0 引言
输电线路电压的准确测量是评估电力系统运行状态的重要环节。随着电力系统的智能化与小型化，传统接触式电压测量方法逐渐难以满足测量需求，非接触式电压测量方法近年来已成为研究热点之一[1-4]。面对传统电磁式传感器存在的设备体积庞大、价格昂贵、绝缘隐患等共性问题[5-8]，在非接触电压测量方法中，通常采用光学传感器和D-dot传感器作为信号采集媒介[9-12]。其中，D-dot场式传感器具有测量原理简单、结构体积小、易于安装等优点，可与数值积分算法紧密结合，实现电压参数的可靠测量[13-15]。相比之下，光学传感器则存在成本高、价格昂贵以及易受温度条件影响等缺点，限制了其应用推广[16-19]。
当前应用于输电线路电压测量的数值积分算法主要包括高斯积分算法、高斯-勒让德算法及切比雪夫算法，各算法在求解精度和应用可靠性方面存在差别。其中高斯积分算法的积分节点数量过多时，最高节点代数值对应的传感器位置通常过于靠近导线，造成电压测量误差增大，甚至引起传感器绝缘故障[20-23]；高斯-勒让德算法和切比雪夫算法则普遍存在积分区间优化的问题，由于这两种积分算法均需进行归一化处理，使积分区间变为[-1,1]，在求解过程中需要进行多次区间重复换算，过程复杂且易产生额外误差，影响积分计算结果[24-26]。
针对上述积分算法的缺陷，本文提出一种给定积分节点的Gauss型积分算法，将积分节点分为固定积分节点与待求积分节点，在节点位置与对应权重的计算过程中，可对方程进行降阶处理，无需进行区间换算，从而简化计算。在合理固定积分节点的初始限定条件下，优化积分节点位置，降低积分节点传感器的对地距离，减小测量误差，提高电压的测量精度。
文章首先在空间电场积分法与Gauss积分原型算法的基础上，推导出基于给定节点的Gauss型积分法的节点参数解析式与代数计算过程。然后建立了5～20kV输电线路电场仿真模型，得到输电线路下方积分路径上的电场分布参数。据此计算出不同的固定节点位置情况下，剩余节点位置及其对应的积分权值，并完成与高斯积分法原型积分节点的对比分析。最后，在所搭建三相电压试验平台上，对所提出方法的有效性进行了测试。
1 电场积分算法
1.1 空间电场积分法
输电线路的工频电场属于准静态电场，其物理效应可用静电场理论来分析。由于电场强度是无旋的，任意两点之间的电位差与积分路径无关[27]。如图1所示，A、B、C代表三相输电线路，M代表测点，l为有向积分路径，对该场域中线路与地电位积分路径上的电场强度进行积分，即可结合数值积分方法得到线路的空间电位φ为
图1 输电导线下方的电场强度
Fig.1 The E-field intensity under the transmission lines
设φA为A相空间电势，对于距离为d的垂直积分路径，可以得到线路电位与积分路径上的电场强度关系为
根据式（2），以输电线至大地间的铅垂线为积分路径，仅需考虑积分路径各点处电场强度在x方向的分量Ex，在积分上、下限不变的情况下，积分结果必然不变，均为导线的电位值。
1.2 Gauss积分算法研究
在空间上，电场的分布为连续函数，而在实际应用中是无法测量电场强度连续参数曲线的，因此采用数值积分的方法，将连续函数的积分进行离散化求解。具体过程是在进行输电线电压测量时，根据不同积分节点位置上安装的D-dot传感器，采集测点位置处的电场值，通过数值积分累加求和完成计算。式（3）给出了高斯型数值积分原型，对于任一连续函数f(x)，N个积分节点的Gauss积分一般形式为
式中，ω(x)为积分区间[a,b]上的权函数，在该积分区间上ω(x)≥0。积分节点xk(k=1,2,3,⋅⋅⋅,n)为区间上[a,b]的高斯积分点，Ak为对应积分系数。电场积分表达式可以进一步等效为
式中，Ex(xk)为积分点xk处的电场强度。空间中除三相导线产生的电场强度外，还存在一定的外来电场干扰。因此，待测电场 Ex(x)可以用式 Ex(x)=
来描述，用于表示这种微小空间电场带来的干扰，其中 E′x(x)是无干扰时的电场强度，可通过仿真得到。
令 Ak =
为N阶方程矩阵系数，代入式（4）中可得
特别地，取 ω(x)= 1,x,x 2 ,x3 ,… ,x2N −1，sk(k=0,1,…,2N-1)为各阶方程代数求和结果，采用代数逼近的方法求解式（5），可得到方程组
1.3 给定节点的Gauss型积分算法
具有若干预定节点的Gauss型积分算法，其一般形式为
式中，
为固定节点；m为其节点数量；n为待求积分节点的数量，而m+2n个待定系数αk、βk、xk的确定则要依据使积分法代数精度尽可能高的原则，即m+2n-1次代数精度[28]。
在求解输电线路电压的过程中，以地面为参考电位，φA-φC为三相输电线路空间电势，给定节点型Gauss积分算法原理如图2所示。
图2 给定节点型Gauss积分算法
Fig.2 The Gauss integral algorithm with the fixed node
图示电场积分公式可以等效为
式中，a=0,b=d作为Gauss积分区间的上、下限，分别代表零电势地电平和导线高度；αk、βk为给定积分节点的Gauss型求积公式权值；
分别为积分点
、xk位置处的x轴方向电场强度。
积分求解的具体求解过程可表示如下：记λk、θk为中间权系数，且αk =
代入式（8）得
令ω(x)= 1,x,x2 ,x3 ,… ,xm+2 n −1，可得关于 λk、θk、xk的m+2n阶方程组为
式中，
为电场强度k次扰动函数下的积分值。首先，根据Maxwell的仿真结果求出相应的sk，再通过代数逼近的计算原理求解非线性方程式（10），得到xk及对应的λk与θk，最后可确定αk和βk。在得到积分节点及权值结果后，采用D-dot传感器测得节点电场，进行加权求和，从而计算出导线电压值。
可以看出，相比原型高斯积分算法的电压计算过程，给定节点的高斯积分算法可将节点进一步划分为固定节点和待求节点分别求解。通过固定节点的调整，以及含k次扰动的代数逼近，虽然增加了计算复杂度，但该方法在降低部分节点对地距离的同时，保证了电压数值积分计算精度。
2 输电线路仿真及积分节点选择
2.1 输电线路的电场仿真分析
在求解sk时需要仿真数据支撑，即采用电磁场仿真软件得到三相无干扰时的空间电场值，通过1.3节提出的求解模型可得sk值。以通过电场积分法求取20kV、10kV、5kV电压的问题为例，进行仿真求解分析。在仿真模型及后续实验平台的搭建过程中，三相输电导线采用水平等间距分布，相间距设为0.6m，输电导线距离地面为2m，档距（即导线模型长度）设定为2m，本文使用的Maxwell仿真软件搭建线路模型如图3所示。
图3 三相输电线路仿真模型
Fig.3 The simulation model of three-phase transmission line
施加三相交流激励后，得到图4所示的10kV电压输电线路下方电场强度的分布图。从图4中可以看出，靠近导线的位置电场变化迅速，远离导线的位置电场变化缓慢。为更直观地体现电场变化趋势，利用软件自带的场计算器输出电场分布数据，可得图5所示的电场分布曲线，图中横轴为对地垂直距离，纵轴为测点位置垂直方向的电场强度大小。根据输电线路下方电场的变化情况，将1.9～2m区域视作电场强度的突变区，0～1.9m区间视作电场强度变化平缓区。
图4 10kV输电线路下方电场分布
Fig.4 The electric field distribution diagram under the 10kV transmission line
图5 10kV电压激励下的电场强度曲线
Fig.5 The electric field intensity curve under the 10kV voltage excitation
当积分节点过于靠近导线时，传感器的电场测量误差会有一定程度的增大。因此，积分节点的选择并非越近越好，保持一定的对导线距离，可以减少电压测量误差，同时降低传感器的安装难度。
2.2 积分算法的节点计算及选择
回顾多类型数值积分算法，n节点的高斯型求积公式具有2n+1次代数精度。双节点方案虽然易于实施，但仅具有5次代数精度。三、四节点方案代数精度分别可达7次和9次，均可以满足积分精度要求[28]。综合考虑测量方法精度与实施难度，积分节点过多将加大测量系统负担，因此本文采用三节点方案进行求解。
根据高斯积分原型算法，求出线路高度为2m、电压水平为20kV、10kV、5kV的积分节点参数见表1。同理根据1.3节给出的给定节点高斯型积分算法及2.1节仿真计算结果，根据该积分算法求出线路高度为2m、电压水平为20kV、10kV、5kV时对应的节点参数信息见表2。对比计算结果，给定节点的高斯型积分法与高斯积分法原型具有相似的节点位置分布规律。相同导线高度与电压等级情况下，总体积分节点的坐标随着固定节点对地距离的减小而下移，但大地作为求解域下限使得最低节点理论数值无法小于0。因此固定积分节点选取的合理性，直接影响剩余积分节点的分布情况。当给定节点坐标为0.8m时，无论积分路径选择在边缘A、C相导线，还是中间B相导线，所提出的积分算法最高节点位置计算值均要比高斯原型算法最高节点位置低。
表1 高斯积分算法节点参数计算结果（线路高度为2m）
Tab.1 The calculation results of the node parameters in Gauss integral algorithm
结合图4给出的三相输电线路空间电场分布差异、图5的电场参数总体变化趋势，以及表2给定积分节点的高斯型积分算法节点信息对比，可以看出，虽然边缘A、C两相与中心相B存在电场分布差异，但体现在积分节点信息的差别几乎可以忽略。在此情况下，传感器装设在A、C相或者B相的正下方，对测量精度影响甚微。本文在2m架空高度输电实验平台下，对给定节点的高斯算法进行测试，所采用的三节点方案积分坐标从高到低依次为1.830m、0.800m、0.049m。
表2 固定节点的高斯型积分算法节点参数计算结果
Tab.2 The calculation results of the node parameters in Gauss integral algorithm with fixed nodes
（续）
在给定节点的选择方面，需要综合考虑如下因素：①给定节点位置对导线距离应满足测量精度要求和传感器装设的绝缘强度要求；②根据应用场景下的电场参数分布情况，调整积分节点数量，保证各电场分布区间均有节点覆盖的同时尽可能限制节点数量。在满足上述选取原则的情况下，给定节点的高斯型积分法可以通过固定部分积分节点，寻求更优的节点分布方案，以此来降低系统的测量误差，进一步提高方法整体测量效果。
3 实验验证
3.1 实验平台搭建
为验证给定节点的高斯型积分算法在求解输电线路电压参数的准确性与优势，基于仿真试验分析结果与节点参数信息，搭建如图6所示的三相输电导线电压测量实验平台，测量实际工况下高斯积分算法与给定节点的高斯型积分算法输电导线电压结果。
图6 三相输电导线电压测量试验平台
Fig.6 The 3-phase transmission line voltage measurement experimental platform
三相输电线路电压测量实验平台实测现场如图7所示。三相调压器与升压变压器产生幅值可控的三相工频电压，输电导线电压同时使用D-dot电场传感器测量系统和衰减比为1 000∶1的泰克P6015A高压探头进行测量，将经过校正后的高压探头电压的最大值（相电压幅值）作为导线实际电压Us，而由积分算法求解的结果记作U。因此，可以得到给定节点的高斯型积分法求解线路电压的相对误差ε，计算公式为
图7 三相输电线路电压测量实验现场
Fig.7 The experimental site of 3-phase transmission line voltage measurement
输电导线使用的是直径1cm的实体铜棒，导线中心距地面的距离为2m，相间距0.6m，与仿真模型所采用的参数同步。采用高斯原型算法计算出来的节点坐标1.881m、1.061m、0.238m和给定节点的高斯型算法计算的积分节点坐标位置1.830m、0.800m、0.049m进行对比试验分析。实验过程中，示波器同时采集高压探头与三个节点位置处的Ddot传感器的输出，验证传感器的测量效果，并将高压探头的输出作为实际的标准电压值。图8为20kV电压情况下得到的测试波形。
图8 D-dot传感器输出与高压探头的输出波形
Fig.8 The output waveforms of D-dot sensor and highvoltage probe
D-dot电场传感器分别放置于导线正下方积分节点处，采集的电场信息由硬件电路进行处理，将其转换为离散电场信号，并通过WiFi无线传输模块发送到上位机的LabVIEW软件中，最终经过信号处理计算后由图9所示的前置面板显示出来。该界面包括三积分节点电场值和由积分算法求解出的理论电压值，并显示出传感器所测电场波形和计算得到的导线电压波形。
图9 电压测量系统前置面板
Fig.9 The UI of the voltage measuring system
3.2 实验结果及分析
使用所搭实验平台分别对5kV、10kV和20kV三种电压的输电导线进行测试，利用D-dot传感器测量出对应积分节点的场强Ex。采用LabVIEW软件对积分点电场强度进行加权求和即可得到数值积分电压U。根据式（11）可以得到实际相对误差ε，记录数据及求解的相对误差见表3。
表3 三种电压等级下高斯积分法的计算结果
Tab.3 The calculation results of Gauss integration method under three levels of voltage
改变传感器位置，将其分别放置于1.830m、0.800m、0.049m位置处，在施加相同水平电压的情况下，测得固定节点的高斯型积分算法的积分结果见表4。
表4 三种电压等级下固定节点的高斯型积分法的积分结果
Tab.4 The calculation results of Gauss integration method with fixed nodes under three levels of voltage
对比试验结果，可得如下结论：
（1）对比示波器采集的传感器输出波形可见，D-dot传感器输出的波形与高压探头输出的波形之间相位差小于2°，并且均为标准工频正弦波形。
（2）LabVIEW软件运算得到的电场、电压波形均为标准的工频正弦波形，失真度小，在实验环境下具有较好的电压波形跟随效果。
（3）相同测试电压水平情况下，基于固定节点的高斯型积分算法计算结果的测量相对误差低于0.5%，且均明显小于高斯积分原型算法计算的相对误差，证明该算法在降低积分节点位置的同时，可有效提高测量精度。
4 结论
对比目前各类型电场积分算法存在的不足，本文提出一种给定节点的Gauss型积分算法，并应用于D-dot传感器电压测量系统中。通过理论研究、仿真分析与试验对比发现，所提出的输电线路电压测量方法可以简化求解过程，优化传感器节点位置，其实测电压参数的相对误差均小于0.5%，优于Gauss原型算法的测量效果。研究内容对输电导线非接触电压测量系统的算法选取，传感器节点位置的选取提供一种新思路，为推动电力系统非接触电压测量的实际应用提供了技术解决方案。
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