（1）摘要 采用广域测量信息进行电力系统暂态电压稳定评估是实现电压稳定状态在线监测的有效手段，但实测电压时间序列数据的相位变化和测量误差，易造成暂态电压稳定评估结果的误判。为此，提出一种基于相位校正李雅普诺夫指数（PCMLE）的暂态电压稳定评估方法。首先，根据相空间重构理论及节点电压幅值变化率-偏差的变化规律，将暂态电压稳定评估问题转变为关键节点电压幅值变化率的最大李雅普诺夫指数轨迹分析问题；然后，在保留暂态电压动态过程的情况下利用相位矫正方法重构初始时间窗口数据，消除电压相位变化的影响，克服了MLE需预设初始时间窗口和观测窗口长度的缺陷，进一步通过滑动平均值法抑制测量误差的影响；最后，通过修改后IEEE 39和南方电网实际算例的仿真分析，验证了所提暂态电压稳定评估方法的准确性和有效性。
关键词：暂态电压稳定 最大李雅普诺夫指数 广域测量系统 相位校正
电力系统暂态电压稳定评估是电力系统安全稳定分析的重要研究内容之一[1-5]。随着我国区域电网互联规模的日益扩大、新能源的大规模并网以及空调和工业电动机负荷的不断增加[6-9]，电力系统运行工况愈加复杂多变，其源-网-荷侧多类型电力电子设备控制环节的快速切换特性，使得暂态电压稳定问题更加复杂，也对电力系统暂态电压稳定评估提出了更高要求[10-16]。如何快速、准确地识别电力系统暂态电压稳定态势，是有效进行电力系统暂态电压稳定控制的前提[17-19]。
目前，常用的电力系统暂态电压稳定评估方法主要有时域仿真法[20]和能量函数法[21]。时域仿真法通过求解交直流电网的高维代数微分方程，获得各节点电压的变化轨迹，进而评估交直流电网的暂态电压稳定状态，但需建立交直流电网各设备的详细静态/动态模型，并给定电网的初始运行状态、故障等信息，计算量巨大，难以满足交直流电网暂态电压稳定实时评估的需求[22-23]。能量函数法又称李雅普诺夫能量函数法，该方法借助暂态动能和势能判断交直流系统的暂态电压稳定状态，获得暂态电压稳定裕度和失稳趋势，可弥补时域仿真法求解速度慢的不足，故在电力系统暂态电压稳定评估中得到了广泛应用[24]。
能量函数法中以混沌理论为基础的最大李雅普诺夫指数（Maximum Lyapunov Exponent, MLE）已成为电力系统暂态电压稳定实时评估的研究热点[25-26]，但该方法在实际应用中仍存在时间窗口长度选取困难和测量误差干扰的难题[27-28]。文献[29]指出高维非线性动态电力系统的混沌动态特性与暂态电压失稳或崩溃状态具有映射关系，可借助混沌理论来分析暂态电压稳定性，进而通过MLE轨迹来判别短期电压稳定状态。文献[30]构建了考虑连续换相失败故障的交直流混合系统开关模型，进而
实现计及交直流混合系统开关模型的MLE指标构建，可准确评估暂态电压稳定状态，但仍需借助系统模型来计算MLE，其求解难度会随着系统模型复杂度的增加而加大，并因电力系统建模的不确定性而有所偏差，使其局限于离线MLE轨迹计算。文献[31]提出了一种采用有限电压时间序列数据驱动的MLE计算方法，无需建立详细的系统模型，仅需同步相量测量装置（Phasor Measurement Unit, PMU）采集有限的电压轨迹数据即可完成MLE计算，进而实现暂态电压稳定评估，而且定性分析了测量误差和时间窗口长度对暂态电压稳定评估的影响规律，但未给出相应的改善措施。文献[32]为抑制PMU测量误差干扰，提出一种优化控制中心测量数据的暂态电压稳定评估框架，在保证暂态电压稳定评估准确率的同时抑制测量误差干扰，但暂态电压稳定状态需根据MLE轨迹的最终符号来确定，故需寻找最优初始时间窗口长度，其受电压振荡过程中的相位变化影响较大，时间窗口长度设置不合理易导致交直流系统暂态电压稳定状态的误判。为此，文献[33]采用蒙特卡洛模拟和粒子群优化来确定MLE的最优初始时间窗口长度，确保了暂态电压稳定评估的准确性，但易受优化算法计算时间长，系统运行方式和故障场景复杂多变的限制，且未深入分析电压振荡过程中相位变化的影响；文献[34]通过重构最大李雅普诺夫指数规避了电压相位变化的影响，为避免振荡过程中电压相位变化的影响提供了新途径，但李雅普诺夫指数幅值变化率均采用主导电压的交流分量求解，易导致暂态电压稳定评估结果偏保守且隐藏了暂态电压的动态过程，而且未考虑电压时间序列数据测量误差的影响，其准确性和可靠性有待进一步提高，较难适用于在线暂态电压稳定评估。
针对上述电压振荡过程中相位变化和测量误差易造成暂态电压稳定评估误判的难题，本文提出一种基于相位校正李雅普诺夫指数（Phase-Corrected Maximum Lyapunov Exponent, PCMLE）的暂态电压稳定评估方法。首先，根据节点电压幅值变化率−偏差特性曲线的关系，将暂态电压稳定评估问题转变为关键节点电压幅值变化率曲线的MLE轨迹分析问题；然后，合理选择主导电压分量类型和数量来高精度拟合电压时间序列数据，在保留暂态电压动态过程的情况下利用相位矫正方法重构初始时间窗口数据，避免MLE初始时间窗口长度对暂态电压稳定状态判别精度的影响；进一步，为抑制测量误差对暂态电压稳定评估结果的影响，通过滑动平均值法来抑制测量误差，实现基于PCMLE的电力系统暂态电压振荡和延时失稳的有效评估；最后，将所提方法应用到修改后IEEE 39节点系统和南方电网实际算例进行分析、验证。
电力系统暂态电压稳定性主要体现在节点电压在故障期间的骤降、故障后的缓慢恢复和持续振荡，而节点电压的动态响应轨迹在暂态过程中具有明显的动态特性：①暂态电压稳定时，电压幅值的动态响应轨迹在暂态电压恢复初期将会趋于平稳；②暂态电压延时失稳时，暂态电压恢复初期的跌落幅度较大（低于0.75pu）[10]，低电压需持续较长时间才能趋于平稳；③暂态电压振荡失稳时，暂态电压恢复初期的振荡现象依然极其显著，进而导致整个系统电压失稳。进一步将故障后节点电压幅值动态响应轨迹转换至v′-Δv平面上[29]，如图1所示。采用PMU实测电压数据，计算节点i的ΔvmΔt,i和v′mΔt,i为
（1）式中，vmΔt,i和v(m-1)Δt,i分别为节点i在mΔt和(m-1)Δt时刻的电压时间序列数据幅值；ΔvmΔt,i和Δv(m-1)Δt,i分别为节点i在mΔt和(m-1)Δt时刻的电压幅值偏差；v′mΔt,i为节点i在mΔt时刻的电压幅值变化率；Dt为PMU的采样间隔，
，fs=100Hz为采样频率。
图1 暂态电压幅值的v′-Δv轨迹
Fig.1 The v′-Δv trajectory of transient voltage amplitude
由图1所示的v′-Δv变化轨迹可知：若系统暂态电压稳定，v′-Δv变化轨迹将逐渐汇聚到某个稳定平衡点，此时v′逐渐趋向于0，而Δv趋向于某个固定值；若系统暂态电压延时失稳，v′-Δv变化轨迹的低电压（0.75pu）持续时间较长，最终汇聚到某个稳定平衡点，v′逐渐趋向于0；若系统暂态电压振荡失稳，v′-Δv的振荡越来越剧烈，无法汇聚到系统的某个稳定平衡点。因此，可将暂态电压稳定分析问题转换为节点电压幅值的动态响应轨迹在v′-Δv平面上能否汇聚问题。进而依据MLE原理，将节点电压幅值映射为随时间按指数规律收敛或发散的平均变化速率，借助MLE正、负号可有效表征暂态电压动态响应轨迹的收敛或发散特性。若MLE＜0，则系统暂态电压的动态响应轨迹收敛；反之则发散。
第1节所述的节点电压时间序列数据v′-Δv变化特性可通过PMU测量关键节点的电压信息来获得，并通过延迟嵌入技术对相空间轨迹进行重构，建立近似雅可比矩阵来求解MLE，进而实现暂态电压稳定的实时评估，以避免复杂的系统模型构建过程，主要挑战是嵌入时间序列数据的相空间维数。嵌入维数由相空间动力学的复杂性决定，会随着电力系统电力电子化复杂程度的增加而增多，进而大幅度增加雅可比矩阵的计算复杂度。针对实际系统相空间维数高且难以在线应用的问题，采用有限时间间隔的电压时间序列数据在线计算MLE，可在提高计算效率的同时，实现暂态电压稳定的在线评估[31]。假设电力系统的电压时间序列数据为
，即Vt={vt,1, vt,2, 
, vt,n}，其中
，M为电压时间序列数据的采样间隔数，进而获得由N个采样间隔组成的电压时间序列数据，满足
，其中，
，
，
和
分别为电压幅值偏差的下限和上限，进一步求取
时刻的李雅普诺夫指数为[31,34]
（2）式中，
，k＞N；
和
分别为时刻
和
的电压幅值变化率。暂态电压变化轨迹随初始时间窗口数据的演化规律，可通过计算
和时刻电压变化速率的欧式距离，进而获得N个时间间隔电压变化速率的欧式距离平均值，若相空间维数为1，可使式（2）转换为单条电压曲线的MLE，即
（3）
式中，
和
分别为节点i在时刻和
的电压幅值；
为节点i在时刻的电压幅值变化率。
随着电力系统中直流输电、新能源等电力电子设备的增多，以及电力电子设备的复杂调控过程，故障后的系统电压振荡特性更加复杂，采用电压时间序列数据计算MLE时将存在如下困难：①需解决因电压振荡过程中相位变化引起的时间窗口长度选取困难；②需抑制PMU测量误差对暂态电压稳定评估结果的影响。
针对MLE用于暂态电压稳定评估时的时间窗口长度选取困难和测量误差干扰问题，提出一种基于相位矫正李雅普诺夫指数的电力系统暂态电压稳定评估方法。在时间窗口长度选取方面，通过合理选择主导电压分量类型和数量来高精度拟合初始时间窗口的电压时间序列数据，有效计及了直流电压分量对电压时间序列数据拟合结果的影响，进而借助主导电压分量重构初始时间窗数据，待监测的电压时间序列数据依然通过实测数据计算电压幅值变化率，可在保留暂态电压动态过程的前提下，有效避免故障切除后电压振荡过程中相位变化对暂态电压稳定评估结果的影响。采用多个电压分量来拟合电压时间序列数据，节点i的电压时间序列数据为[34]
（4）式中，Ar、αr、ωr和
分别为第r个电压分量的幅度、阻尼比、角频率和相位。设p为电压分量数，p=2s+g，包含s个余弦电压分量和g个直流电压分量。由于电压分量数对拟合精度和耗时都有较大影响，并受时间窗口包含的采样点数N制约，采用经验式（5）估计电压分量数上限值pmax[35]，在pmax附近确定电压分量数来获得较准确的拟合结果。
（5）
对式（4）的余弦电压分量采用欧拉公式，离散化后将其写成统一的指数函数形式为
（6）
（7）式中，
；
；
为电压时间序列数据的近似值；
为自回归模型参数。定义电压时间序列数据测量值与估计值间的误差为e(m)，将其代入式（7）可得
（8）
（9）由式（8）将估计值转换为p阶自回归滑动平均模型，v为噪声激励下自回归模型的输出，为待求量，求解的原则是保证最优逼近，使目标函数取值最小，约束条件为目标函数对自回归模型各系数的偏导数为0。
（10）
（11）式中，*表示取共轭。定义
（12）
将式（11）写成矩阵形式为
（13）进而求得自回归模型系数，r=1,2,, p，以及最小误差估计值ε (p)，其特征方程为
（14）
由式（14）可得特征根zi(i=1,2,, p)，进而得到式（6）的矩阵形式为
（15）
（16）
（17）
通过求解式（15）可得各电压分量的振幅
、相位
、衰减因子
和角频率
。
然后采用主导电压分量（直流量和余弦量）来近似拟合初始时间窗口电压数据，则节点电压幅值变化率为
（18）
（19）
式中，下标d和dx分别为主导电压分量的余弦电压分量和直流电压分量，其中直流电压分量不随相位变化，而余弦电压分量的导数会随着相位
的旋转而变化。 为消除电压时间序列数据相位变化的影响，将电压幅值变化率除以公共因子
，获得电压幅值变化率最大值
为
（20）若将式（3）中初始时间窗口的电压幅值变化率
替换为，可在保留暂态电压动态过程的前提下实现MLE的相位校正，进而转换为电压时间序列数据包络线的MLE计算，有效避免电压振荡过程中相位变化的影响，进而计算单条电压曲线的PCMLE为
（21）
相位校正后电压幅值变化率的变化情况如图2所示。
由图2a电压分量曲线的变化情况可知，主导电压直流分量和主导电压余弦分量可有效表征节点电压幅值的变化规律，而其余电压分量幅值较小，对节点电压幅值变化规律的影响可忽略不计，如图2b中主导电压直流分量幅值占总幅值的70.02%，主导电压余弦分量幅值占总幅值的28.69%，主导电压分量占总幅值的98.71%，包含了节点电压幅值的大部分信息。图2c进一步采用主导电压直流分量和余弦分量两部分来拟合节点电压幅值，与相位校正前电压幅值基本重合。同时由图2d可知，采用电压时间序列数据计算MLE时，如果k是完整的振荡周期间隔，则和
将具有相同的相位，电压时间序列数据的相位变化不会引起电压的发散或汇聚，反之易导致暂态电压稳定评估结果误判，经相位校正后的电压幅值变化率最大值则不随相位变化而变化，可避免电压时间序列数据相位变化影响。
图2 相位校正后的电压幅值变化率
Fig.2 Voltage amplitude change rate of the phase-corrected
在抑制测量误差干扰方面，由于式（21）采用PMU测量数据计算PCMLE轨迹进行暂态电压稳定评估时，未计及实测数据的测量误差干扰，故引入控制参数ζ调节电压时间序列数据的时间间隔，并对ψav个电压时间序列数据取均值，平抑测量误差对暂态电压稳定评估结果的干扰，修正后电压时间序列数据幅值和时间间隔为
（22）将其代入式（21），可得修正后的PCMLE为
式中，
为节点i在时刻
的电压幅值变化率；
为节点i在时刻
的电压幅值变化率最大值。通过合理调整控制参数ζ和ψav可对多个电压时间序列数据取均值，进而避免测量误差引起的电压幅值变化率突增或突降，有效抑制测量误差的影响，以提高暂态电压稳定评估的鲁棒性。
综上所述，可得本文所提基于PCMLE的电力系统暂态电压稳定评估流程如图3所示，具体步骤为：
1）采用PMU测量装置实时测量关键节点的电压时间序列数据Vt={vt,1, vt,2, …, vt,n}，并监测系统是否发生故障。若发生故障则跳到步骤2）计算李雅普诺夫指数；否则继续测量关键节点的电压时间序列数据。
2）初始化时间窗口长度，以及控制参数ζ和ψav，确定电压时间序列数据的时间间隔和取均值的电压时间序列数据长度。
3）对电压时间序列数据进行电压拟合分析，确定主导电压分量的各项参数，根据式（20）计算电压幅值变化率的最大值。
4）采用控制参数ζ和ψav减弱邻近电压时间序列数据测量误差的影响，进而计算邻近电压时间序列数据的电压幅值变化率。
5）根据式（23）计算PCMLE，若PCMLE＞0则判定暂态电压失稳；反之则暂态电压稳定，返回步骤1），重复步骤2）～步骤5）。
图3 暂态电压稳定评估流程
Fig.3 Flow chart of transient voltage stability assessment
本节通过修改后IEEE 39节点系统和南方电网实际系统对所提暂态电压稳定评估方法的准确性和有效性进行分析、验证。
修改后IEEE 39节点系统拓扑如图4所示，该测试系统包含10台传统机组，发电机和励磁系统均为4阶模型，总有功功率5 193.50MW，包含新能源1 500MW，柔性直流400MW，总负荷量为5 141.03MW，仿真步长为0.01s（仿真计算机配置：CPU为Core i7-6700HQ，主频2.60GHz，内存8.00GB）。
图4 修改后IEEE 39节点系统
Fig.4 Modified IEEE 39 bus test system
由图4可知，新能源通过升压变压器接入节点30～节点38，其中风电1 000MW和光伏500MW，并在节点39处接入额定电压为800kV的柔性直流系统，传输功率为400MW，其整流侧为定无功功率和定直流电压控制，逆变侧为定有功功率和交流电压控制，可实现与外网的异步互联。
4.1.1 暂态电压稳定评估的准确性分析
为验证所提PCMLE的准确性，以线路4-5的节点5侧发生三相短路故障为例，仿真时长为10s，初始时间窗口长度为D=0.3s，故障开始时刻为0.2s，故障切除时刻为0.44s时暂态电压稳定，故障切除时刻为0.48s时系统暂态电压失稳。暂态电压稳定和失稳两种场景下，所提PCMLE与MLE[31]的对比分析结果如图5和图6所示。
由图5a所示，系统各节点暂态低电压（0.75pu）持续时间均未超过1s，各节点电压幅值的动态响应轨迹经过较长时间的衰减振荡后，逐步趋于稳定。以节点32的MLE轨迹为例来判别系统暂态电压稳定状态。由图5b中PCMLE和MLE轨迹的对比分析可知：本文所提PCMLE轨迹无明显振荡现象，首摆顶点PC_B(1.23s，-0.74)小于零，故在PC_B点可迅速判定系统将趋于稳定，PCMLE在切除故障后判定稳定所需时间为1.23s-0.44s=0.79s；而MLE轨迹在扰动初期振荡较为明显，首摆顶点B(1.16s，1.88)大于零，无法快速判定系统将趋于稳定，直到第2摆顶点时MLE才稳定至零以下，且无稳定判别点可参考（即捕捉回摆顶点特征），只能预先设置固定的观测窗口。针对此场景，需要在故障切除后更长时间才能捕捉到正确的MLE符号，对于其他故障场景，观测时间不合适易导致暂态电压稳定状态的误判，故实际应用中往往需要设置更大的观测窗口。
图5 暂态电压稳定的电压曲线和MLE
Fig.5 Voltage curve and MLE of transient voltage stability
图6 暂态电压失稳的电压曲线和MLE
Fig.6 Voltage curve and MLE of transient voltage instability
由图6a所示，系统中关键节点32暂态电压的动态响应轨迹持续减小并发生振荡，从而导致整个系统的暂态电压失稳，无法趋于稳定值。由图6b中PCMLE和MLE轨迹的对比分析可知：PCMLE轨迹在PC_O(1.36s，0.03)点处监测到MLE过零点，故可在PC_O点迅速判断系统将失去稳定，故障切除后，判定失稳所需时间为0.88s；MLE轨迹需在O(1.78s，0.03)点才能监测到MLE过零点。可见，本文方法能快速判别暂态电压稳定状态，有效缩短观测窗口长度。
进一步，分析初始时间窗口长度对暂态电压稳定评估准确性的影响。以上述暂态电压稳定和失稳场景为例，初始时间窗口长度分别为0.15s、0.3s和0.60s时的MLE轨迹变化情况，如图7所示。
图7 初始时间窗口长度对MLE的影响
Fig. 7 The effect of initial time window length on MLE
由图7可知，初始时间窗口长度的取值主要影响MLE的回摆顶点和首摆幅值。在暂态电压稳定时，MLE轨迹在D=15s和D=30s的首摆过零点，易导致暂态电压稳定状态的误判，需设置较大的观测窗口以确保判别准确性；而PCMLE在不同初始时间窗口长度下均能准确判别暂态电压稳定状态，有效避免了初始时间窗口选取困难的问题。在暂态电压失稳时，PCMLE和MLE方法均可在短时间内快速判别暂态电压稳定状态，同时初始时间窗口长度对MLE轨迹的后期动态特性影响较小。
为验证基于PCMLE的暂态电压稳定实时评估方法的有效性，进一步扩大故障范围，进行三相短路故障N-1扫描，故障开始时刻为0.2s，故障切除时刻分别设为0.28s、0.36s、0.44s和0.52s，计算时间为10s。共216个故障场景的暂态稳定状态评估结果见表1。
表1 修改后IEEE 39节点系统故障测试结果
Tab.1 Test results of faults in modified IEEE 39 bus system
tc/s算例数量暂态电压稳定状态评估准确率(%) 稳定情况失稳情况 0.28540100 0.36468100 0.442628100 0.52747100 共计13383100
由表1可知，采用本文所提暂态电压稳定评估方案，可有效判别暂态电压稳定状态。PCMLE相较于MLE需较短的电压时间序列数据来判别暂态电压稳定状态，克服了MLE需寻找最优观测窗口的不足，较大程度地缩短了计算时间，满足暂态电压稳定在线判别的要求。
4.1.2 鲁棒性分析
由于PMU获取的电压时间序列数据存在一定的测量误差，为验证所提方法的抗干扰能力，本节对上述暂态电压稳定和暂态电压失稳场景分别进行抗噪性能测试。在节点32的电压时间序列数据加入SNR为10dB的高斯噪声来模拟PMU测量误差，如图8所示。
图8 干扰信号对MLE的影响
Fig.8 The effect of interference signal on MLE
由图8可知，暂态电压稳定和暂态电压失稳场景添加干扰信号后所得PCMLE轨迹变化较小，能在故障切除后2.40s-0.44s=1.96s判定系统暂态电压将趋于稳定，故障切除后1.27s-0.48s=0.79s判定系统暂态电压失稳；而MLE在暂态电压稳定场景出现了首摆B(1.36s, 0.60)过零点，并在零点上下振荡，无法准确判断暂态电压稳定状态，暂态电压失稳场景能在故障切除后1.39s-0.48s=0.91s判定失稳。可见，PCMLE相较于MLE具有较强的抗干扰能力，即使测量信号存在SNR为10dB的噪声，仍能准确判别电力系统的暂态电压稳定状态。
4.1.3 暂态电压延时失稳场景的准确性
调整感应电动机负荷比例来模拟暂态电压延时失稳现象，以输电线路4-5的节点5侧发生三相短路故障为例，故障开始和切除时刻分别为0.2s和0.50s，系统将呈现出暂态电压延时失稳现象，D=0.3s。暂态电压延时失稳的电压曲线和MLE轨迹如图9所示。
图9 暂态电压延时失稳的MLE
Fig.9 MLE of transient voltage delay instability
由图9a可知在整个扰动期间最大功角差均未超过180°，暂态功角稳定，而图9b中关键节点32的电压幅值在0.5～2.19s之间始终低于0.75(pu)（超过1s），为典型的暂态电压延时失稳现象。此时图9c中MLE轨迹始终低于零，将导致暂态电压稳定状态的误判，而本文所提PCMLE轨迹在点PC_O(1.71s, 0.05)处过零点，故可判定电力系统暂态电压失稳。可见，本文方法在暂态电压延时失稳场景依然适用。
为验证三相短路故障后实施紧急切负荷控制的暂态电压稳定评估准确性。以输电线路4-5的节点5侧发生三相短路故障并施加紧急切负荷控制为例，故障开始和故障切除时刻分别为0.2s和0.5s，紧急切负荷时刻为0.70s，初始时间窗口长度为D=0.3s，暂态电压稳定评估结果如图10所示。
图10 考虑紧急切负荷控制的MLE曲线
Fig.10 MLE curve for emergency load shedding control
由图10可知：未施加紧急切负荷控制时，关键节点32的电压幅值在0.5～2.19s之间始终低于0.75(pu)（超过1s），为典型的暂态电压延时失稳现象，传统MLE轨迹首摆顶点B(2.05s, -0.17)低于零，易误判为暂态电压稳定，而PCMLE轨迹在点PC_O(1.71s，0.05)处过零点，可判定电力系统暂态电压失稳；施加紧急切负荷控制后，关键节点32的电压幅值在0.5～1.49s之间低于0.75(pu)（未超过1s），可避免出现暂态电压延时失稳，此时MLE首摆顶点B(1.43s, -0.39)和PCMLE首摆顶点PC_B(1.42s，-0.22)均低于零，可判定电力系统暂态电压稳定，进而证明所提方法在考虑故障后紧急切负荷控制场景的有效性。
4.1.4 暂态电压数据的时空分布特性
以输电线路4-5的节点5侧发生三相短路故障为例，故障开始和切除时刻分别为0.2s和0.5s，故障后电压的空间分布情况如图11所示。其中节点14、15和19距离故障点分别为40km、124km和235km，在发生扰动后，随着时间的变化，扰动波及的范围逐渐扩大，随着距离扰动点越远，电压未超过阈值（0.75pu）的延时越大，同时可以看出故障切除后0.2s未超过电压阀值的距离小于40km，而故障切除后1s未超过电压阀值的距离扩大到了235km。
图11 不同时刻节点电压的空间分布
Fig.11 Spatial distribution of node voltage at different times
进一步通过距离故障点分别为40km、124km和235km的节点为例，对比分析PCMLE与传统MLE的暂态电压稳定评估结果，如图12所示。
图12 暂态电压时空分布的MLE轨迹
Fig.12 Transient voltage spatial and temporal distribution of MLE
由图12可知，节点14和节点15的PCMLE轨迹过零点与图11a所示暂态低电压持续时间超过1s的规律一致，而节点14的MLE轨迹始终低于零点，易导致暂态电压稳定评估结果的误判。同时，不同节点PCMLE轨迹的首摆顶点延时时间会随着距离故障点距离的增加而延长，首摆顶点纵轴位置会随着离故障点距离的增加而降低，与图11的时空分布特性一致，而传统MLE没有明显的变化规律。可见，所提PCMLE可有效表征电压时间序列数据的时空分布特性。
4.1.5 新能源和柔性直流对暂态电压的影响
为分析新能源接入和柔性直流传输功率对受端电网暂态电压稳定性的影响，以线路4-14的节点14侧发生三相短路故障为例，在柔性直流传输功率分别为400MW和1 000MW时，研究新能源接入量分别为0MW、1 500MW和3 000MW的极限切除时间，新能源和VSC-HVDC对CCT的影响见表2。
表2 新能源和VSC-HVDC对CCT的影响
Tab.2 The impact of new energy and VSC-HVDC on CCT
分布式电源/MW柔性直流/MW开始时刻/s极限切除时刻/s 04000.20.50 1 5004000.20.40 3 0004000.20.36 01 0000.20.60 1 5001 0000.20.53 3 0001 0000.20.52
由表2可知，当柔性直流传输功率为400MW时，新能源接入量为0MW的极限切除时间为0.50s，并随着新能源接入量的增加而降低，在新能源接入量达到3 000MW后降低到0.36s；当VSC-HVDC传输功率从400MW增加到1 000MW时，新能源接入量为0的极限切除时间由0.50s延长到0.60s，新能源接入量为3 000MW的极限切除时间为0.52s，依然高于VSC-HVDC传输功率为400MW的极限切除时间。可见，新能源接入将减弱暂态电压稳定性，而柔性直流传输功率增加，可改善受端电力系统的暂态电压稳定性。
在VSC-HVDC传输功率为400MW时，临界暂态电压稳定和失稳的PCMLE轨迹如图13所示。
图13 新能源接入量对PCMLE的影响
Fig.13 The impact of new energy access on PCMLE
由图13可知：在临界暂态电压稳定，新能源接入量为0时，本文所提方法可在2.05s时判定系统暂态电压将趋于稳定，新能源接入量分别为1 500MW和3 000MW判定暂态电压将趋于稳定的时刻分别为1.34s和1.30s；在临界暂态电压失稳，新能源接入量为0时，可在2.41s时刻判定暂态电压失稳，新能源接入量分别为1 500MW和3 000MW判定暂态电压失稳的时刻分别为1.70s和1.76s。可知，PCMLE能有效判别不同新能源接入量的暂态电压稳定状态，具有较强的适用性。
本节进一步将所提暂态电压稳定评估方法应用到南方电网实际算例，以验证PCMLE的实用性，系统拓扑如图14所示。
图14 南方电网
Fig.14 China Southern Power Grid
由于牛从直流所连MM站的总负荷量超过了2 700MW，其中感应电动机负荷比例较大，当牛从直流受端系统故障时，易导致MM站附近薄弱母线的暂态电压失稳，进而导致MM站片区的暂态电压崩溃。因此需要对MM站附近暂态电压稳定状态进行实时监测。
首先，分析广东省开机方式和昆柳龙直流传输功率对暂态电压稳定的影响规律，给出以下三种典型运行方式：方式1，LM注入功率2 500MW，CX-LM传输功率1 250MW），方式2，LM检修，粤东机组多发，CX-LM传输功率1 250MW；方式3，LM检修，粤西机组多发，CX-LM传输功率1 250MW。牛从直流受端500kV交流母线故障双线跳闸后，其故障开始和切除时间分别为0.2s和0.3s，MM站附近500kV和220kV母线的暂态低电压持续时间见表3，其中‘—’表示无低于0.75（pu）的电压母线。
表3 500kV交流线路故障后的暂态低电压持续时间
Tab.3 Transient voltage situation after 500kV AC line fault
故障位置/ 500kV电压等级方式1方式2方式3 低压严重母线t/s低压严重母线t/s低压严重母线t/s CX-LM(CX)500kV—0—0MM0.03 CX-LM(LM)LM0.01—0—0 HD-CX(CX)MM0.10MM0.10MM0.29 HD-CX(HD)MM0.38MM0.26MM0.91 CX-MM(CX)—0—0—0 CX-MM(MM)—0—0—0 KW-CX(CX)—0—0—0 BJ-HD(BJ)—0—0MM0.31 BJ-HD(HD)MM0.29MM0.24MM0.64 DP-HD(DP)—0—0—0 DP-HD(HD)MM0.12MM0.06MM0.45
（续）
故障位置/ 500kV电压等级方式1方式2方式3 低压严重母线t/s低压严重母线t/s低压严重母线t/s CX-LM(CX)220kVHY0.43HY0.53HY0.59 CX-LM(LM)GR0.01—0GR0.11 HD-CX(CX)HY0.52HY0.55HY0.80 HD-CX(HD)HY0.60HY0.62—＞10 CX-MM(CX)HY0.40HY0.53HY0.53 CX-MM(MM)HY0.31HY0.34HY0.41 KW-CX(CX)HY0.33HY0.35HY0.43 BJ-HD(BJ)LM0.34LM0.37LM0.62 BJ-HD(HD)HY0.53HY0.57HY1.01 DP-HD(DP)DG0.24DG0.25DG0.32 DP-HD(HD)HY0.43HY0.45HY0.74
由表3可知，对于故障后220kV低压严重母线，运行方式3的220kV母线低电压持续时间较长，BJ-HD（HD）侧故障跳闸后低压严重母线HY的低电压持续时间为1.01s，出现了明显的延时电压失稳现象，HD-CX（HD）侧故障跳闸低电压持续时间超过10s，HD-CX（CX）、BJ-HD（BJ）和DP-HD（HD）故障跳闸后低压严重母线HY和LM的持续时间也都超过了0.6s，可见粤西机组多发易出现暂态电压延时失稳现象；而运行方式1和运行方式2的220kV母线低电压持续时间均有不同程度的减少，除HD-CX（HD）故障跳闸后低电压严重母线HY的持续时间超过了0.6s外，其他线路故障的低电压持续时间均在0.6s以下。同理可知，运行方式3粤西机组多发也易出现500kV母线的暂态电压延时失稳现象，而运行方式1和运行方式2的500kV母线低电压持续时间均有不同程度的减少。可见昆柳龙直流无功电压特性使CX站原CX-BL方向的较近位置出现了一个电压强点，而粤东机组多发改变了电源分布情况，均有利于改善MM站片区的暂态电压稳定性。
然后，通过三种500kV交流母线故障双线跳闸场景来验证所提暂态电压稳定评估方法在实际电网的可行性：①场景1为HD-CX(CX)故障；②场景2为BJ-HD(HD)故障；③场景3为BJ-HD(HD)故障，MM站+200Mvar的STATCOM无功补偿器退出运行。
场景1时三种运行方式低电压严重母线暂态电压稳定评估结果如图15所示。
图15 场景1的电压曲线和MLE
Fig.15 Voltage curves and MLE of scenario 1
由图15a和图13b可知，HD-CX(CX)故障对500kV主网的暂态电压影响较小，三种运行方式下MM站的暂态低电压（0.75pu）持续时间均小0.29s，PCMLE和MLE均未出现过零点情况，故在暂态电压小幅度变化时两种方法均能有效判别暂态电压稳定状态。但HD-CX(CX)故障对220kV网架的暂态电压影响较大，如图15c和图15d所示，本文所提PCMLE轨迹的符号无明显振荡，三种运行方式下的首摆顶点分别为PC_B(1.23s, -0.92)、PC_B(1.26s, -1.08)和PC_B(1.60s, -0.83)均小于零，判定暂态电压将趋于稳定的时刻分别为1.23s、1.26s和1.60s；而MLE轨迹在扰动初期振荡较为明显，三种运行方式均出现大于零情况，易导致暂态电压稳定评估结果的误判。可见，在场景1时PCMLE能有效判别MM站片区的暂态电压稳定状态。
在场景2时三种运行方式低压严重母线的暂态电压稳定评估结果如图16所示。
由图16a和图16b可知，BJ-HD(HD)故障对500kV主网的暂态电压影响较大，三种运行方式下MM站的暂态低电压持续时间均超过0.29s，该场景下所提PCMLE轨迹均小于零，而MLE轨迹出现了过零点情况，易导致暂态电压稳定评估结果的误判；同理，所提PCMLE也适用于场景2下220kV网架的暂态电压稳定评估。可见，在场景2时PCMLE也能有效判别MM站片区的暂态电压稳定状态。
图16 场景2的电压曲线和MLE
Fig.16 Voltage curves and MLE of scenario 2
在场景3时，运行方式3的500kV电压母线暂态电压稳定评估结果如图17所示。由图17可知，STATCOM退出会恶化MM站的暂态电压稳定性，低电压持续时间由0.64s增加到0.83s，STATCOM退出前后的MLE轨迹出现了过零点情况，易导致暂态电压稳定评估结果的误判，而所提PCMLE首摆顶点分别为PC_B(1.34s, -0.73)和PC_B(1.90s, -1.87)均小于零。可见，在STATCOM退出场景，所提PCMLE仍能有效判别MM站片区的暂态电压稳定状态，具有一定指导意义。
图17 场景3的电压曲线和MLE
Fig.17 Voltage curve and MLE of scenario 3
本文提出一种基于PCMLE的电力系统暂态电压稳定评估新方法，通过修改后IEEE 39节点系统和南方电网实际系统进行了仿真分析、验证，相关结论如下：
1）所提方法实现了基于数据驱动的暂态电压稳定状态评估，通过电压时间序列数据在v′-Δv平面上能否汇聚来表征暂态电压稳定状态，将暂态电压稳定评估转换为关键节点电压幅值变化率的PCMLE轨迹问题，具有严格的理论基础。
2）本文所提PCMLE方法能快速判别暂态电压稳定状态，有效缩短观测窗口长度，且适用于暂态电压延时失稳场景，在不同新能源接入量和柔性直流传输功率下，PCMLE依然能快速、准确地实现暂态电压稳定评估状态判别。
3）本文所提PCMLE方法相较于MLE具有较强抗噪能力，在信噪比为10dB的量测信息中仍能准确判别暂态电压稳定状态，且适用于不同故障场景的暂态电压稳定状态判别，具有的较强鲁棒性。
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Transient Voltage Stability Assessment of Power Systems Based on Phase Correction Maximum Lyapunov Exponent
Abstract Wide-area measurement based transient voltage stability assessment is an effective approach to assess the voltage stability in bulk power systems. However, the phase change and measurement error of the voltage time series may result in a false result of transient voltage stability evaluation. To deal with these shortcomings, a phase-corrected maximum Lyapunov exponents (PCMLE) is proposed in this work to assess the transient voltage stability of power systems. Firstly, transient voltage stability evaluation problem was decomposed into MLE analysis problems of the key node voltage deviation curves based on phase space reconstruction and the characteristic curves of the change rate of voltage vs. voltage deviation. Then, a phase-corrected based reconstruct model for the initial time window data while retaining the voltage dynamic process, and the influence of phase change was eliminated. Meanwhile, the shortcoming of setting up MLE sign observation window and initial time window in advance has been overcome. Furthermore, the influence of measurement error was inhibited based on moving average method. With the aid of the proposed PCMLE model, the transient voltage stability assessment with oscillation instability and delay instability can be achieved. Finally, the proposed method is evaluated by a modified IEEE 39 bus system and China Southern Power Grid, and the results verify the accuracy and effectiveness of the proposed approach.
Keywords：Transient voltage stability, maximum Lyapunov exponent, wide area measurement system, phase correction
DOI:10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210098
中图分类号：TM712
王长江 男，1989年生，博士研究生，实验师，研究方向为电力系统安全性和稳定性。E-mail：cjwangneepu@163.com
姜 涛 男，1983年生，博士，教授，博士生导师，研究方s向为电力系统安全性和稳定性、可再生能源集成、综合能源系统。E-mail：electricpowersys@163.com（通信作者）
国家自然科学基金委员会-国家电网公司智能电网联合基金（U2066208）和智能电网保护和运行控制国家重点实验室（SGNR000KJJS1907538）资助项目。
收稿日期 2020-11-09
改稿日期 2021-04-09
（编辑 赫蕾）