0 引言
永磁直线同步电机（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor,PMLSM）与旋转同步电机相比，具有更高的推力密度，更低的热损耗，而且不存在机械耦合和滚珠丝杠问题，广泛应用于高速度、高精度的数控加工领域[1-2]。但其系统存在变量间的耦合及参数摄动、负载扰动等不确定因素，严重影响速度跟踪的快速性和精度[3-4]，因此，采用有效的控制策略，提高PMLSM的速度跟踪性能，对于提高机床加工精度具有重要的意义。
为了提高永磁直线同步电机在高速、高精度应用场合的速度跟踪能力，在传统的直线伺服系统中往往通过派克变换及磁场定向控制，实现系统电流子系统和速度子系统之间的静态解耦，再对电流和速度构成的双闭环采用迭代学习控制[5]、H∞控制[6]、内模控制[7]等方法分开独立控制。但在一些高响应、高精度的场合，电流子系统和线速度子系统各自变化的时间尺度相对接近，这时就不能忽略直交轴电流之间、线速度和电流之间存在的非线性耦合问题，否则系统的动态响应性能将难以得到保证[8]。同时永磁直线同步电机作为一个强耦合的非线性系统，给控制器的设计增加了难度[9]。为此，文献[10]针对PMLSM伺服系统中速度和电流间存在的耦合问题，采用奇异摄动理论中的对角化方法将系统非线性耦合模型分解成慢变（速度）和快变（电流）子系统，基于子系统分别设计滑模控制律。但该方法分解得到的为非线性子系统，而设计的滑模面为线性滑模面，从理论上说，考虑系统的非线性特性，选取的滑模面也应该是非线性的[11]。
反馈线性化控制（Feedback Linearization Control,FLC）作为以微分几何为基础的一种非线性控制方法，通过坐标变换与非线性状态反馈，可使非线性耦合系统转换为独立的线性系统，已在混合励磁同步电机[12]、无刷双馈电机[13]和异步电机[14]等交流伺服系统中得到应用。文献[15-16]将反馈线性化方法应用于直线伺服系统，实现电流和线速度间的动态解耦，然而FLC方法对系统数学模型具有强依赖性，因此鲁棒性不强，难以满足高性能速度跟踪的要求。滑模控制（Sliding Mode Control,SMC）作为一种常用的鲁棒控制方法，具有响应快、鲁棒性强、实现简单等优点，成为提高伺服系统控制性能的有效手段之一[17]。但在传统滑模控制中，为了保证系统具有较强的鲁棒性和稳定性，切换增益的设置要足够大，以抵消系统的扰动，而较大的切换增益会导致高频抖振的发生。为此，文献[18]针对伺服系统提出了一种动态滑模控制方法，动态滑模面可将不连续控制作用转移到控制量的一阶或高阶导数中，通过在时间上积分得到连续的动态滑模控制律，进而削弱系统抖振现象。
为了提高PMLSM在高速、高精度应用场合的速度跟踪能力，本文提出了基于反馈线性化的自适应动态滑模控制（Feedback Linearization-Adaptive Dynamic Sliding Model Control,FL-ADSMC）策略。首先，以直轴电流、交轴电流和线速度为状态量建立永磁直线同步电机双输入双输出仿射非线性系统模型，根据非线性系统反馈线性化理论，将 PMLSM非线性耦合系统解耦为独立的电流子系统和线速度子系统，以降低控制器的设计难度。其次，针对线性子系统，一方面设计动态滑模控制器，提高速度和电流之间的解耦能力，改善系统动态响应性能，增强系统鲁棒性；另一方面设计扰动自适应律削弱切换控制引起的抖振。最后，通过实验验证所提控制策略的可行性和有效性。
1 永磁直线同步电机动态数学模型
考虑系统的模型不确定性、负载扰动、参数摄动等影响因素，PMLSM在两相旋转dq坐标系下的数学模型为[19]
式中，Rs为相电阻；ud、uq分别为d、q轴电压；id、iq分别为d、q轴电流、Ld、Lq分别为d、q轴电感；φf为励磁磁链；v为动子线速度；fv为负载扰动，主要包括系统模型不确定性、电机动子质量变化；M为动子及所带负载的总质量；Bv为黏滞摩擦系数；τn为极距；p为极对数。
伺服系统的控制目标为：①将多输入、多输出、强耦合的永磁直线同步电机非线性系统解耦线性化为电流子系统和线速度子系统；②在出现参数摄动、负载扰动等不确定因素时，系统输出可以严格跟踪任意给定输入。
2 永磁直线同步电机反馈线性化
对于选取的系统输出
，计算其总相对阶是否等于系统维数，以判断伺服系统可否线性化[12]。
由式（3）和式（4）可知，根据所选取系统输出，PMLSM伺服系统相对阶分别为r1=1、r2=2，总相对阶数为1+2=3，等于系统（2）的维数3。因此，系统可实现状态反馈线性化。
根据反馈线性化理论与相对阶的定义，对输出函数求对应相对阶数的Lie导数。
当k9(k6k10x1+k7k10)≠0时，解耦矩阵B(X)为非奇异矩阵，根据FLC理论，选取坐标变换。
经上述坐标变换后，原非线性耦合系统可变换成两个独立线性系统。
式中，v1、v2为新的控制输入，定义 v=[v1 v2]T，与系统（2）控制量u的关系为
综上所述，经过反馈线性化后，原耦合非线性伺服系统解耦线性化为电流子系统和线速度子系统。线性系统式（9）和式（10）的状态空间平衡点为[ z1 z2]= [0 0]，因此，PMLSM伺服系统的控制目标转换为通过设计控制律，使其在平衡点渐近稳定，并具有良好的动态性能，即将系统速度跟踪问题转换为系统误差的收敛性问题。另外，利用微分同胚的映射关系，可在线性系统上设计控制器，实现非线性系统的控制功能[11]。
3 自适应动态滑模控制器
根据第2节可知，对永磁直线同步电机动态数学模型的解耦线性化是建立在其精确模型的基础上，并且在新的状态变量中含有系统的未知扰动fv，因此在实际系统应用中存在局限性。
3.1 自适应动态滑模控制器设计
本节将利用动态滑模控制的原理，对线性系统式（9）和式（10）设计动态滑模控制器，减小反馈线性化控制方法对直线电机数学模型的依赖性，同时设计自适应控制律估计系统的不确定性扰动，进一步提高对PMLSM系统的动态控制性能。
首先，定义滑模面为
式中，Sd为电流滑模面；Sv为速度滑模面；cv为严格的正常数。
新的动态滑模面设计为
式中，σd为电流动态滑模面；σv为速度动态滑模面；λd、λv为严格的正常数。
对S求导，将式（9）和式（10）代入式（12），得
当采用式（13）的动态滑模面时，为了提高系统正常运动段的动态品质，采用指数趋近律设计动态滑模控制器，控制律v1、v2设计为
式中，
为fv的估计值；εd、εv、kd、kv均为大于零的常数；sgn(·)为符号函数。
设计系统扰动fv自适应律为
式中，
为系统扰动fv估计值的一阶导数。
3.2 系统稳定性证明
在实际系统中，直线电机参数通常是缓慢变化的[20]，故认为
=0。因此，对式（14）求导可得
对式（13）求一阶导数可得
定义fv的估计误差
，将式（14）和式（17）代入式（18）得
将式（15）的控制律代入式（19）得
定义系统的Lyapunov函数
则由式（16）、式（20）和式（21）可得
因此，基于李雅普诺夫稳定性理论，当σ≠0时，
是负定的，表明李雅普诺夫函数 Vd、Vv是收敛的，可以确保系统状态在有限时间内到达滑模面σ =0，线性滑模面S将到达并保持在二阶滑模状态。另外，由于线性滑模面的定义满足Hurwitz多项式，所以系统状态z1和z2将渐近收敛到零。
综上所述，可得永磁直线同步电机控制系统框图如图1所示。
图1 永磁直线同步电机控制系统框图
Fig.1 Block diagram of control system of permanent magnet linear synchronous motor
4 仿真分析与实验验证
为验证FL-ADSMC速度跟踪控制策略的可行性和有效性，进行仿真分析与实验验证，并与基于反馈线性化的线性状态反馈（FL-LSF）控制策略进行对比分析。电机参数：M= 0.38kg ；τn= 14mm ；Bv = 0.8N⋅ s
m；Rs=1.1Ω ；Ld =Lq= 0.02H ；φf = 0.03Wb ；p=3。FL-ADSMC速度控制器的参数为cv=110；λd=85；λv=80；εd=150；εv=180；kd=75；kv=75。
FL-LSF控制律设计为
式中，α、β、λ为配置的反馈极点。
根据Routh Criterion可知，当α＞0，β＞0，λ＞0时系统保持稳定。经过反复配置极点，选取α=300，β=350，λ=90。
4.1 仿真分析
速度给定：初始幅值为0m/s，0.25s发生阶跃，阶跃幅值为1m/s；给定d轴电流为0A，空载状态下起动。比较FL-LSF与FL-ADSMC 的阶跃响应性能，如图2所示。由图2a可以看出，FL-LSF的速度阶跃响应出现了轻微的超调现象，且响应时间长。FL-ADSMC速度阶跃响应不存在超调，且响应时间短；图2b可以看出交轴电流在速度变化后幅值增大，且FL-ADSMC的响应时间更快。因此，FLADSMC相比FL-LSF具有较好的速度响应性能。同时从图2b局部发大图可知，基于FL-ADSMC的稳态电流波形相对于FL-LSF而言，波动频率相似，但抖振幅度较小。
图2 阶跃响应
Fig.2 Step response
PMLSM伺服系统以1m/s的给定速度稳态运行，在0.25s突加200N负载扰动。比较FL-LSF与FLADSMC 对突加负载扰动的鲁棒性能，速度响应和电流响应如图3所示。从图中可以看出，当电机稳定运行时突增负载扰动，FL-LSF速度波形下降约0.08m/s，恢复时间约为0.07s；FL-ADSMC速度响应曲线下降0.04m/s，恢复到稳态的时间约为0.05s，电流增加约4A，用来补偿负载扰动，且稳态电流抖振幅度下降。因此，FL-ADSMC对突加负载扰动具有较好的鲁棒性，能削弱系统抖振幅度。
图3 突加负载响应
Fig.3 Sudden load response
图4 突减负载响应
Fig.4 Sudden reduction of load response
PMLSM伺服系统带载200N，以1m/s的给定速度稳态运行，在0.25s突减200N负载。突减负载时，FL-LSF速度波形上升约0.09m/s，恢复时间为0.11s；FL-ADSMC在突减负载扰动时速度波动约为0.04m/s，恢复时间约为0.9s。由此可知，针对解耦后的线性系统设计自适应动态滑模控制器，能削弱滑模控制的抖振现象，提高系统对突减负载扰动的鲁棒性。
4.2 实验验证
基于数字信号处理器的PMLSM伺服系统实验硬件结构图如图5所示。实验选用TMS320F28335作为核心控制单元，系统采样周期为0.5ms，系统主要由永磁直线同步电机、PC+DSP运算控制单元、固定分辨率为0.05μm的直线光栅尺、霍尔电流传感器和智能功率模块（Inteligent Power Module,IPM逆变器组成。利用汇编语言实现控制算法及电流矢量控制，输出6路PWM波控制IPM 模块的导通。图6为基于DSP的PMLSM实验系统实物图。在实验中，控制器参数设置与仿真实验相同。
图5 基于DSP的PMLSM控制系统硬件结构图
Fig.5 Hardware block diagram of PMLSM control system based on DSP
图6 基于DSP的PMLSM实验系统实物图
Fig.6 Photograph of PMLSM experiment system based on DSP
图7为采用FL-LSF与FL-ADSMC策略时的速度阶跃响应。速度在0m/s和0.3m/s之间阶跃，FLLSF的速度响应存在0.01m/s的超调，并且调节时间较长为0.21s；而采用FL-ADSMC策略实现了速度无超调，且调节时间为0.18s。因此，FL-ADSMC策略在满足速度无超调的同时实现了系统快速响应，具有良好的稳态精度。
图7 阶跃响应
Fig.7 Step response
为验证FL-ADSMC策略对负载扰动的鲁棒性，在速度0.4m/s 时进行突加和突减负载实验且和FL-LSF进行了对比分析。实验结果如图8和图9所示。
图8 突加负载响应
Fig.8 Sudden load response
图9 突减负载响应
Fig.9 Sudden reduction of load response
由图8和图9可知，采用FL-LSF时，突加200N负载扰动，速度响应曲线下降了约0.1m/s，稳态恢复时间约为0.4s；突减200N负载扰动，速度响应曲线上升了约0.09m/s，恢复到稳态的时间为0.3s。而采用FL-ADSMC策略时，速度波动分别为0.07m/s和0.06m/s，恢复时间分别为0.17s和0.18s。可见，相比FL-LSF策略，FL-ADSMC策略对负载扰动具有较好的鲁棒性，且在系统受到扰动时，能保证速度稳态误差抖振幅度较小。
5 结论
为了提高永磁直线同步电机速度跟踪性能，提出了基于反馈线性化的自适应动态滑模控制策略。通过仿真分析与实验验证得到以下结论：
1）将考虑参数摄动和未建模动态的PMLSM非线性耦合系统解耦成独立的电流子系统和线速度子系统，降低了速度控制器的设计难度。
2）针对线性子系统分别设计动态滑模控制器，减小了反馈线性化控制对系统数学模型的强依赖性，并设计自适应律估计扰动，提高了控制性能。
3）FL-ADSMC对突加和突减系统负载扰动都具有很好的鲁棒性，能够保证电机速度跟踪精度和响应速度，改善直线伺服系统的动态和稳态性能。
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