（1）摘要 为了准确、快速优化表贴式永磁同步电机磁极形状，降低气隙磁通密度波形畸变率，该文针对磁极偏心结构表贴式永磁同步电机，提出一种非线性混合磁场解析方法。首先基于子域分析方法建立磁极偏心型表贴式永磁电机磁场解析模型，同时建立考虑定、转子铁心磁导率非线性变化的等效磁网络模型。根据铁磁材料的B-H曲线计算出任意时刻定、转子铁心相对磁导率的分布情况，通过迭代计算得到修正系数，用于考虑定、转子铁心磁阻对电机空载特性的影响，并基于该混合磁场解析模型对气隙磁通密度、反电动势进行计算分析。在此基础上对磁极尺寸参数进行优化设计，得到最优磁极结构参数。最后设计、制作一台8极36槽磁极偏心型表贴式永磁同步电机，通过有限元仿真和实验测试对该文所提出混合磁场解析法的准确性进行了验证。
关键词：表贴式永磁同步电机 混合磁场解析模型 磁极偏心 优化设计
准确计算表贴式永磁电机的气隙磁场分布是设计、优化电磁方案的关键，有限元法能够处理复杂结构，计算精度高，但耗时较长；解析法速度快，计算量小，物理概念清晰，有利于电机初始方案设计和优化。解析计算方法主要包括等效磁网络法、子域模型法及谐波建模法[1-4]。子域模型法是目前最常用的电机磁场解析建模方法，主要是基于分离变量法获得各子域的傅里叶级数形式解。Zhu等基于傅里叶级数法分别建立了考虑开槽效应和半开口槽模型的表贴式永磁电机精确子域模型，同有限元仿真结果对比，该方法具有高计算精度[5-6]。
文献[7]建立了无槽型表贴式永磁电机转子偏心的精确子域模型，并求解了转子偏心状况下的气隙磁通密度和不平衡磁拉力。文献[8]针对转子偏心式表贴式永磁电机进行磁场解析计算，计算了气隙磁通密度和齿槽转矩。研究表明，改变磁极的偏心距离可以大大降低径向磁通密度谐波含量，同时齿槽转矩得以降低。文献[9]对磁极偏心结构表贴式永磁电机的永磁体形状进行优化设计，得到气隙磁通密度最小畸变率尺寸方案，该方法能够快速优化永磁电机的气隙磁通密度分布。但文献[7-9]中所建立的磁极偏心型结构磁场解析模型，随着偏心距的不断变化，可能会导致气隙长度发生变化，该解析模型具有一定的局限性。文献[10]建立表贴式永磁电机的磁场解析计算模型，并分析考虑永磁体分段斜极和磁性槽楔的影响。文献[11-12]建立Halbach磁钢表贴式永磁电机的半开口槽精确子域模型，并通过有限元分析与实验得到验证。文献[13]建立表面埋入式交替极转子结构永磁电机的精确子域解析模型，计算电机的空载磁场、电枢磁场以及负载磁场分布。文献[14]建立了常规型和交替型电励磁式磁通切换电机的精确子域模型，经求解矢量磁位、磁场强度和磁通密度分布，均与有限元结果吻合。文献[15]建立了磁极分段表贴式永磁电机磁场解析模型，进而计算了齿槽转矩与反电动势，该模型可适用于具有任意分段数目的磁极均匀分段表贴式永磁电机。文献[16]建立了定子齿上开有辅助槽的表贴式永磁电机的解析模型，研究发现，定子齿上开1、3、4或5个辅助槽不能降低齿槽转矩，只有开2个辅助槽时能够削弱齿槽转矩。文献[17]利用不规则磁轭半径函数和偏心永磁体半径函数求解空载气隙磁场，对多边形转子磁轭永磁同步电机的空载气隙磁场进行解析推导。同有限元仿真分析相比，两种计算结果吻合性较好。上述解析方法虽然能够对不同结构电机磁场解析计算进行精确的建模，但都假设铁磁材料相对磁导率为无穷大，忽略了定、转子铁心磁阻对电机电磁性能的影响。
在前人研究的基础上，本文以一台8极36槽的表贴式永磁同步电机为研究对象，将子域技术分析方法和等效磁网络法相结合，建立一种磁极偏心表贴式永磁同步电机的非线性混合磁场解析模型。通过对定、转子铁磁材料B-H曲线进行插值运算，计算出不同工况下定、转子铁心的相对磁导率分布情况，得到能够考虑定、转子铁心磁阻非线性变化的修正系数，实现对永磁电机空载特性的准确、快速计算。在此基础上，对磁极形状进行优化设计，降低气隙磁通密度和空载反电动势的谐波含量。最后通过有限元仿真和实验测试，对提出的混合磁场解析模型的准确性进行验证，为子域法磁场解析准确计算提供了参考。
图1给出了磁极偏心结构几何示意图，Ri为永磁体内半径，Ro为永磁体外半径，hd为永磁体端部厚度，hm为永磁体中间厚度，q0为永磁体端部与永磁体d轴之间的夹角（若无特殊说明，全文中表示的长度单位统一为国际标准单位：m）。在确定气隙最小长度前提下，根据几何关系给出了不同永磁体端部厚度与偏心距的数学表达式为
（1）在△OMN中，可以求得MN的长度为
（2）
图1 磁极偏心结构几何示意图
Fig.1 Geometric diagram of non-concentric pole
式中，Rs为定子内径；g为气隙最小长度。
因此，a 为
（3）式中，q0=pap/(2p)，p为极对数，ap为极弧系数。
同理，在DOO'Ei中，可以求得磁极外半径Ro为
（4）因此，可以得到偏心距离g 为
（5）
将永磁体沿圆周方向均匀划分为q段，当q达到一定数值时，认为各段永磁体厚度均匀，如图1所示。求取各段永磁体厚度，并基于磁场叠加法实现磁极偏心结构表贴式永磁电机磁场解析计算。
根据上文求得的偏心距，在△OO'Ei有
（6）因此，可以得到
（7）
因此，可以得到第i段永磁体厚度hi为
（8）式中，qi为第i段永磁体与永磁体d轴之间的夹角。
图2给出了磁极偏心结构表贴式永磁电机的子域模型示意图，对4个子域进行编号，永磁体为子域1区域，气隙为子域2区域，定子槽为子域3区域，定子槽口为子域4区域；Rm为永磁体内表面半径，Rc为槽开口内半径，Rsb为定子槽底面半径，Re为定子外径，槽开口角度为d，定子槽宽角为b。为了便于分析，做出如下假设：
图2 子域模型示意图
Fig.2 Symbols and four types of subregions
（1）忽略定、转子铁心磁阻的影响。
（2）忽略电机端部效应。
（3）定子槽、槽开口以及永磁体为形状规则的径向扇形结构。
对于第i段永磁体，求解空载气隙磁场计算时，定子槽中无电流，在二维磁场中，矢量磁位仅有Z方向分量，故有各子域内矢量磁位满足
（9）式中，Apmi1、AGapi2、A3ij和A4ij分别为永磁体子域1、气隙子域2、定子槽子域3和槽口子域4的矢量磁位；j为定子槽序号；m0为空气相对磁导率；Mr和Mq 分别为永磁体剩余磁化强度的径向和切向分量。
基于分离变量法建立各子域的拉普拉斯方程或泊松方程，根据边界条件确定通解中的谐波系数，得到各子域的矢量磁位解析表达式为
（10）式中，A1i、C1i、A2i、B2i、C2i、D2i、C3ij、D3i和D4ij为矢量磁位中的谐波系数，可以通过各子域间的交界面条件，即交界面上的法向通量密度与切向矢量磁位的连续性来确定；C1k、C2k、C3k、Mqck、Mqsk、Mrck、Mrsk、Fm和En的详细推导过程在此不做详述，详见文献[5-6]。
磁场的核心问题是确定磁场表达式中的系数，而确定系数唯一方式则是建立各个区域之间的关系，即交界面条件。整体求解区域被分成了四部分，因此在各个子域之间共用3个交界面条件，分别为永磁体与气隙交界面、定子槽与定子槽口交界面以及气隙与定子槽口交界面。根据三个交界面条件建立系数矩阵方程组，实现谐波系数求解。
1）永磁体与气隙交界面条件
在永磁体与气隙的交界位置，即永磁体半径Rm处，根据径向磁通密度连续性和切向磁场强度连续性，可得各子域之间的分界面条件，进而求解各谐波系数为
（11）
（12）
（13）
（14）2）气隙与定子槽口交界面条件
在定子槽与槽口的交界位置，即半径Rt处有
（15）
（16）
3）定子槽与定子槽口交界面条件
在定子槽口与气隙的交界位置，即半径Rs处有
（17）
（18）
式中，
、
、
、
分别为对应区域内的磁场强度；
为相应区域内的磁感应强度。
将以上得到的各子域之间的交界面条件做傅里叶级数展开，并联立方程组，可求得各个子域矢量磁位表达式中的谐波系数，参见文献[5-6]。根据磁通密度与磁矢位的关系，可以得到第i段永磁体产生的气隙子域磁通密度的径向分量B2rri与切向分量B2qri分别为
（19）
（20）
通过以上分析，根据永磁电机的子域解析模型和矢量叠加原理，可以得到各段永磁体的合成气隙磁场分布。因此，气隙中的径向磁通密度B2r和切向磁通密度B2q 分别为
（21）
（22）
由于永磁电机磁场分布较为复杂，当铁磁材料邻近饱和、磁通路径较长或者气隙长度较小时，铁磁材料磁阻占整个磁路回路的比例较大，对电磁参数的影响不可忽略。而在子域法磁场解析模型中通常假设铁磁材料磁导率为无穷大，忽略了定、转子铁心磁阻非线性变化对磁场解析计算结果的影响。因此在前文基础上，建立了定、转子铁心等效磁网络解析计算模型，如图3所示。用于分析考虑铁磁材料非线性变化对径向气隙磁通密度、空载反电动势等电磁参数准确计算的影响，得到考虑定、转子铁心磁阻的修正系数，并总结相应的设计规律，本文以DW270铁磁材料的B-H曲线为例。
图3 定、转子铁心磁阻计算模型
Fig.3 Diagram of magnetic resistance for iron core
图4给出了电机的等效磁网络模型，图中，G1k为单个定子齿顶磁导，G2k为单个定子齿部磁导，G3为定子轭部磁导，G4为转子轭部磁导，G5为气隙磁导，Fm为永磁体提供的磁动势。为了准确分析单个磁回路中磁力线通过定子齿部的数量，根据电机的极槽数，对槽数和极数比值进行取整近似地作为磁通路径中定子齿部和齿顶的并联支路对数n为
（23）式中，Q为电机定子槽数。
图4 等效磁网络模型
Fig.4 Model diagram of equivalent magnetic network
根据安培环路定理，求得定子齿顶磁通密度Bt1、定子齿部Bt2、定子轭部Bj1以及转子轭部Bj2分别为
（24）
（25）
（26）
（27）式中，KFe为定子铁心叠压系数；tt为定子齿距；t为极距；b1为定子齿顶宽度；b2为齿部宽度，如图3所示。
根据磁通路径分布特点，将电机分为以下5部分分别进行求解，为了便于分析，做出如下假设：
（1）定、转子齿、轭部的磁通密度分布均匀。
（2）各部分磁路形状规则。
（3）忽略漏磁通对各部分磁导计算的影响。
1）定子齿顶磁导
永磁电机齿顶磁通路径近似为梯形，根据磁网络理论，定子齿部切向磁通切向分量很小，因此忽略定子齿切向磁导单元，只考虑径向。由磁导定义和微积分原理出发，可以推导出齿顶磁导计算公 式为
（28）式中，Lz为电机轴向长度；h1为定子齿顶高度。
2）定子齿部磁导
永磁电机齿部设计为平行齿结构，因此磁路等效为矩形通管，可以推导出定子齿部磁导计算公式为
（29）式中，h2为定子齿高。
3）定子轭部磁导
通常将定子轭部磁通路径近似为圆环形，但定子轭部磁通路径分布复杂，磁通路径长短不同，根据电机极槽配合的求取轭部磁通路径的平均长度，因此，可以推导出定子轭部磁导计算公式为
（30）式中，q3为定子轭部磁通路径平均角度。
4）转子轭部磁导
根据磁通路径的特点，将转子轭部的磁通路径近似等效为半圆环形，因此转子轭部磁导为
（31）式中，a和b分别为积分下、上限，a和b可以根据磁极的尺寸参数求得；m1、m2、m3和m4通过铁磁材料的B-H磁化曲线进行插值计算求得。
5）气隙磁导
同理，可以推导出气隙磁导G5为
（32）根据磁通路径的对称性，通过式（28）～式（32）计算可知：气隙磁阻占整个电机磁路的百分比为s，作为考虑定、转子铁心磁阻对电磁参数影响的修正 系数，即
（33）
为了更加准确地计算定、转子铁磁材料的各部分磁导分布情况，对修正系数进行了迭代循环计算，将每次计算得到的修正系数对气隙磁通密度Br进行校正，当相邻两次的s 计算结果误差小于0.5%时完成迭代过程，迭代流程如图5所示，针对本文的电磁设计方案可得s =0.94。
图5 考虑定、转子铁磁磁阻修正系数的迭代循环流程
Fig.5 Iterative flow chart of correction factor considering magnetic resistance for iron core
通过假设永磁电机定、转子铁磁材料各部分的磁通密度相同，图6给出了铁磁材料不同磁通密度和气隙长度下的修正系数的三维分布。从图6中可以看出，为了减少铁磁材料对电磁参数的影响，当气隙长度较小时，铁磁材料磁通密度不超过1.4T；当气隙长度较大时，铁磁材料的磁通密度不超过1.65T，否则修正系数将低于0.9，严重降低了电机气隙磁通密度、空载反电动势等电磁参数。
图6 修正系数的三维分布
Fig.6 3-D distribution of correction factor
本文以一台8极36槽内转子表贴式永磁电机为例，对本文提出的混合磁场解析模型进行二维有限元仿真验证，表1给出了永磁同步电机部分设计参数。
表1 永磁同步电机部分设计参数
Tab.1 Part of design parameters for PM motor
参 数数 值 额定功率/kW9.4 极槽配合8/36 额定转速/(r/min)3 000 气隙长度/mm1.5 轴向长度/mm160 定子外径/mm174 定子内径/mm104 永磁体厚度/mm4.6
图7分别给出了传统磁场解析法、混合磁场解析法以及有限元法的径向气隙磁通密度波形对比。从图7中可知，混合磁场解析法和有限元解的吻合度较高，但由于传统磁场解析法忽略了定、转子铁心磁阻，解析计算结果略高于有限元计算结果。三种计算方法的径向气隙磁通密度有效值分别为0.75T、0.71T和0.70T，同有限元法相比，本文提出的混合磁场解析法有效值计算误差仅为1.4%。图8分别给出三种计算方法下的切向气隙磁通密度波形对比。
图7 径向气隙磁通密度波形对比
Fig.7 Comparison of radial air-gap magnetic flux density waveforms
假设定子槽中绕组上下分布且均匀分布，基于斯托克斯定理，在某一个转子位置，采用定子槽的矢量磁位，可以求得在给第j槽中上下层绕组的磁链为
（34）
（35）
图8 切向气隙磁通密度波形对比
Fig.8 Comparison of tangential air-gap magnetic flux density waveforms
（36）式中，Lz电机轴向长度；Nc为线圈匝数；S为绕组截面积。
以8极36槽永磁电机设计方案为例，根据A相双层绕组线圈在定子铁心槽中的分布，可定义为矩阵Cd为
（37）其中
（38）
式中，Ccell为A相绕组一个极相组中的线圈分布矩阵；z =4，为电机的单元电机个数。
（39）
（40）
式中，wr为机械角速度；Ccell1和Ccell2分别为上、下层绕组的槽中绕组分布情况。
图9分别给出了传统解析法、混合磁场解析法及有限元法线空载反电动势波形对比，三种方法计算得到的有效值分别为257.1V、241.7V及236.1V，同有限元仿真计算相比，计算误差分别为8.9%和2.4%，进一步说明本文提出的混合磁场解析法计算的有效性。
图9 线空载反电动势波形对比
Fig.9 Comparison for waveforms of line no-load back EMF
为了降低气隙磁通密度和反电动势波形的畸变率，本文基于混合磁场解析法对磁极形状进行优化设计，优化变量包括永磁体端部厚度hd和极弧系数，在确定永磁电机气隙长度最小值的前提下，对优化变量进行参数化设计。
图10给出了不同磁极端部厚度以及极弧系数下的气隙磁通密度波形畸变率三维分布。由图10可知，畸变率随着永磁体端部厚度hd的增大呈先减少后增大的趋势；当永磁体的端部厚度为1.5～2.5mm区间范围时，径向气隙磁通密度波形正弦性较好，气隙磁通密度畸变率最小值为5.3%；极弧系数对气隙磁通密度波形畸变率的影响较为复杂，综合考虑确定永磁体端部厚度为2.5mm，极弧系数为0.86。
图11给出了傅里叶分解后磁极优化前后气隙磁通密度的各次谐波幅值，气隙磁通密度波形畸变率由优化前28.1%降低到9.7%，但同时基波幅值有所降低，分别为1.12T、1.05T和1.04T。
图10 径向气隙磁通密度波形畸变率三维分布
Fig.10 3D of THD of radial air-gap magnetic flux density
图11 各次谐波幅值对比
Fig.11 Comparison of amplitudes of spatial harmonic
为了验证本文提出的混合磁场解析模型的准确性，设计并制作一台8极36槽磁极偏心表贴式永磁同步电机，并基于反拖法对样机的线空载反电动势进行了测试，实验测试平台如图12所示，实验过程中被测试电机通过联轴器与原动机直流电机相连接，在额定转速下对永磁同步电机进行空载数据测试。
图12 实验测试平台
Fig.12 Experimental platform
图13a和图13b分别给出了样机端部和转子部分，图13c为整机部分。图14为实验测得的线空载反电动势实验波形，其有效值为233.6V，同实验测试结果相比，本文提出的混合磁场解析法计算误差仅为3.5%。
图13 SPMSM样机
Fig.13 Prototype of SPMSM
本文基于子域分析方法提出了一种磁极偏心结构表贴式永磁同步电机混合磁场解析计算方法，该方法能够考虑定、转子铁磁材料非线性变化对电机空载电磁参数的影响。设计、制作一台8极36槽磁极偏心结构表贴式永磁同步电机，并进行了有限元仿真和实验测试，得到了以下结论：
图14 线空载反电动势实验波形
Fig.14 Line no-load back EMF of test
1）本文所提出的混合磁场解析建模方法解决了传统解析法中忽略定、转子铁磁材料磁阻的问题，通过迭代循环计算得到修正系数为0.94，提高了永磁电机空载电磁参数的计算精度；同时给出了气隙长度和铁磁材料磁通密度分布对修正系数的影响规律，为永磁电机设计提供了必要的参考。
2）同有限元仿真计算结果相比，混合磁场解析法计算得到的径向气隙磁通密度和线空载反电动势波形吻合度较高，有效值计算误差分别为1.4%和2.4%。
3）基于所提出的混合磁场解析法对永磁电机磁极形状进行参数化设计，优化结果显示，气隙磁通密度波形畸变率从优化前的28.1%降低到9.7%，但同时基波幅值略微下降。
4）最后，对一台8极36槽表贴式永磁同步电机进行实验测试，同实验测试的线空载反电动势结果相比，本文所提出的混合磁场解析法有效值计算误差仅为3.5%，验证了本文所提出理论分析的有 效性。
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No-Load Characteristic Analysis of Surface-Mounted Permanent Magnet Synchronous Motor with Non-Concentric Pole Based on Hybrid Magnetic Field Analysis Method
Abstract In order to effectively optimize pole shape and reduce waveform total harmonics distortions (THD) of air-gap magnetic flux density for surface-mounted permanent magnet synchronous motor (SPMSM), this paper proposes a nonlinear hybrid magnetic field analytical method for SPMSM with non-concentric pole. Firstly, an analytical model of magnetic field is established based on subdomain analysis method, and an equivalent magnetic network model is established considering the nonlinear permeability change of the iron core. According to B-H curve of ferromagnetic materials, the relative permeability of core is calculated at any time, and the correction factor is obtained by iterative calculation to consider the influence of the core reluctance on the no-load characteristics. Based on the hybrid analytical model, the air-gap magnetic flux density and line no-load back electromotive force (EMF) are analyzed. And the size parameters of pole structure are optimized. Finally, a 8-pole 36-slot SPMSM is designed and manufactured. The effectiveness of proposed analytical method is verified by finite-element method (FEM) and experimental test.
keywords：Surface-mounted permanent magnet synchronous motor (SPMSM), analytical model of hybrid magnetic field, non-concentric pole, optimization design
中图分类号：TM351; TM341
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.191002
辽宁省教育厅科学研究（LJGD2019007）、辽宁省高效创新团队支持计划（LT2017003）和辽宁省高效科研（LZGD2017042）资助项目。
收稿日期2019-08-27
改稿日期 2019-10-11
于占洋 男，1991年生，博士研究生，研究方向为特种电机电磁设计及其控制。E-mail: ddzhanyang@sina.com
李 岩 男，1962年生，教授，博士生导师，研究方向为电机系统及其控制。E-mail: eeliyan@126.com（通信作者）
（编辑 陈 诚）