的特征长度；Re为雷诺数，
其中，ρ为空气密度，v是相对运动速度，μ是空气的粘滞系数。
根据q=hAΔT求出传热速率，其中，常数A是矫正系数，ΔT是空气和电机的温差。由式（14）可知，风冷的冷却速率与速度的 0.8次方成正比，而热源增大速率与速度的2次方成正比，故电机在高速运行的情况下会导致温升增大，具体数值需要继续探究。
5 结论
本文采用傅里叶级数法建立了高速磁悬浮长定子LSM的解析模型，计算出气隙纵向磁通密度沿运动方向上的分布，并与有限元结果进行了对比。结果显示了齿槽效应对气隙磁通密度的影响，表明其在气隙磁通密度中产生 5次、7次谐波，该谐波磁通密度在推力与悬浮力则将产生6倍次的波动值。随后，基于有限元法对不等极距结构下的推力、悬浮力、励磁绕组感应电压、励磁铁心损耗进行定量计算，并得到以下结论：
1）齿槽效应在推力与悬浮力中产生 6倍次波动，波动规律性好。在磁悬浮列车中通过轨道两侧长定子的齿槽错位，就能够有效削弱齿槽效应。
2）励磁绕组感应电压随着速度增大线性增大，所以超高速运行下会对励磁绕组的绝缘产生很大的影响。
3）励磁铁心损耗随着速度增大呈二次方增大，而走行风的散热能力基本与速度的0.8次方成正比，所以超高速运行下次级的温升是必须考虑的问题。
研究将为常导磁悬浮列车在超高速运行下的性能分析提供参考。
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