图1 特高压变压器场路模型
Fig.1 Field-circuit model of UHV transformer
摘要 为了快速而准确地分析特高压变压器负载下直流偏磁对各绕组电流的影响，基于棱边有限元法建立特高压变压器的时域场路耦合模型，在磁场模型中根据能量扰动原理，通过能量增量计算动态电感，在电路模型中利用动态电感参数建立瞬态电路偏微分方程模型并应用四阶龙格库塔法进行求解。针对特高压变压器大电感、小电阻带来的极为漫长的过渡过程以及直流偏磁计算易被忽略的难点，通过在电路模型中增加串联电阻，使达到稳态的时间大大缩短，并通过电压迭代补偿，有效消除串联电阻值导致的计算偏差，计算特高压变压器负载运行时受直流偏磁影响下的励磁电流与各绕组电流，并分析不同直流偏置电流对特高压变压器各绕组电流的影响。通过搭建与特高压变压器相同的铁心结构以及高、中、低压侧具备相同绕组匝数比和容量关系的缩比模型直流偏磁试验平台，验证了该文所提模型的正确性。
关键词：特高压变压器 直流偏磁 棱边有限元场路耦合模型 串联电阻 电压补偿 负载运行 缩比模型
我国能源储备和电力负荷分布极不均衡，随着风电和太阳能等清洁能源的大规模开发，需要能源大范围配置，因此迫切需要发展远距离大容量的输电技术。特高压输电具有距离远、容量大、损耗低、占地省等显著优势，是解决我国电网和能源发展难题的重要选择[1-3]。特高压变压器是特高压输电系统的关键设备之一，它的安全稳定对特高压输电系统至关重要。然而采用由单相自耦变压器组成的特高压变压器组更容易受到偏磁直流电流的影响[4]。变压器的直流偏磁是一种非正常的工作状态，变压器绕组中产生直流偏磁的原因主要是来自太阳磁暴引起的地磁感应电流[5-6]、高压直流输电单极大地回路运行侵入交流系统中的直流电流[7]以及由非线性负载产生的流入电网中的直流分量[8]。发生较大地磁暴事件时，测量到一台735kV、550MV·A的单相自耦变压器中流入的偏置电流达到约每相100A，并持续长达1min[9]。直流流入变压器后将在铁心中产生直流磁通，导致变压器铁心半周饱和、励磁电流严重畸变、局部过热、振动噪声增加等一系列问题[10-15]，对电网的安全稳定运行产生了严重的威胁。
国内外已经有很多文献对变压器直流偏磁的问题展开了深入的研究与分析，大多通过试验测量和仿真计算来实现对变压器直流偏磁的电磁特性的研究。文献[14,16]基于J-A模型理论，从能量平衡原理的角度，利用该模型对无直流偏磁及直流偏磁下的变压器铁心励磁电流、磁滞回线和振动噪声进行仿真模拟及试验研究。文献[17]基于叠片铁心与单相三柱变压器进行直流偏磁试验，依据直流偏磁条件下电路与磁路的稳态特征，将谐波平衡法引入到不同结构的变压器电路-磁路耦合模型。文献[18]对比了节点有限元法与棱边有限元法，得出棱边有限元法可以显著提高计算精度的结论，并建立了基于棱边有限元的变压器场路耦合瞬态模型。文献[19]在文献[18]的基础上进行了直流偏磁计算与分析。文献[20]基于产品级的叠片铁心模型，模拟直流偏磁变压器铁心的实际工作状态，研究了因高压直流输电引起电力变压器直流偏磁工作条件下，变压器励磁电流的实验测量方法及其仿真计算与分析。文献[21]建立了特高压变压器模型，通过仿真计算了不同直流偏磁对特高压变压器空载情况时励磁电流和无功损耗的影响。然而，目前关于特高压变压器的直流偏磁的研究仅考虑空载时的直流偏磁，只需考虑高压侧回路情况，而在实际负载运行情况，特高压自耦变压器磁路结构和电气连接更为复杂，高、中和低压侧的回路之间互相影响，仿真模型更为复杂，均给特高压变压器的负载运行时的直流偏磁特性分析增加了困难，以至于目前国内外罕有文献针对1 000 kV大型自耦变压器遭受直流偏磁负载情况时的电磁特性进行详细深入的分析研究。
本文根据特高压变压器实际参数，建立特高压变压器场路耦合模型，针对直流分量易被忽略的难点，利用串联电阻法和补偿电压法保障直流偏磁电流求解的快速性和准确性。对特高压变压器额定运行状态的直流偏磁情况进行了仿真计算，分析在发生严重地磁暴情况下直流偏磁对额定运行时各绕组电流的影响，通过搭建与特高压变压器相同的铁心结构，高、中、低压侧具备相同绕组匝数比和容量关系的缩比模型直流偏磁试验平台，验证了本文所提模型的正确性。为特高压变压器在实际负载运行情况下的直流偏磁问题以及对负载情况下的直流偏磁防护提供参考依据。
近年来，场路耦合法已经广泛应用于变压器的电磁暂态分析。基于棱边有限元法[18]的时域场路耦合模型将变压器的电磁计算分为场和路的耦合计算，其磁场模型和电路模型分别如图1a和图1b所示，磁场模型中铁心所用到的硅钢片牌号为27ZH095，其B-H曲线如图1c所示。以磁场模型计算动态电感，以电路模型计算瞬态电流。动态电感和瞬态电流为场路耦合模型的两个关键耦合参数。
图1 特高压变压器场路模型
Fig.1 Field-circuit model of UHV transformer
棱边有限元法采用矢量磁位A，根据Maxwell得到非线性磁场方程为
（1）式中，μ为磁导率；J为励磁电流密度。
棱边单元的自由度为场矢量沿着棱边l的环量Al，采用矢量形状函数Nl有
（2）式中，
为棱边单元数；{Mn, n=1, 2, ××× , nn}为基函数序列，由相关单元形状函数Al对应叠加形成，n为基函数序列通项编号，nn为总项数（棱边数）。对式（2）应用格林定理，可得伽辽金加权余量方程为
（3）
式中，Mm为权函数序列，且权函数与基函数相同。将棱边元的权函数代入式（3），针对全部权函数，将加权余量方程离散形成代数方程组，求解可得所有棱边上的矢量磁位A。在此基础上根据满足的边界条件，可以得到磁场强度H和磁感应强度B。
在直流偏磁的场路耦合模型计算时，为了准确计算励磁电流的变化情况，需使用绕组线圈的动态电感参数反映铁心饱和程度。针对非线性电感模型，其两端电压
为
（4）式中，ψ为线圈磁链矢量；i为绕组电流矢量；LD为等效动态电感。
动态电感原件所在回路中的电路微分方程为
（5）式中，u为电压向量；R为串联电阻；r为绕组电阻。
根据能量扰动原理，设线圈绕组电流变化量为Δi，则变压器内部磁场能量的变化量为
（6）该电流变化量Δi引起的电源能量变化量为
（7）
根据能量守恒原理得到ΔW1=ΔW2，联立式（6）和式（7），便可以求解得到动态电感LD。由于所涉及的自感和互感均为动态电感，因此统一记为L。
将动态电感代入式（5），直流偏磁下，特高压自耦变压器带负载运行时电路微分方程矩阵形式为
（8）式中，Um为交流电压源；UDC为加入的直流电压源；L1、L2、L3、M12、M23、M13分别为串联绕组、公共绕组和低压绕组的动态自感和彼此间的动态互感；r1、r2、r3分别为串联绕组、公共绕组和低压绕组的电阻；RL2和RL3分别为中压侧和低压侧的负载电阻。
励磁电流表达式可通过各绕组电流计算而得，参照图1b中各绕组电流方向，由各绕组电流计算所得励磁电流表达式为
（9）式中，N1、N2、N3分别为串联、公共、低压绕组匝数。
场路耦合法中所得方程为微分方程，结合精度和计算量分析，此次计算中选取四阶龙格-库塔法作为求解电压微分方程的数值方法，该方法精度和计算量较理想[18]。经典四阶龙格-库塔公式为
（10）式中，h为步长；K1~K4为一个步长内不同时刻的四个电流斜率计算值；ik、ik+1分别为tk、tk+1时刻电流值。时域场路耦合模型将非线性磁场有限元求解与时域电路计算进行迭代耦合，步骤如下：
（1）输入变压器磁场模型线圈电流ik，基于棱边有限元法计算磁场，并通过能量扰动原理计算动态电感L。
（2）将L代入电路模型的微分方程，使用四阶龙格库塔法计算ik+1。
（3）将ik+1作为新的输入电流，进行下一时刻的磁场求解。
（4）当励磁电流与上一周期相同时刻电流值的变化率小于千分之一，认为电流已达到稳态，迭代终止。
特高压变压器具有大电感、小电阻、匝数多、磁导率高（非饱和区）、磁化曲线从非饱和区进入饱和区速度快等特点，这些特点导致过渡过程十分漫长。而利用场路耦合模型求解微分方程组，步长选取1/200的周期或更小，这将给仿真计算带来巨大的困难。首先，大电感、小电阻所对应的时间常数很大，这在仿真计算的过程中需要大量的计算时间，占用大量的内存；其次，直流电流经过小电阻产生的直流电压相比于1 000kV的电压过于微小，容易使在循环迭代计算时直流分量被忽略，导致计算错误。通过使用串联电阻与电压补偿法[4]，一方面串联电阻减小了时间常数，缩短了过渡过程，为仿真计算节省大量的时间和内存；另一方面，通过电压迭代补偿，使特高压变压器绕组两端的电压恢复到额定电压值，保证了计算初始条件的一致性。从而在大大提高计算效率的情况下，仍能保持良好的计算精度。
如图1b电路中所示，在高压侧串联电阻，根据式（11），时间常数τ可以通过增大电阻的方式而大大减小，从而大大减少达到稳态所需要的过渡时间。
（11） 图2所示为直流偏置电流为50A时串联200Ω和1 000Ω所需要的计算时间，随着串联电阻的增大，达到稳态的时间从0.289 2s减少至0.128 6s。
图2 不同串联电阻下达到稳定的励磁电流波形
Fig.2 Excitation current with different series resistance
除此之外，通过串联电阻带来的另外一个优势在于，在计算直流偏磁时，由于特高压变压器内阻极小，即使通入100A的偏磁电流，电路中的直流电压也不到100V，与额定电压1 000kV相比差了4个数量级，在电压源激励的场路耦合模型中，直流偏置电压往往易被忽略而造成计算结果错误，串联的大电阻正好起到放大直流偏置电压的效果，从而避免计算错误。
串联适当的电阻可以加快计算效率，然而在电阻上产生的压降会使得变压器绕组两端电压降低，尤其是在负载运行时，串联电阻上流过的绕组电流将会产生一个不可忽略的压降，因此，为了保障特高压变压器绕组两端的电压不变，必须在直流偏磁计算中对输入电源电压进行补偿修正。补偿原理如下。
（1）取稳定后第k次计算得到励磁电流的一个完整周期的电流瞬时值。
（2）补偿电压的值等于除去电流瞬时值中的直流分量与电阻R相乘。
（3）将补偿电压与一次侧的交流电压源和直流电压源相加，进行电压补偿后的第k+1次计算。
（4）直至串联电阻后电压u1与特高压变压器额定电压满足判据。
补偿电压计算公式为
（12）式中，ik为第k次仿真计算得到的励磁电流瞬时值；IkDC为第k次仿真计算中电流的直流分量；uk+1为第k+1次计算电压补偿值。
电压迭代补偿结束判据公式为
（13） 以直流偏置电流为50A，串联绕组为500Ω为例，经过电压补偿之后，串联电阻后电压如图3a所示，经过电压补偿后的一个稳定周期的励磁电流如图3b所示。由图3可知，通过电压补偿法，确保特高压变压器两端的电压恢复至额定电压激励条件，可以有效地弥补串联电阻所带来的电压偏差。
图3 电压迭代补偿后的电压与励磁电流波形
Fig.3 Voltage and current waveforms under voltage compensation
为了验证串联电阻对直流偏磁计算准确性的影响，分别在通入0A、20A、50A、100A的直流偏置电流的情况下，在高压侧分别串联200Ω、500Ω和1 000Ω电阻。理论上，当绕组电流计算稳定之后，其中的直流分量应该等于电源侧所加入的直流分量，因此，可通过对比通入直流量与高压侧绕组电流中的直流分量来验证计算的准确性。
由表1可知，在通入不同直流偏置电流的情况下，随着串联电阻的增大，高压绕组中直流分量成分逐渐向所加入的偏置电流值逼近。以通入100A偏置电流为例，计算误差从串联200Ω的6.98%下降至串联1 000Ω时的0.69%。由此可以得出结论：通过串联电阻和电压补偿法，可以有效地降低计算误差，使得计算精度得到明显的提高。
表1 不同串联电阻下对应的直流成分
Tab.1 DC components with different series resistance
IDC/A直流电流分量/A R=200ΩR=500ΩR=1 000Ω 0-1.147 5-0.612 5-0.413 6 2015.248 618.512 419.252 2 5044.587 547.451 748.818 2 10093.013 797.545 599.306 1
当发生较强的地磁暴事件时，测量到一台735kV、550MV·A的单相自耦变压器中流入的偏置电流可达每相100A[9]。本文在棱边法有限元时域场路耦合模型的基础上，利用串联电阻和电压补偿法，对特高压变压器带负载运行时遭受直流偏置电流影响后各绕组电流的变化情况进行计算与分析。
1 000 kV特高压自耦变压器具体参数见表2。由表中特高压变压器的容量关系可知，特高压变压器容量比为3∶3∶1，当低压绕组满载运行、中压绕组带2/3负载运行时，特高压变压器达到额定运行状态。为研究特高压变压器负载运行时各绕组电流的直流偏磁特性，依次加入直流偏置电流0A、20A、50A、80A、100A，并对稳定后的电流进行电压补偿之后，计算并分析各绕组电流受直流偏置电流影响下的变化情况。
表2 特高压自耦变压器参数
Tab.2 Parameters of UHV transformer
参数数值（型号） 变压器型号ODFPS-1000000/1000 额定容量/(MV×A)1000/1000/334 额定频率/Hz50 额定电压/kV 额定电流/A1649.57/3299.14/3036.3 串联/公共/低压绕组匝数678/678/246 铁心结构2主柱2旁柱 中压/低压侧额定阻抗/Ω91.9/36.2
随着直流偏置电流的增加，正半轴磁路饱和不断严重，使得励磁阻抗不断减小，因此励磁电流波形畸变越严重，正半轴幅值随着铁心饱和程度的增加而不断增加，负半轴直流偏置电流对磁路起去磁作用，导致励磁阻抗增大，励磁电流减小，如图4a所示。
图4 不同直流偏置电流下的励磁电流谐波幅值
Fig.4 Harmonics magnitude of excitation current under DC bias
对励磁电流的波形进行傅里叶变换，求得的不同直流偏置电流下励磁电流各次谐波幅值如图4b所示，其中谐波次数中0代表直流成分，1代表基波，其余数字分别代表各次谐波。随着直流偏置电流的引入，励磁电流谐波中出现了偶次谐波，而且随着直流偏置电流的增大，各次谐波逐渐增加，二次、三次谐波增速几乎保持不变，而高次谐波的增速逐渐放缓。
在直流偏磁情况下，各绕组波形如图5a、图5b和图5c所示，其中角标S、C、L分别代表串联绕组、公共绕组、低压绕组电流，后面的数字代表直流偏置电流的大小。实线代表无直流偏置电流时各绕组的额定电流，虚线代表直流偏磁下的各绕组电流，图5中椭圆圈表示各绕组畸变最严重区域。为了准确描述绕组电流畸变情况，对一个周期的不同直流偏磁下的绕组电流实时畸变率进行计算，以100A直流偏磁下的绕组电流和额定电流为例，实时畸变率为
（14）
图5 负载运行时不同直流偏置电流的各绕组电流波形
Fig.5 Winding current with load under DC bias current
不同绕组的实时畸变率如图6所示，结合图5和图6内容可知：
（1）通入直流偏置电流后，特高压变压器串联、公共、低压绕组电流均发生了不同程度的畸变，随着直流偏置电流的增大，各绕组畸变程度趋于严重，公共绕组畸变程度最严重，低压绕组畸变程度最小。
图6 直流偏置电流为100A时绕组电流实时畸变率
Fig.6 Instantaneous distortion rate of winding current under 100 A DC bias current
（2）在0~5ms阶段，各绕组畸变程度不断增加，而在5~10ms阶段，各绕组畸变程度逐渐减小。10ms时刻之后，各绕组畸变程度十分微小，可以忽略。
造成绕组电流畸变的原因为：
（1）对于串联绕组，通过图1b高压侧电路分析可知，当处于第一个1/4周期时，随着直流偏置电流的入侵，产生的直流磁通和处于上升阶段的交流磁通综合作用，磁路饱和程度不断加剧，磁导率持续下降，励磁阻抗不断变小，绕组电流持续增加；当处于第二个1/4周期时，交流磁通从最大值开始变小，磁路饱和程度开始下降，磁导率开始回升，励磁阻抗重新增大，使得绕组电流畸变程度缩小，逐渐恢复到额定状态。
（2）对于低压绕组电流，因为直流分量无法进入低压绕组，因此，磁通变化率和感应电动势保持不变，低压绕组电流的变化取决于漏阻抗的变化，随着直流偏置电流的增加，导致磁路饱和，漏阻抗增加，因此低压绕组电流变小。由图中受直流偏置电流影响的低压绕组电流与额定电流的对比可知，低压绕组的绝对值在畸变区处小于额定电流，当进入后1/2周期，直流偏磁影响十分微弱，绕组电流也逐渐恢复为额定电流。图6中的电流畸变情况与理论分析一致。
对通入不同直流偏置电流后的各绕组电流波形进行快速傅里叶变换，各绕组的各次谐波幅值如图7所示。由于7次谐波之后的谐波幅值很小，因此图7只展示到7次谐波。随着直流偏置电流的增加，串联、公共、低压绕组谐波含量也随之增加。串联、公共绕组电流中所含谐波主要为2、3、4次，且2次谐波幅值最大，与励磁电流谐波变化一致；低压绕组中所含主要谐波为2、3、4次，其中3次谐波最大，其他谐波随着直流偏置电流的增加，呈先增大后减小的趋势；绕组电流中2次谐波与直流偏置电流基本呈线性增加关系，其他各次谐波增速均随直流偏置电流的增大而放缓。
图7 各绕组各次谐波幅值与直流偏置电流图
Fig.7 Harmonics magnitude under different DC bias current
为了验证本文模型的正确性，搭建了特高压变压器缩比模型直流偏磁试验平台，利用一台额定容量为5kV·A，额定电压为360V的单相四柱三绕组自耦变压器进行直流偏磁试验，其铁心结构、联结方式与特高压变压器保持一致，铁心与窗口尺寸为特高压变压器的1/12，尺寸为661mm×100mm× 356mm。其直流偏磁试验平台如图8所示，试验平台所涉及的设备型号及参数见表3。
图8 特高压变压器缩比模型直流偏磁试验平台
Fig.8 Test rig of scaled-reduced transformer under DC bias
表3 试验设备型号及参数
Tab.3 Equipment configuration of test rig
名称型号及参数 调压器额定容量10kV×A，输出电压0~300V 隔离变压器DG-10/0.22，额定容量10kV·A，输入220V，输出360V 直流电源Tektronix PWS 2326，输出直流电流0~6A，输出直流电压0~32V 电力电容器BSMJ-0.4-60-1，电容值为1 194μF，共八台并联使用，并联后阻抗值为0.3Ω 功率分析仪Fluke Norma 5000
分别进行了特高压变压器缩比模型变压器直流偏磁空载和负载试验，对空载励磁电流和额定负载下的高、中、低压侧电流进行了测试。其中负载试验分别在缩比模型变压器的中压、低压侧带上额定电阻负载，使变压器达到额定运行状态。将未加直流偏置电流情况下的空载励磁电流和额定运行时各绕组电流的实测值与仿真结果进行了对比，如图9所示。图10展示了当直流偏置电流为3A时，励磁电流和各绕组电流的仿真计算值与实测数据对比。
通过分析可得，不加直流偏置电流时，仿真计算结果和实测结果相比，励磁电流的峰值和有效值的相对偏差分别为2.2%和4.2%；串联绕组电流的峰值和有效值相对偏差分别为0.2%和2.3%；公共绕组的二者相对偏差为3.6%和3.2%；低压绕组的二者偏差为0.7%和2.4%。以通入3A直流偏置电流为例，其仿真计算结果和实测结果相比，直流偏磁情况下励磁电流的峰值与有效值的相对偏差为5.9%和2.4%；串联绕组二者相对偏差为5.4%和0.5%；公共绕组二者相对偏差为5.0%和0.2%；低压绕组二者相对偏差为1.6%和0.5%。
图9 不加直流时仿真计算与实测的各绕组电流波形对比
Fig.9 The current of calculation and test without DC bias
图10 直流偏磁下电流波形仿真计算与实测值的对比
Fig.10 The current of calculation and test under DC bias
上述仿真结果和试验数据的对比表明，利用本文所提出的结合串联电阻和电压补偿法的场路耦合有限元模型进行变压器直流偏磁计算时，该模型具备较高的准确度。
本文基于棱边法时域场路耦合有限元模型，结合串联电阻和电压补偿法对特高压变压器负载运行情况进行了直流偏磁计算与分析，对不同直流偏磁程度下绕组电流的畸变程度进行了对比研究，并搭建特高压变压器缩比模型直流偏磁试验平台对本文模型进行了验证。
研究表明，各绕组电流的畸变程度会随着直流偏磁的增加而不断加剧，直流偏磁对各绕组电流造成的畸变主要集中在前半个周期，后半个周期影响较小；还将造成各次谐波的大量增加，尤其是2、3、4次谐波最为严重；各绕组电流的畸变区域与励磁电流的畸变区域几乎一致，其谐波的变化规律也大致相同，说明负载时绕组电流的变化很大程度取决于励磁电流的变化。然而本文仅分析了阻性负载的情况，之后将对不同类型的负载情况开展更多的研究。
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Research on Winding Current of UHV Transformer under DC-Bias
Abstract To analyze the DC bias effects on winding current of ultra-high voltage (UHV) transformer with high accuracy and reduced transient process, the field-circuit coupling model of UHV transformer is established based on the edge finite element method. In the magnetic field model, the dynamic inductance is calculated according to the energy increment principle according to the energy disturbance principle. The transient partial differential equation model of circuit is established by using the dynamic inductance parameters in the circuit model and solved by the fourth-order Runge-Kutta method. Due to the characteristic of large inductance to small resistance in UHV autotransformer, which can easily lead to not only a long transient process but also the inundation of the small DC voltage relative to the 1000 kV AC voltage during the iterative calculation. By adding series resistance in the circuit model, the transient process is greatly shortened, and the calculation deviation caused by increasing series resistance value is effectively eliminated by voltage iterative compensation. The excitation currents and winding currents of UHV transformer under the influence of DC bias are calculated, and the influence of different DC bias currents on the windings of UHV transformer is also analyzed. The correctness of the model is verified by a scale-reduced transformer.
keywords：UHV transformer, DC-bias, edge finite element field-circuit coupling, series resistance, voltage compensation, load condition, scale-reduced model
PDOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.190293
中图分类号：TM153; TM41
李 冰 男，1991年生，博士研究生，研究方向为直流偏磁下变压器的电磁特性以及振动噪声。E-mail：ncepu_lb@163.com（通信作者）
王泽忠 男，1960年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁场分析计算、电力系统电磁兼容和电磁测量等。E-mail：wzzh@ncepu.edu.cn
国家重点研发计划（2016YFC0800100）和中央高校基本科研业务费专项资金（2019QN105）资助项目。
收稿日期2019-03-21
改稿日期 2019-07-12
（编辑 郭丽军）