（1）摘要 谐波激励条件下，表征铁心磁性能的磁滞回线发生明显畸变甚至出现局部回环，导致铁心损耗显著增加。为精确模拟和计算谐波激励条件下铁磁材料的磁滞特性和铁心损耗，该文在传统静态Energetic谐波磁滞模型的基础上，依据损耗分离理论，建立综合考虑谐波特征的动态Energetic谐波磁滞模型。实现人工鱼群算法结合归一化处理技术对传统静态Energetic谐波磁滞模型参数的辨识，并提出一种可以有效考虑局部回环影响的动态损耗系数求解方法。搭建磁通密度波形可控的变压器铁心磁性能测试平台，对不同谐波阶次、谐波含量、谐波相位激励条件下的变压器铁心磁滞特性和损耗特性进行实验研究。通过模型仿真结果与实验数据的对比，验证了该文所建动态Energetic谐波磁滞模型的正确性和有效性。
关键词：谐波激励 局部回环 动态Energetic谐波磁滞模型 铁心损耗 磁滞特性
在交流励磁条件下，变压器铁心内部磁场的变化会影响磁性材料内部磁畴和磁畴壁的运动，使畴壁发生弯曲和阶跃、磁畴发生转动。其中，由部分磁畴转动和磁畴壁阶跃带来的能量变化是不可逆的，会引起变压器局部过热，降低变压器使用寿命，并可能危害到电网的安全稳定运行[1-2]。随着电力电子器件在电网中的大量使用和控制技术的迅猛发展，越来越多的电气设备运行于谐波励磁环境[3-7]。因此，精确地模拟谐波激励条件下变压器铁心的磁性能，分析和计算变压器铁心的磁损耗是十分必要的。
目前，针对谐波激励条件下变压器铁心损耗的研究方法主要有损耗公式法和磁滞建模方法。损耗公式法是在Steinmetz经验公式、Jordan公式或Bertotti损耗公式的基础上，通过谐波激励下铁心损耗实验，对上述公式加以修正并对参数进行辨识，得到不同形式的谐波激励条件下铁心损耗表达式[8]。文献[9]对损耗经验公式进行了改进，利用电磁场有限元软件对变压器铁心模型进行剖分解场，并基于仿真模型中各单元的场量，采用改进后的损耗经验公式计算铁心损耗。有限元法虽然可以考虑铁心中磁通密度分布的不均匀性，但是该方法建模较为复杂，且网格剖分后再将单元场量代入损耗公式计算工作量较大。文献[10]搭建了任意磁通密度波形可控的谐波激励下电工钢磁性能测试平台，通过实验数据对损耗经验公式进行修正进而求得铁心损耗。但此方法仍需要大量实验数据确定其公式系数。
磁滞建模方法主要有Preisach模型、J-A（Jiles- Atherton）模型和Energetic模型等。Preisach模型可以准确描述材料磁滞特性，精度较高[11-13]，但需要对大量算子模型进行数值积分，计算时间较长。J-A模型相对于Preisach模型表达式较为简单、计算耗时较短，但精度相对较低，且对于谐波激励下的闭合小回环无法精确模拟[14-16]。相较于以上两种模型，Energetic模型表达形式更为简洁、计算效率更高，可以较为准确地模拟闭合小回环，且还可考虑温度、应力、磁化方向等因素对磁滞特性的影响，因此具有广阔的应用前景[17-21]。
本文在传统静态Energetic模型的基础上，依据损耗分离理论，引入动态损耗分量，并将傅里叶分解后的磁通密度作为输入量，推导建立谐波激励条件下铁心动态Energetic模型表征方程。利用人工鱼群算法和改进的动态损耗系数求解方法提取和计算模型参数，并将其用于谐波激励条件下磁滞回线的模拟和铁心磁损耗的计算。搭建磁通密度波形可控的变压器铁心磁性能测试平台，获得不同阶次、不同含量、不同相位谐波激励条件下变压器铁心损耗和磁性能数据。将模型计算结果与实验数据进行对比验证，结果充分验证了本文所建模型的正确性和有效性。
传统静态Energetic模型由学者H. Hauser提出，是一种描述铁磁材料内部微观能量守恒并应用磁畴统计理论解释磁滞现象的唯象学模型。该模型最初用于模拟取向电工钢不同钉扎方向的磁化特性，并已扩展到各向同性铁磁材料模拟当中[17-21]。
传统静态Energetic模型将铁磁材料的总能量密度WT为
（1）式中，WH为磁场能量密度，描述了铁磁材料外部所加磁场强度与其内部磁化强度间的相互作用；Wd为退磁场能量密度，描述了铁磁材料退磁现象；Wr为可逆磁场能量密度，描述了磁畴和畴壁的可逆运动特征；Wl为不可逆磁场能量密度，用于描述畴壁的阶跃现象和磁畴的不可逆运动特征。
基于铁磁材料内部能量最小化原理，并通过统计磁畴的分布，得到传统静态Energetic模型[21]为
（2）式中，等式右端第一项表征材料的线性特征；第二项表征材料的非线性特征；第三项表征材料的磁滞特征，如剩磁、矫顽力等；H为实际磁场强度；Hd为退磁场强度；m为相对磁化强度；m0为前个磁场反向点的m值；Hr为可逆磁场强度；Hl为不可逆磁场强度；Ne为退磁系数；Ms为饱和磁化强度；k为磁滞损耗系数；m0为真空磁导率；cr为磁畴的几何尺寸系数；q为自适应常系数，其与钉扎点密度有关；k 为磁场反向函数，表示材料磁化状态对反向点的影响，表达式为
（3）
式中，k0为前一磁场反向点的k 值。
（4）式中，h为比例常系数，其与饱和磁场有关；g为表征材料各向异性自适应常系数。
（5）
式中，Ms为饱和磁化强度；M为实际磁化强度。
利用传统静态Energetic模型模拟磁滞回线时，计算总是从初始磁化曲线原点（m0=0、k =1）开始，随着M的增加，相对应的总磁场强度H可被求出。当增加到磁场反向点处时，参数m0取前一个反向点的m值，k 则通过式（3）进行更新。每当到达磁场反向点时均进行上述迭代来更新m、k 值。
传统静态Energetic模型待辨识的模型参数分别为Ms、k、Ne、h、g、q、cr。其中，由于铁磁材料的饱和磁极化强度J≈2T，因此饱和磁化强度
≈1.6×106A/m，而参数k则可由
求得[17]。
从上述分析可以看出，传统静态Energetic模型并未考虑与频率有关的动态损耗分量，无法准确描述谐波激励条件下变压器铁心的动态磁化过程和动态损耗特性。因此，本文在传统静态Energetic模型基础上推导建立了一种考虑动态损耗分量且适用于谐波激励条件的动态Energetic模型。
经典损耗分离理论将铁磁材料的总能量损耗分为磁滞损耗、涡流损耗和异常损耗。其中，磁滞损耗因与磁化频率的大小无关，又称为静态损耗；涡流损耗和异常损耗在单位磁化周期内的大小则随频率的增大而增大[22]。
单位体积的铁磁材料在交变磁场中一个磁化周期内产生的总磁损耗W可以表示为
（6）式中，Whys为铁磁材料磁化一周的磁滞损耗（数值上等于直流磁滞回线的面积）；Weddy与Wanom分别为铁磁材料磁化一周的涡流损耗和异常损耗。
考虑到获得完全直流条件下的直流磁滞回线存在困难，因此，常选用较低频率下实测得到的磁滞回线近似作为直流磁滞回线。本文选择的磁化频率为5Hz[22]。
为建立谐波激励条件下铁心动态Energetic模型，本文依据损耗分离理论，将动态损耗分量引入传统静态Energetic模型中，获得动态Energetic模型总能量密度方程为
（7）谐波激励条件下，铁磁材料表现出更为复杂的动态损耗特性，如何对其进行合理描述是模拟谐波磁滞回线及损耗预测的关键。对此，本文提出采用以下方法求解谐波激励时的涡流损耗与异常损耗。
将输入变量磁通密度B(t)进行傅里叶展开，有
（8）式中，fm为基波频率；Bn和jn分别为第n次谐波分量的磁通密度幅值和相位。当n=1时，B1为基波分量的磁通密度幅值，j1=0°。
B(t)关于时间的导数用
表示，有
（9）单位磁化周期内的涡流损耗可表示为
（10）式中，d为铁心叠片厚度；r 为铁磁材料电阻率；b为铁心形状参数；ke为涡流损耗系数，
。
单位磁化周期内的异常损耗可表示为
（11）
式中，G为无量纲常数；S为铁磁材料截面积；V0为描述局部矫顽磁场的统计分布参数；ka为异常损耗系数，
。
推导获得谐波激励条件下的涡流及异常损耗对应的磁场强度表达式，并依据场分离理论[23]，建立谐波激励条件下动态Energetic模型表征方程，有
（12）其中
（13）
（14）式中，Htotal为总磁场强度；Hhys为静态磁场强度，即传统静态Energetic模型表达式；Heddy为涡流损耗磁场强度；Hanom为异常损耗磁场强度；dB为符号系数，其值为dB=sign(dB/dt)，当dB/dt为正值时，dB=1，当dB/dt为负值时，dB=-1。
谐波激励条件下动态Energetic模型中需要辨识和计算的共有9个参数：表征传统静态Energetic 模型的参数（Ms、k、Ne、h、g、q、cr）和动态损耗系数（ke、ka）。其中，待辨识的静态模型参数为Ne、h、g、q、cr。
传统静态Energetic模型参数的求解方法有两类：①公式法；②拟合法。公式法是依据铁磁材料实测磁滞回线，通过M=
将其转化为M-H回线，提取M-H回线特征值（矫顽力Hc、剩余磁化强度Mr、外加磁场最大值点（Hm, Mm）、主磁滞回环膝点附近任意点（Hg，Mg）、初始磁化率
、矫顽力点磁化率
），并将上述特征值代入文献[20]式（44）～式（49）中求解获得静态模型参数组合。但利用公式法求解模型参数时需求解超越方程，求解过程较为复杂，计算量较大，且某些参数只能通过近似公式获得，求解精度较低，很大程度上限制了该方法的应用[24]。
拟合法则是利用实测磁滞回线与仿真结果间误差最小为目标来构建目标函数，再通过优化算法寻优辨识获得最优参数组合。目标函数一般采用方均根误差建立[25]。
由于传统静态Energetic模型参数较多，且模型参数的取值范围（以文献[24]中的Ne、Ms为例，Ne
(1×10-7, 1×10-4)，Ms(1×106, 2×106)）存在明显的数量级差异，如果不对辨识范围进行处理，直接采用优化算法对参数进行辨识，会使得寻优范围增大、寻优时间增长，进而影响最终辨识结果。为了降低数据处理难度，提高优化算法的收敛速度与辨识精度，本文对传统静态Energetic模型参数进行归一化处理，这样可将参数的取值范围量化到（0, 1）区间内（以模型参数Ne为例），有
（15）式中，Ne0为归一化处理后的传统静态Energetic模型参数Ne值；Nei为归一化之前的传统静态Energetic模型参数Ne值；Nemin为传统静态Energetic模型参数Ne取值范围的最小值；Nemax为传统静态Energetic模型参数Ne取值范围的最大值。需要指出，经过归一化处理后的参数辨识结果也会位于区间（0, 1），需要对参数辨识结果进行归一化的逆运算，使得其具有原先的物理单位和量纲。
本文采用人工鱼群优化算法对传统静态Energetic模型参数进行辨识。辨识过程包括执行觅食行为、随机行为、群聚行为和追尾行为寻找最优解[26]。
本文将求解实测磁滞回线磁场强度与仿真磁滞回线磁场强度的方均根误差作为目标函数适应度值（fit），目标函数表达式为
（16）式中，Hmea为实测磁场强度；Hsim为仿真磁场强度；N为采样点数。
现有文献主要针对正弦激励和直流偏磁工况下动态损耗系数的求解问题进行研究，而对于谐波激励条件下动态损耗系数的求解方法尚未见系统研究报道。
相对于正弦或偏磁激励条件，谐波激励时磁化磁场特征具有更加明显的复杂性。为了合理表征磁通密度波形中局部波动对铁磁材料磁滞特性和损耗特性的影响，基于第1节建立的动态Energetic模型，本文提出一种可以有效考虑局部回环影响的动态损耗系数求解方法。具体方法如下：
（1）通过1.2节中推导建立的谐波涡流损耗计算式（10），求解涡流损耗系数ke。
（2）基于不同变量（谐波阶次、谐波含量、谐波相位）谐波激励条件下变压器铁心损耗的实测值，结合1.2节中推导建立的谐波异常损耗计算式（11），按照式（17）求解异常损耗系数ka，有
（17）需要指出的是，当磁化磁场磁通密度波形中未出现局部波动时，
仅与磁通密度幅值Bm有关，而与磁通密度波形无关。本文采用准直流（5Hz）条件下的损耗曲线进行插值求解，获得谐波激励条件下不含局部回环的磁滞损耗计算值；当磁化磁场磁通密度波形中出现局部波动时，不仅与磁通密度幅值Bm有关，还与局部波动次数（对应于磁滞回线中局部回环个数）和局部波动的磁通密度幅值0.5Bpn有关[27]，谐波激励磁通密度波形和磁滞回环如图1所示。此时有
（18）
式中，
与
分别为谐波激励条件下单位磁化周期内主回环磁滞损耗和每个局部回环磁滞损耗，均采用上述损耗曲线插值求解法获得。
图1 谐波激励磁通密度波形和磁滞回环
Fig.1 Harmonic excitation flux density waveforms and hysteresis loop
为研究谐波不同变量激励条件（如阶次、含量和相位）下变压器铁心的磁特性，本文按照电力变压器铁心的设计标准和叠装工艺，设计并制作了一台产品级的变压器铁心模型。该实验模型采用45°全斜接缝，每级两片，三级步进5mm搭接的叠装工艺制作而成。为了保证实验测量结果的准确性，激励线圈和测量线圈紧贴铁心绕制，由绝缘件夹紧，结构尺寸如图2所示。
图2 变压器铁心模型结构尺寸
Fig.2 Transformer core model structure size
铁心材料选用宝钢公司（Baosteel）生产的B30P105冷轧取向电工钢，铁心模型技术参数见表1。
表1 铁心模型技术参数
Tab.1 Parameters of the core model
名 称参数 (型号) 电工钢B30P105 硅钢片密度/(kg/m3)7.65×103 模型铁心设计截面面积/mm22.0×103 模型铁心设计质量/kg29.682 激磁线圈匝数144 (两根并饶, 单层) 导线密度/(kg/m3)8.90×103 激磁线圈线规/mmf1.6 测量线圈匝数144 (单层) 20℃时导线电导率/(S/m)5.71×107 测量线圈线规/mmf0.6
测量不同变量（阶次、含量、相位）谐波激励条件下变压器铁心损耗和磁性能数据的磁性能测试系统如图3所示。给定基波频率50Hz；磁通密度最大值范围为0.1～1.6T；谐波阶次分别为3和5；含量分别为10%和30%；相位差为0°和90°。通过测量得到上述谐波励磁条件下变压器铁心损耗和磁性能数据，为下文模型验证提供必要的数据支撑。
图3 磁性能测量系统
Fig.3 Magnetic performance measurement system
对于谐波激励条件下的铁心磁性能测量，本文通过调整励磁电压，控制变压器铁心内的磁通密度波形为
（19）式中，Bn为第n次谐波分量的磁通密度幅值；jn为第n次谐波分量的相位。当n=1时，B1为基波磁通密度幅值，j1=0°。
第n次谐波含量和相位差分别表示为
（20）
（21）
式中，qn为谐波相位差；kn为谐波含量；j1为基波相位，设置基波相位为0°。由于变压器铁心一次、二次侧匝数相同，可近似地认为励磁电压与感应电压相等。根据电磁感应定律，励磁电压与磁通密度的关系为
（22）式中，E(t)为励磁电压（V）；N为线圈匝数；S为铁心横截面积（mm2）；B为磁通密度（T）。通过式（22）控制励磁电压的波形，进而实现对变压器铁心内磁通密度的控制。
基于安培定律和法拉第电磁感应定律，通过测量一次电流与二次电压，求出变压器铁心的磁场强度H与磁通密度B，进而得到实测磁滞回线，有
（23）
（24）
式中，N为线圈匝数；i1为一次电流；lm为等效磁路长度；A为变压器铁心等效截面积；u2为二次电压。
变压器铁心在特定工作点Bm=0.7T和Bm=1.4T时，部分谐波激励条件下的实测损耗数据，见表2。
表2 部分谐波激励条件铁心实测损耗值
Tab.2 Measured loss value of core under partial harmonic excitation
激励条件(0.7T)损耗值/(J/m3)激励条件(1.4T)损耗值/(J/m3) k3=30%, q3=90°31.70k3=30%, q3=90°114.47 k5=10%, q5=0°25.87k5=10%, q5=0°108.05 k5=10%, q5=90°32.95k5=10%, q5=90°116.01 k5=30%, q5=90°44.13k5=30%, q5=90°173.63
本文选取谐波不同变量激励条件下实测磁滞回线与损耗数据来验证本文建立的谐波激励条件下的动态Energetic模型的正确性。
基于人工鱼群算法提取准直流（5Hz）条件下的传统静态Energetic模型参数见表3。静态仿真磁滞曲线与实测磁滞曲线对比结果如图4所示，验证了传统静态Energetic模型参数辨识的准确性。
表3 静态Energetic模型参数（Bm=1.4T）
Tab.3 The parameters of static Energetic model (Bm=1.4T)
参 数数 值 k/(J/m3)16.212 Ne/10-66.573 h/(A/m)0.373 g17.888 q34.38 cr0.054
图4 静态仿真磁滞回线与实测磁滞回线对比
Fig.4 Comparison of static simulation hysteresis loop and measured hysteresis loop
结合表2谐波激励条件下的铁心损耗数据，采用第3.2节的方法对谐波激励条件下动态损耗系数进行求解，并用于模拟和预测谐波激励条件下的磁滞回线及铁心损耗。求解得到的涡流损耗系数ke=0.015，异常损耗系数见表4。
表4 异常损耗系数（Bm=1.4T）
Tab.4 The factor of abnormal loss (Bm=1.4T)
激励条件ka k3=30%, q3=90°0.37 k5=10%, q5=0°0.36 k5=10%, q5=90°0.40 k5=30%, q5=90°0.41
基于本文提出的谐波激励条件下动态Energetic模型，仿真得到变压器铁心不同阶次、不同含量、不同相位谐波激励条件下的动态磁滞回线，并将其与相应的实测磁滞回线进行对比，结果如图5所示。
图5 B、H曲线及磁滞回线仿真与实测曲线对比
Fig.5 B、H curves and hysteresis loop comparison with simulated and measured
从图5可以看出，谐波激励条件下，磁通密度和磁场强度轨迹均不再为正弦波形。随着谐波阶次、含量和相位的增加，磁滞回线发生畸变甚至出现局部回环。对比模型仿真曲线和实验曲线发现，两者吻合较好，证明了本文所建模型可对谐波激励条件下铁磁材料的复杂磁滞特性进行有效模拟，并可以考虑局部回环的影响。
此外，通过对上述动态Energetic谐波模型仿真磁滞回线面积进行积分求解，得到变压器铁心在不同变量谐波激励条件下的损耗仿真值，并将其与实测数据对比，如图6所示。对比发现，谐波激励条件下的动态Energetic模型损耗计算结果与实测结果偏差较小，最大误差仅为7.45%，满足工程误差要求，进一步验证了该模型的正确性与有效性。
图6 谐波多变量励磁条件下铁心损耗模型仿真值与实测值对比
Fig.6 The simulated and measured iron loss under harmonic excitation
通过图5、图6还可以看出，当磁通密度较高时，仿真结果与实验结果之间仍存在一定误差，其原因可能包含两部分：
（1）由于实验理论存在近似性以及实验仪器存在局限性，实验测量结果往往存在部分误差。
（2）在磁通密度较高时，叠片铁心模型受其自身发热及其他不稳定环境因素的影响，使得实测磁特性与模型仿真磁特性相比发生了微小的变化，从而导致结果出现一定误差。
为了更加直观地观察谐波激励条件下动态损耗分量的影响，本文利用人工鱼群算法对未考虑动态损耗分量的传统静态损耗模型进行参数辨识，得到传统静态模型在特定工作点Bm=1.4T（f =50Hz）的各个参数，分别为k=60.6（J/m3）, Ms=1.6×106（A/m）, Ne=1.26×10-5, h=0.013 6（A/m）, g=17.43, q=21.3, cr= 22.1。基于这些参数仿真得到的动态磁滞回线与实测曲线对比如图7所示。
图7 磁化频率50Hz下静态模型仿真曲线与实验曲线对比
Fig.7 Comparison of static model simulation curves and experimental curve at 50Hz
将上述的静态模型参数直接用于模拟谐波激励条件（以1+5（30%、90°）次谐波为例）下的磁滞回线，并与实测曲线对比，结果如图8所示。
图8 未考虑动态分量的仿真曲线与实验曲线对比
Fig.8 Comparison of simulation curve without considering dynamic components and experimental curve
从图7、图8可以发现，通过优化算法辨识获得正弦激励（50Hz）下传统静态模型参数，并将其用于传统静态Energetic模型，可以较为准确地模拟铁磁材料正弦激励下动态磁特性。但直接采用不考虑动态损耗分量的传统静态磁滞模型对谐波激励条件下铁心磁滞回线进行仿真模拟，仿真曲线与实验曲线相差较大。因此，对谐波激励条件下变压器铁心损耗进行研究需要考虑动态损耗分量的影响。
1）完全按照电力变压器铁心的设计标准和叠装工艺设计并制作了产品级变压器铁心实验模型。基于该模型搭建了谐波激励条件下变压器铁心磁性能测试平台，测量获得了不同阶次、不同含量、不同相位谐波激励条件下变压器铁心的磁滞回线和损耗数据。
2）考虑动态损耗分量对谐波激励条件下变压器铁心磁化过程的影响，推导建立了谐波激励条件下铁心动态Energetic模型。提出一种可以有效考虑局部回环影响的动态损耗系数求解方法。通过对比表征不同变量谐波激励条件下磁滞特性和损耗特性的仿真结果与实验数据，验证了所建铁心动态Energetic模型的正确性和有效性。
3）动态损耗分量对谐波激励条件下铁磁材料的宏观磁滞现象影响较大，在进行相关磁滞建模和损耗预测时，应当对其加以充分考虑。
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Dynamic Energetic Modeling and Verification of Core under Harmonic Excitation
Abstract Under the condition of harmonic excitation, the hysteresis loop characterizing the magnetic properties of the core is obviously distorted or even partially looped, resulting in a significant increase in core loss. In order to accurately simulate the hysteresis characteristics and calculate core loss of ferromagnetic materials under harmonic excitation conditions, based on the traditional static Energetic hysteresis model and the loss separation theory, a dynamic Energetic hysteresis loss model that could comprehensively consider harmonic characteristics was established. The artificial fish swarm algorithm combined with the normalized processing technology was used to identify the parameters of the traditional static Energetic model, and a dynamic loss coefficient solving method that could effectively consider the influence of local loop was proposed. The magnetic property test platform of the transformer core with arbitrary magnetic flux density waveform controllable was built. The hysteresis characteristics and loss characteristics of transformer core under different harmonic order, harmonic content and harmonic phase excitation conditions were experimentally studied. The comparison between the simulation results and the experimental data verified the correctness and effectiveness of the dynamic Energetic model of the core under the harmonic excitation conditions.
keywords：Harmonic excitation, local loops, dynamic Energetic hysteresis model, iron loss, hysteresis characteristics
中图分类号：TM41
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.191097
国家自然科学基金（51677052）和河北省人才工程培养（A201902009）资助项目。
收稿日期 2019-08-27
改稿日期 2019-10-24
赵志刚 男，1981年生，教授，博士生导师，研究方向为电工磁材料磁性能模拟与工程电磁场数值仿真及应用。E-mail: zhaozhigang@hebut.edu.cn
马习纹 男，1995年生，硕士研究生，研究方向为电工磁材料磁性能模拟与工程电磁场数值仿真及应用。E-mail: ma15131660295@163.com（通信作者）
（编辑 崔文静）