0 引言
随着稀土永磁材料和交流伺服控制技术的不断发展,永磁直线同步电机（Permanent Magnet Synchronous Linear Motor, PMLSM）吸引了学术界和工业界越来越多的目光。PMLSM具有高推力、高速度、高效率、高加速度与高精度等优点，已成功应用于高档数控机床、半导体加工设备与高速物流等行业[1-3]。
双三相电机与三相电机相比，降低了电源的要求，可以采用更低电压标准的功率器件，系统的容错性好；磁动势及反电动势（Electromotive Force,EMF）波形大大改善；电机推力波动明显降低。因此研究双三相永磁直线同步电机非常重要[4-6]。然而，在直线电机中存在着由铁心不连续结构引起的边端效应和绕组开断引起的各相互感不对称等现象，因此在推力中存在特定频率的推力波动，降低了推力的平稳性[7-9]。
针对直线电机的铁心开断和绕组结构不对称特性，已有一部分学者对其进行了研究[10-20]。文献[10]分析了定子中不对称阻抗矩阵的表达式。文献[11]中通过减小品质因数的方法降低纵向边端效应的影响，但同时也会降低电机的性能。文献[12]采用定子、动子极距不等的方法来降低推力波动，推导出动子极距的公式。文献[13]基于磁场的分布，通过对气隙磁场的特性分析，从而对电感参数的变化规律进行解析的计算推导。文献[14]分析了边端效应对电机电磁推力中不同频率脉动的影响。文献[15]提出一种新型绕组，通过改变通电段极数，改善其互感的不对称程度。文献[16]指出绕线式动子可直接控制动子电流，通过控制动子电流对称，可抑制动子阻抗不对称产生的边端效应。文献[17-18]指出通过换位的方法，将三台电机的相序改变，从而产生三相的对称负载，消除三相电流中的不对称成分。文献[19]分析了由于绕组磁动势谐波分量与边端效应影响，导致两相圆筒直线电机的实际电感与理想电感之间存在差异。文献[20]使用遗忘因子递归最小二乘算法在线辨识电机的等效d、q轴电感，补偿边端效应的影响。
本文首先对推力波动进行分析，推力波动主要分为空载和负载推力波动。其中空载推力波动主要可分为端部力和齿槽力。齿槽力是由于定子开槽引起的；端部力是由于初级铁心开断引起，通过优化端部齿的尺寸，可以改善。文中比较了优化前后电机空载反电动势的对称性和电磁性能。负载推力波动是由各相电感不平衡导致，而电感数值大小和匝数有关，所以本文提出不等匝数的绕组结构，通过改变每相绕组匝数，提高电感的对称度，从而降低电机的推力波动。最后，通过施加三相对称电压源的有限元仿真计算和样机测试验证了模型的准确性。
1 电机结构与边端效应
双三相永磁直线电机（Dual Three Phase Permanent Magnet Linear Synchronous Machine,DTP-PMLSM）结构示意图如图1所示，具体参数见表 1。其定子铁心由硅钢片叠压而成，定子绕组为两套相差 30°电角度的三相双层集中绕组，分别为A1、B1、C1和 A2、B2、C2，其中A1相绕组和A2相绕组相差30°电角度。动子由背铁和永磁体构成。当电枢绕组接入三相对称电源时，便产生电枢磁场，同时永磁体也会产生励磁磁场，二者相互作用产生推力。
图1 双三相永磁直线电机结构示意图
Fig.1 Structure diagram of the DTP-PMLSM
表1 双三相电机结构参数
Tab.1 Structure parameters of DTP-PMLSM
参数 初始值极数 11 17.5 8.7槽深hp/mm 25背铁厚度hs/mm 10初级轭部厚度hbi/mm 16气隙长度δ/mm 1永磁体剩余磁通密度/T 1.25永磁体厚度hspm/mm 4永磁体极距τ/mm 19.09永磁体长度wypm/mm 16.1左端边端齿宽wqat/mm 7左端边端槽宽wqas/mm 4.7右端边端齿宽what/mm 7右端边端槽宽whas/mm 5槽数 12额定速度/ (m/s) 0.85每槽导体数 190初级长度/mm 210齿槽长度lp/mm齿宽wpt/mm
在不考虑外界干扰因素和安装摩擦力的情况下，由于直线式结构引起的推力波动主要有两个分量：空载推力波动和负载推力波动。其中空载推力波动分为端部力、齿槽力和空间谐波引起的推力波动。端部力是由于动子铁心开断形成的端部对磁极产生的铁磁吸力；齿槽力是由于定子开槽部位对磁极产生的铁磁吸力。这两个力都是关于动子位置的函数，是在没有电枢电流时求得，其中齿槽力和空间谐波引起的推力波动幅值大小只有不到端部力幅值大小的10%，本文忽略；而负载情况增加了电枢电流，此时增加的负载推力波动主要是由于电枢电流不平衡、电枢电流的谐波成分、电枢电压不平衡、电枢电压的谐波成分等引起，前者是主要因素，其是由绕组空间位置不对称引起的电感不对称所产生。因此，动子铁心开断形成的边端效应与由绕组空间位置不对称引起的电感不对称是推力波动的主要分量。
2 端部优化
2.1 不等尺寸的边端齿优化
边端效应主要与端部齿的磁路有关系，虽然改变电机的端部齿宽来降低推力波动是传统的优化方法，但是在工程中也是最容易实现的。然而本文通过研究空载反电动势的对称性来显示出边端效应对推力波动的影响。由于左端边端齿和右端边端齿相对永磁体的位置不同，因此采用的不等尺寸边端齿优化能够更好地削弱推力波动。
采用有限元计算，优化图1所标识的初级左端边端齿宽wqat和右端边端齿宽what，得到对应的推力波动大小Trip如图2所示。图2中，Trip为推力波动峰峰值与平均推力的比值，其中常规结构的左右两边端齿宽相等。
图2 边端齿优化
Fig.2 Optimization of the auxiliary teeth
当左端边端齿宽和右端边端齿分别为6.4mm和6.3mm时，电机推力波动Trip最小为3.51%。优化前的推力波动Trip为5.6%，相对下降37.3%。优化前后的推力曲线如图3所示，优化前推力频谱分析结果如图 4所示。可以看到，其主要的谐波为 2、4、6、8…次谐波。各主要谐波中2次最大，通过优化边端齿之后，大大地削弱了2次谐波幅值。
图3 优化前后推力波形
Fig.3 Waveforms of the thrust force after optimization
图4 优化前后推力频谱分析
Fig.4 Spectra of the thrust force after optimization
2.2 空载反电动势的影响
电机的电枢压降主要包括三部分：电阻压降、电抗压降和空载反电动势。其中空载反电动势的不平衡会直接影响电机的性能，可以通过优化电机的边端齿尺寸改善磁路，从而降低反电动势的不对称程度。
在边端齿优化的参数中，选择10个推力波动逐渐减小的点，如图5的雷达图所示。随着电机推力波动逐渐减小，能清晰直观地看出A1、C2相电压幅值逐渐增加，其余四相电压幅值基本影响不大。当左端边端齿宽和右端幅值齿宽为最优值 6.4mm和6.3mm时，如图6所示，六相电压逐渐趋于平衡，彼此间幅值差距不超过0.1V。
图5 反电动势随着推力波动示意图
Fig.5 Back-EMF variation with the thrust ripple
图6 优化前后反电动势波形示意图
Fig.6 Back-EMFs after optimization
2.3 电枢电流的影响
由于本文主要讨论的是直线电机的不对称问题，故施加三相对称电压作为激励，就能考虑电枢电流谐波对电机性能的影响。当该双三相永磁直线电机施加三相对称电压时，端部齿优化前后 A1相的电枢电流波形如图7所示，其中A1代表常规结构的A1相电流，A1'代表端部优化结构的A1相电流。
图7 优化前后电流波形
Fig.7 Waveforms of the current after optimization
从图7中发现优化前后，电枢电流的正弦性都较好。为了进一步分析电流谐波含量，将其进行频谱分析，结果如图8所示，优化后的基波分量略微增大，谐波的幅值都有一定的削弱。
图8 优化前后电流频谱分析
Fig.8 Spectra of the thrust force after optimization
2.4 电感的影响
对于双三相永磁直线电机来说，端部磁路同样影响电机的自感和互感。在磁路不饱和情况下，电机的自感主要与绕组匝数和磁阻有关，即
式中，NS、iS、ΛS、RS分别为绕组匝数、电枢电流、磁导和磁阻。由式（1）可知，自感与绕组匝数二次方成正比，与磁阻成反比。由于直线电机铁心不连续，磁路路径不同从而导致直线电机端部位置磁阻与正常磁槽位置不一样，从而导致每相电感不平衡。
优化前后自感曲线如图9所示，其中 LA 1A1代表常规结构的A1相自感， LA1′A1′代表端部优化结构的A1相自感，A1和Al′绕组在电机的左端部位置，C2和 C2'绕组在电机的右端部位置，因此 A1、A1′、C2、C2'和其他四相自感不一样。C2和 A1的电感约为30.9mH左右，其余四相的自感约为29.6mH。在优化端部边端齿尺寸后，A1和C2相自感的幅值大小无明显变化。
图9 优化前后自感曲线
Fig.9 Waveforms of the self-inductances after optimization
电机自感的不对称主要是由于每相磁阻不对称造成的，然而互感不对称因素是绕组的空间位置排布不一样。优化前后互感曲线如图10所示。由图10可知，在 Y轴正上方的是 A1A2、B1B2、C1C2和A1'A2'、B1'B2'、C1'C2'之间的互感，B1B2 和 B1'B2'之间的互感略大于 A1A2、C1C2、A1'A2'、C1'C2'之间的互感，然而A1A2、C1C2和A1'A2'、C1'C2'互感差不多相等。在Y轴负方向下方的四个电感值相等，都是非端部绕组之间的互感，平顺性也比较好，所以端部位置绕组A1、C2相耦合的互感与两个中间位置相耦合的互感不一样，造成了互感之间的不对称。
图10 优化前后互感曲线
Fig.10 Waveforms of the mutual-inductances after optimization
综合分析，互感数值大小为 1.70～1.76mH，自感约为 29.6～30.9mH，两者数值相差甚远，自感的不对称性可能对电机性能影响更大。
3 绕组优化
由图 9可得，双三相电机中，每相的自感LC 2C2 =LA 1A1＞ LA 2A2 = LB 1B1 = LB 2B2 =LC1C1。 在 电 机不饱和情况下，自感的大小和绕组匝数二次方成正比，所以可以通过调整绕组匝数来抑制电感的不对称性。在结构上，A1相与C2相位于两端端部，因此改变这两相绕组的匝数，就能够使这两者电感与其余四相趋于平衡，称为不等匝数结构。改变绕组匝数固然也会使与A1、C2耦合的相互感减小，然而互感的数值远小于自感，所以A1、C2匝数的稍微改变对互感的影响可以忽略不计。
理论上来讲，双三相电机中六相绕组都可以改变匝数，达到最优的匝数值，然而六个参数的计算比较复杂，所以要考虑减少参数。由绕组结构分析可得最需要调整的是两端相自感，即A1和C2相。由图1电机模型可以看出，B1和B2相在电机的中间位置，保持190匝不变，先考虑优化A1、A2、C1和 C2相的绕组匝数。取得最优值，再去调校 B1和B2相的绕组匝数，分组优化绕组匝数，降低计算难度。
通过有限元计算，A1、A2、C1、C2相匝数的优化结果如图11所示，当A1、A2、C1、C2相线圈匝数分别等于188、189、186和187时，电机的推力波动最小，然后再去调校B1、B2相的绕组匝数。同样，B1、B2相匝数的优化结果如图12所示，当B1、B2相绕组匝数分别等于190和188，此时电机的推力波动为 2.43%，电机推力为 304.4N。因此，通过端部优化与采用不等匝数绕组结构，该直线电机的推力波动明显下降。
图11 A1、A2、C1、C2相绕组匝数优化推力波动
Fig.11 Thrust force ripple variation with the optimization of the phase A1、A2、C1、C2
图12 B1和B2相绕组匝数优化推力波动
Fig.12 Thrust force ripple variation with the optimization of the phase B1 and B2
4 不等匝数结构电磁性能
4.1 绕组电感的对称性
根据有限元模型，通过磁链和电流可以计算得到上述优化方案的自感和互感，如图13和图14所示。图中的A1'是端部优化结构的A1相，A1"是不等匝数结构的A1相。由图13可得，将A1"和C2"相的绕组匝数设置为不相等之后,其电感值都趋于29.6mH，其中 B2"和 C1"自感减小，由于其绕组匝数减少导致，同样的在图14中 LC 1′C 2′和 LB2′C′之间的互感减小，也是绕组匝数减少导致。
根据上面计算出的自感互感，观察电感的平衡程度。此处定义一个电感不平衡系数kL，表达式为
图13 不等匝数结构自感
Fig.13 Self-inductance of the unequal turn structure
图14 不等匝数结构互感
Fig.14 Mutual-inductance of the unequal turn structure
式中，LS、LSV分别为相绕组自感的平均值和周期性结构中绕组自感的平均值；MM、MMV分别为两相绕组的互感的平均值和周期性结构中绕组的互感平均值。
此处方差公式中的期望值采用周期性结构中的自感平均值和互感平均值，是因为周期性结构是一个不考虑边端效应且绕组均对称，其电感值、互感值、电流值基本相同，然后不对称模型中的参数与之对比，得出对称性指标参数。公式后一项乘以2是因为互感的值是两个一样的，例如MA1B1和MB1A1，两者数值是一样的。
由文献[16]中三相永磁直线电机推力波动与自感和互感差值的关系，此处可以推导出双三相永磁直线电机推力波动与自感和互感差值的关系。因为对称的电感是不会产生负载推力波动，只有各相电感不平衡才会产生推力波动。为了简化推导，此处仅考虑 C2相自感不平衡对推力波动的影响，那么C2相不平衡的那部分电感可表示为[16]
式中，Lk10为C2相自感平均值与周期性模型自感平均值的差值；Lk11为相自感峰值与周期性模型自感峰值平均值的差值；Mh9为两相互感平均值与周期性模型互感平均值的差值；Mh10为两相互感峰值与周期性模型互感峰值平均值的差值。
由此不平衡电感产生的电枢压降为
式中，ic1为C1相电流；ic2为C2相电流。那么，由此不平衡电感产生的推力波动表达式为
由式（6）可以看出推力波动与自感的差值Lk10、Lk11和互感的差值Mh9、Mh10成正比，由于自感的差值大于互感的差值，所以说电机中自感的不对称对推力波动的影响更大。由式（6）也能看出不平衡系数kL的定义有实际的意义。
此外周期性结构、常规结构、端部优化结构与不等匝数结构的不平衡系数kL计算结果见表2。由表2计算结果可得，不等匝数结构的kL值最小。说明不等匝数结构的电感对称度更高，常规结构和端部优化结构的kL差不多，说明通过改变端部边端齿尺寸，对电感平衡度影响不大。
表2 电感不平衡系数kL值计算
Tab.2 The calculation of the balance coefficient kL
结构电感/mH A1 A2 B1 B2 C1 C2 A1A2 A2B1 B1B2 B2C1 C1C2kL周期性结构 29.61 29.62 29.63 29.62 29.63 29.62 1.75 -1.75 1.75 -1.75 1.75 0.000 3常规结构 31.2 29.6 29.59 29.59 29.6 30.9 1.73 -1.73 1.74 -1.75 1.73 4.13端部优化结构 31.1 29.61 29.6 29.58 29.62 30.82 1.72 -1.73 1.73 -1.74 1.75 3.62不等匝数结构 29.8 29.54 29.6 29.3 29.17 29.76 1.71 -1.75 1.68 -1.67 1.71 0.39
4.2 电磁性能分析
绕组匝数的改变能改善电机的电感不对称度，那么同样对电枢电流的谐波幅值和对称度也会有影响。通过计算可得电枢电流的谐波畸变率THD%见表 3，除了周期性模型之外，其中不等匝数结构的电流畸变率最小。
表3 四种结构电流畸变率THD
Tab.3 The THD of the four structures
绕组THD（%）结构A1 A2 B1 B2 C1 C2周期性结构 0.015 0.006 0.006 0.005 0.02 0.08常规结构 0.14 0.92 1.33 1.41 1.22 2.19端部优化结构 0.08 0.16 0.1 0.06 0.11 0.2不等匝数结构 0.02 0.1 0.07 0.07 0.08 0.09
按照上面对电感不平衡系数的定义，此处同样定义一个电流不平衡系数kC，表达式为
式中，I、IP分别为电枢电流的基波幅值和周期性结构中电枢电流的基波幅值平均值。
然后用定义的公式计算电枢电流的不平衡系数，见表4。常规结构、端部优化结构、不等匝数结构的电流不平衡系数分别为 0.219 9、0.182 7和0.104 5，说明采用了不等匝数结构使得电枢电流对称度更高。
表4 电流不平衡系数kC值计算
Tab.4 The calculation of the balance coefficient kC
电流/A结构kC A1 A2 B1 B2 C1 C2周期性结构 4.98 4.94 4.94 4.94 4.99 4.97 0.031 7常规结构 4.59 4.88 4.93 4.95 4.92 4.62 0.219 9端部优化结构 4.61 4.9 4.95 4.94 4.92 4.62 0.182 7不等匝数结构 4.92 4.82 4.76 5.02 5.03 4.88 0.104 5
如图15所示，不等匝数结构推力比传统等匝数结构要大，这是因为不等匝数结构的电机比传统等匝数结构电机的线负荷要略微增大，传统等匝数线负荷为 50.9A/mm，而不等匝数结构的线负荷52.688A/mm，由于直线式结构的特点，电流存在不对称，所以线负荷和电流密度不能完全一致。为了研究绕组不同匝数对推力波动的影响，将推力波形进行频谱分析，结果如图16所示。由图16可得推力波动各次谐波的幅值皆有降低。
图15 两种优化结构的推力曲线
Fig.15 Thrust force waveforms of two optimized structures
图16 两种优化结构的推力频谱分析
Fig.16 Spectrum analysis of two optimized structures
由图15计算得到的推力减去平均推力（基波分量），就可以得到负载时候的推力波动范围，如图17所示，可以看出一个电周期内的波动差异，也能更直观地比较不等匝数结构对电机推力波动的抑制作用。由图中可见，不等匝数结构的负载推力波动峰峰值为 7.38N，相对于端部优化结构下降了 23%，推力波动为2.43%，相对下降了30.7%。
图17 不等匝数结构的推力波动
Fig.17 The thrust force fluctuation of the unequal turns structure
为了进一步验证不等匝数结构在电机过载情况下对电机推力波动的削弱作用，如图18所示。当供电电压较低（电负荷较低）时，铁磁材料的饱和程度较低，因此推力随着供电电压的增加几乎线性增加；但是当供电电压过大时，由于磁路饱和，推力与供电电压不再成线性关系。此外，在供电电压较低时，不等匝数结构对推力波动的削弱作用较大，在磁路逐渐饱和后，削弱作用逐渐减小，但仍然有削弱作用。
图18 推力和推力波动随供电电压的变化关系
Fig.18 The thrust force and thrust force ripple variation with voltage
5 试验验证
试验基于边端齿相同的常规结构样机展开，因为该样机铁心采用自铆接结构，加工精度高，测试结果准确，能够验证分析模型的准确性。测试平台如图19所示，样机由一台空心线圈永磁直线电机拖动进行试验，采用空心线圈永磁直线电机是因为其不存在齿槽力，推力波动小，速度平稳性好，不会给测试结果带来误差。
图19 样机测试平台
Fig.19 The test rig of prototyped machine
图20 样机仿真和测试结果比较
Fig.20 Comparison of predicted and measured prototyped machine
图20显示了样机的测试结果与仿真结果对比，显然定位力和反电动势的波形吻合度较好，证明了前述仿真模型与仿真结果的正确性。
6 结论
针对双三相永磁直线电机的推力波动进行了分析，其主要是直线式结构中铁心和绕组的开断所造成的：一种是由于边端效应引起的磁路不对称；另一种由于绕组空间位置排布不对称引起的自感和互感不对称。论文建立了双三相永磁直线同步电机（DTP-PMLSM）的有限元模型并计算了推力，分析了这两种不对称因素对推力波动的影响程度并提出了改善措施。
1）边端效应引起的磁路不对称：通过优化边端的边端齿尺寸改善了磁路。当左端边端齿和右端边端齿分别等于 6.4mm和 6.3mm时，电机的各相反电动势趋于相等，使原本不对称的反电动势趋于对称，电机的推力波动下降了37.3%。
2）绕组空间位置排布不对称引起的自感不对称：通过采用改变相电感的方法，使原本不对称的电感趋于对称。相比自感，互感很小，可以忽略互感不对称的影响。在不考虑饱和的情况下，由于电机的自感正比于匝数二次方，采用了不等匝数结构来改变自感。基于有限元进行了匝数优化，得到最佳的匝数分配。优化后的结构负载推力波动峰峰值下降23%，推力波动下降了30.7%。
3）在磁路不饱和的时候，不等匝数结构削弱推力波动效果明显；而在磁路饱和情况下，其效果下降，但仍然有削弱电机推力波动的作用。
结果表明，双三相永磁直线同步电机（DTPPMLSM）通过上述两种方法，提高了磁路与电感的对称性，有效降低了电机的推力波动，为推广与应用打下了基础。
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